N^{o} d’ordre : 6801

UNIVERSITE PARIS XI UFR SCIENTIFIQUE D’ORSAY

THESE Présentée Pour obtenir

Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES DE L’UNIVERSITE PARIS XI ORSAY

Par

Hugues RANDRIAMBOLOLONA

Sujet : Hauteurs pour les sous-schémas

et exemples d’utilisation de méthodes arakeloviennes en théorie de l’approximation diophantienne

Soutenue le 8 janvier 2002 devant la Commission d’examen

Jean-Benoît BOST
Antoine CHAMBERT-LOIR
Sinnou DAVID
Michel LAURENT
Patrice PHILIPPON
Christophe SOULÉ

Remerciements

Je remercie Jean-Benoît Bost d’avoir accepté de guider mes travaux et de m’avoir fait profiter de l’immense étendue de sa culture scientifique. Il s’est toujours montré très disponible pendant ces quatre ans et a fait preuve de beaucoup de patience, me prodiguant de nombreux conseils toujours très précis, et allant jusqu’à corriger les épreuves de mon texte dans les moindres détails typographiques. Surtout, il m’a proposé un sujet tellement riche et intéressant que cette thèse est loin de l’avoir épuisé et que j’aurai là matière à poursuivre mes recherches pendant de nombreuses années encore.

Je remercie Michel Laurent et Christophe Soulé d’avoir accepté le lourd travail de rapporteur, de s’en être acquitté malgré des délais relativement courts, et surtout de m’avoir communiqué des remarques utiles et précises pour l’amélioration du texte.

Je remercie enfin Antoine Chambert-Loir, Sinnou David et Patrice Philippon d’avoir accepté joyeusement de faire partie de ce jury.

Plus généralement je tiens à remercier tous ceux qui ont manifesté de l’intérêt pour ce travail. Ils ne sont pas particulièrement nombreux, mais je préfère quand même ne pas prendre le risque d’essayer de les nommer tous. Je remercie aussi tous ceux auprès de qui j’ai appris, qu’il s’agisse de mathématiques ou d’autres choses ; indirectement, cette thèse est en partie leur œuvre.

Ce texte a été dactylographié grâce aux moyens informatiques de l’École normale supérieure et à ceux de l’École nationale supérieure des télécommunications, indifféremment. Je tiens particulièrement à remercier le Service de prestations informatiques de l’ENS qui a prolongé la durée de vie de mon compte sur clipper bien au-delà de la fin de ma scolarité officielle, me permettant ainsi d’accéder à son irréprochable installation de L^{A}TEX et au très utile forum de discussion électronique des élèves.

Je suis aussi reconnaissant envers l’équipe de mathématiques du département InfRes de l’ENST pour l’ambiance de travail chaleureuse qui y règne et pour la liberté qui m’y a été accordée, sans lesquelles ce travail ne serait peut-être pas parvenu à son terme naturel.

Enfin je n’oublie pas le rôle de ma famille qui, même si je l’ai tenue à l’écart de ce travail, a toujours été présente lorsque j’en avais besoin.

Abstract

In this thesis we define and study some notions in the context of Arakelov geometry that have an intrinsic interest and should find applications in diophantine approximation theory.

Most of the text is devoted to the elaboration of a theory of heights for subschemes and to the proof of “Hilbert-Samuel formulae” for these heights. For two important classes of subschemes (integral subschemes and “smooth with multiplicities” subschemes) we show that the height of the subscheme relative to a high power of a positive line bundle is asymptotically determined by the height of the associated cycle. The proof essentially uses the “arithmetic Hilbert-Samuel theorem” of Gillet and Soulé, and reduces to it using techniques from hermitian analytic geometry. Then we give a finer analysis of the asymptotic expansion of heights of certain particular subschemes. Notably, in the case of relative dimension zero, we express the constant term of the asymptotic expansion by means of the ramification of the subscheme, which solves a question of Michel Laurent concerning heights of interpolation matrices.

Finally, as an independant part, we show some applications of arakelovian methods to diophantine approximation problems. In particular, we give a new proof of a classical criterion for algebraic independance. The originality of this proof is that it does not use any elimination theory but only arguments from arithmetic intersection theory.

Keywords : Arakelov geometry, diophantine approximation, heights, arithmetic Hilbert-Samuel formula, algebraic independance criterion.

