Si M=N, il existe un terme Z tel que M :=Z et N:=Z.
Démonstration : si M=N, il existe une suite M0,…,Mk telle que M ≡ M0 :=: M1 :=: … :=: Mk ≡ N
Puis on démontre que si k>2, il existe une telle suite de longueur strictement inférieure à k.
En itérant ce procédé, on trouve une suite de longueur au plus 2.
1. M ≡M0 := M1 := M2 :=: M3 :=: … :=: Mk ≡ N
de M0:= M1et M1:= M2, on déduit par (tr) que M0:= M2, donc:
M ≡M0:= M2:=: M3:=: … :=: Mk ≡N
2. M ≡M0:= M1=: M2:= M:=: … :=: Mk ≡ N
de M1=: M2:= M3, on déduit par le lemme C-R M1:= Z =: M3, donc:
M ≡M0:= M1:= Z =: M3:=: … :=: Mk ≡N
de M0:= M1et M1:= Z, on déduit par (tr) que M0:= Z, donc:
M ≡M0:= Z =: M3:=: … :=: Mk ≡N
3. M ≡M0:= M1=: M2=: M3:=: … :=: Mk ≡N
de M1=: M2et M2=: M3, on déduit par (tr) que M1=: M3, donc:
M ≡M0:= M1=: M3:=: … :=: Mk ≡ N
4. M ≡ M0: M1=: M2:=: M3:=: … :=: Mk ≡N
de M0=: M1et M1=: M2, on déduit par (tr) que M0=: M2, donc:
M ≡ M0=: M2:=: M3:=: … :=: Mk ≡N5. M ≡ M0: M1=: M2:=: M3:=: … :=: Mk ≡N
de M1=: M2et M2=: M3, on déduit par (tr) que M1=: M3, donc:
M ≡M0=: M1:=: M3:=: … :=: Mk ≡N6. M ≡ M0: M1=: M2:=: M3:=: … :=: Mk ≡N
de M0=: M1=:M2, on déduit par le lemme C-R M0=:Z=: M2, donc:
M ≡M0=:Z=: M2:=: M3:=: … :=: Mk ≡N
de Z =:M2et M2=: M3, on déduit par (tr) que Z =: M3, donc:
M ≡M0:= Z =: M3:=: … :=: Mk ≡N