L'analyse
combinatoire est la branche des mathématiques discrètes consacrée
à l'art du dénombrement. Ce stage montre comment l'application des
séries génératrices, ordinaires ou exponentielles, et le principe
d'inclusion-exclusion, qui sont les deux outils principaux de
cette discipline, permettent de résoudre divers problèmes et de
déterminer des suites de nombres remarquables.
On pourra ainsi, selon les sujets auxquels on veut appliquer ces
démarches, s'intéresser
- au nombre de relations d'équivalence définies sur un
ensemble fini (nombres de Bell, nombres de Stirling de seconde
espèce),
- à la loi de raréfaction des nombres premiers (P.
Tchebychev),
- au dénombrement d'ensembles partiellement ordonnés (ordres
partiels, préordres, préordres totaux - nombres de Fubini...),
- au décompte des arbres binaires, complets ou non, et des
arbres ordonnés utilisés comme structures de données en
informatique (nombres de Catalan),
- au calcul des développements en séries entières des
fonctions tangente et sécante (nombres de Bernoulli), etc.
On pourra aussi évoquer des problèmes "historiques" liés au
développement de l'analyse combinatoire :
- fonction indicatrice d'Euler,
- problème des ménages (J. Touchard),
- nombre de parenthésages d'un produit (E. Catalan),
- nombre de triangulations d'un polygone (L. Euler, E.
Catalan, ),
- etc.
