Intégration et probabilités¶

Des références utiles
- Jacod-Protter, l'essentiel en théorie des probabilités
- J.Y. Ouvrard, Probabilités I et II (vient d’être réédité chez Cassini)
- Rudin, analyse réelle et complexe pour la partie analyse.
- D. Chafaï, F. Malrieu, Recueil de modèles aléatoires pour la modélisation

Notes de cours¶

le poly lui-même est le fichier https://nextcloud.r2.enst.fr/nextcloud/index.php/s/gGQ3ajsa4sPSAn8

une introduction à la simulation basée sur les textes 3 et 4 du rapport de l'agrégation marocaine .

Plan du cours¶

Programme d’écrit¶

analyse¶

Dénombrabilité
Tribus
Caractérisation des mesures sur un espace dénombrable et sur un espace non dénombrable
Limites monotones
Exemples de mesures : Dirac, Lebesgue, Cantor
Fonctions étagées, fonctions mesurables
Construction et propriétés de l’intégrale de Lebesgue
Convergence monotone, dominée, Fatou, continuité et dérivation sous le signe somme
Espaces \(L^p\), inégalités Hölder, Jensen, Minkowski,…
Théorème de changement de variables et Fubini

Probabilités¶

Variables et vecteurs aléatoires
Fonctions génératrices, fonctions caractéristiques
Convergences de variables aléatoires

Programme de l’oral¶

Processus de Poisson
Processus de branchement
Vecteurs gaussiens
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov
Simulation
Martingales

Modélisation¶

Les sujets de l’agrégation marocaine sont disponibles sur le site dédié.

Préparation à l’oral et à l’épreuve interne¶

Il est bien de s’intéresser aux leçons d’oral et à l’épreuve en tâche de fond même pendant la préparation des écrits.

Pour l’épreuve interne, vous devez produire un rapport en LaTeX qui précise

le niveau auquel vous comptez faire ce cours
les pré-requis attendus
les compétences que vous voulez leur faire acquérir
les moyens de les évaluer
un cours sur le thème choisi
une ou plusieurs applications numériques

Cela doit être un cours de probabilités et de modélisation aléatoire. Il vous est fortement conseillé de partir de l’un des textes de l’épreuve de modélisation et de bâtir un projet autour. Je suis à votre disposition en permanence pour vous en parler.