Méthode d’Euler

Méthode d’Euler au premier ordre

Introduction

Soit $y$ une fonction du temps, et soit $t$ un instant donné. Le problème est le suivant :

Supposons que :

• je connaisse $y(t)$ et $y'(t)$
• je sais que $y$ satisfait une équation du premier ordre de la forme

Comment en déduire $y(t + \Delta t)$ et $y'(t + \Delta t)$ ?

Idée de la méthode

On approxime la courbe par sa tangente au point $t$.

D'une part :

On utilise le développement limité à l’ordre 1 :

et on remplace les differentielles par des deltas :

D'autre part :

L'équation différentielle nous dit que :

il suffit alors de calculer :

Et c'est fini !

Et oui on a bien répondu à notre question initiale

Interprétation géométrique

On avance d’un petit pas $dt$ en suivant la pente de la tangente.

Autrement dit :

• On part du point connu
• On suit la direction donnée par la dérivée
• On obtient une approximation du point suivant

C’est une approximation linéaire locale.

Précision

Bien que la méthode d’Euler soit simple et rapide, elle possède de grosses limitations :

• Peut diverger si $\Delta t$ est trop grand
• Mauvaise stabilité pour certaines équations
• Peu adapté aux systèmes raides

Exemple simple

Équation :

Condition initiale :

Solution exacte :

Méthode d’Euler avec $\Delta t = 0.1$ :

On obtient une croissance exponentielle approximée.

Code Python

def euler(f, y0, t0, tf, dt):
    t = t0
    y = y0
    
    T = [t]
    Y = [y]
    
    while t < tf:
        y = y + dt * f(y, t)
        t = t + dt
        
        T.append(t)
        Y.append(y)
    
    return T, Y

Méthode d’Euler à l'ordre 2

L'histoire se répète.

Introduction

Soit $y$ une fonction du temps, et soit $t$ un instant donné. Le problème est le suivant :

Supposons que :

• je connaisse $y(t)$, $y'(t)$ et $y''(t)$
• je sais que $y$ satisfait une équation du premier ordre de la forme

Comment en déduire $y(t + \Delta t)$ et $y'(t + \Delta t)$ ?

Solution

1) D'une part :

On utilise le développement limité à l’ordre 1 :

et on remplace les differentielles par des deltas :

2) D'une autre part :

On utilise le développement limité à l’ordre 1 de la dérivée :

et on remplace les differentielles par des deltas :

3) Et enfin :

L'équation différentielle nous dit que :

il suffit alors de calculer :

Et c'est fini !

Et oui on a bien répondu à notre question initiale.

Exo type concours CCINP

Voici le sujet :

Sujet CCINP Python Physique

Voici ton code :

dt = 0.1
tmax = 10
N = tmax/dt

T = [ i for i in range(0,tmax,dt)]

#a[n] = F[n] - 2*om0*zeta*v[n] - (om0)**2*x[n]


#Écrire une fonction resolution(F, om0, zeta)
#Qui renvoie le tableau complet de x et de v

def resolution(F,om0,zeta,x0,v0):
    X = [x0]
    V=[v0]
    for i in range (N):
        X.append( X[i] + V[i]*dt)
        V.append( V[i]+ (F[i] - 2*om0*zeta*V[i] - (om0)**2*X[i] )*dt)