Table des matières

Introduction 11

I Généralités 15

1 Conventions et résultats préliminaires 17 1.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Quelques notions de géométrie hermitienne élémentaire . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1 Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.2 Position relative de deux sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.2.1 Invariants du problème et lien avec les représentations uni-

taires du groupe diédral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.2.2 Comportement par dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.3 Cas de plusieurs sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.4 Un résultat technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3 Quelques résultats de géométrie hermitienne projective . . . . . . . . . . . . 35 1.3.1 Un calcul de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.2 Un calcul de décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4 Petits rappels de géométrie d’Arakelov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.1 Modules hermitiens et théorie des pentes . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.2 Quelques conventions en dimension supérieure . . . . . . . . . . . . 42

2 Hauteurs de sous-schémas et lien avec la géométrie d’Arakelov des schémas de Hilbert 45 2.1 Métrisation des schémas de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 Définition des hauteurs de sous-schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Propriétés élémentaires des hauteurs de sous-schémas . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.1 Invariance par extension du corps de base . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.2 Propriété de hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.3 Une inégalité remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

II Étude dans quelques cas particuliers du comportement asymptotique des hauteurs de sous-schémas 57

3 Sous-schémas lisses et certains de leurs épaississements 61

3.1 Sous-schéma lisse avec multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.1 Un théorème d’extension L^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.2 Comparaison de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1.3 Hauteur d’un sous-schéma lisse avec multiplicité et hauteur du cycle

associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 Sous-schéma défini par l’annulation d’une section d’un fibré vectoriel transverse à la section nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Réunion de deux sous-espaces linéaires d’un espace projectif 87

4.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.1 Rappels sur les nombres de Bernoulli et la formule sommatoire d’Euler-

Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Un calcul de série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Hauteurs schématiques d’un sous-espace linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.1 Hauteurs de l’espace projectif standard considéré comme sous-schéma

de lui-même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.2 Application : un calcul de torsion analytique . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.3 Hauteurs d’un sous-espace linéaire d’un espace projectif . . . . . . . 101

4.3 Hauteurs d’un sous-schéma réunion de deux sous-espaces linéaires . . . . . . 104

5 Sous-schéma de dimension générique nulle d’un espace projectif 109

5.1 Résultats et définitions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.1 Décomposition du sous-schéma en réunion de sous-schémas dont le

support est une section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.1.2 Métrisation des cônes tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2 Énoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.3 Cas où le support est une section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3.2 Un théorème de presque-isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4 Déduction du cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.4.1 Étude aux places non-archimédiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.4.2 Étude aux places archimédiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.5.1 Hauteurs des matrices d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.5.2 Cônes infinitésimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Annexe à la partie II : bilan et comparaison des cas arithmétique et géométrique 143 A.1 La situation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 A.2 Terme dominant du développement asymptotique des hauteurs de sous-schémas146 A.3 Termes suivants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

III Deux exemples d’utilisation de méthodes arakeloviennes en théorie de l’approximation diophantienne 157

6 Une preuve du théorème des six exponentielles par la méthode des pentes159 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.2 Choix des fibrés hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.3 Évaluation des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7 Un critère d’indépendance algébrique arakelovien 163

7.1 Notations et constructions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.1.1 Construction de métriques déformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.1.2 Rappels sur les nombres de Lelong généralisés . . . . . . . . . . . . . 168

7.2 Énoncé et principe de la démonstration du théorème . . . . . . . . . . . . . 172 7.3 Démonstration des lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.3.1 Démonstration du lemme 7.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.3.2 Démonstration du lemme 7.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.3.3 Démonstration du lemme 7.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.3.4 Démonstration du lemme 7.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Introduction

Le but de cette thèse est de définir et d’étudier un certain nombre de notions dans le cadre de la géométrie d’Arakelov qui, d’une part, possèdent un intérêt intrinsèque et, d’autre part, sont susceptibles d’applications à la théorie de l’approximation diophantienne.

Les trois premiers quarts environ de cette thèse sont consacrés à l’élaboration d’une théorie des hauteurs pour les sous-schémas. L’intuition de la notion de hauteur est très ancienne – on peut la voir transparaître par exemple dans la méthode de descente infinie de Fermat – cependant elle n’a été mise en lumière et précisée qu’au début du vingtième siècle par Mordell, Northcott et Weil, à l’occasion notamment de la preuve de la finitude du rang du groupe des points rationnels d’une courbe elliptique (ou plus généralement d’une variété abélienne) sur un corps de nombres.

La hauteur d’un objet arithmétique peut s’interpréter comme une mesure de sa complexité, c’est-à-dire de la quantité d’information nécessaire pour le décrire. On dispose actuellement de nombreux points de vue sur la théorie des hauteurs, tous à peu près équivalents. Une définition arakelovienne des hauteurs a été introduite en 1983 par Faltings pour les variétés abéliennes, dans le cadre de la preuve des conjectures de Mordell et de Shafarevich. Plus généralement, la théorie de l’intersection arithmétique développée il y a une dizaine d’années par Gillet et Soulé fournit une théorie des hauteurs, admettant une définition géométrique intrinsèque, pour les cycles sur une variété arithmétique. Dans cette thèse on va montrer que la géométrie d’Arakelov fournit une notion tout aussi naturelle de hauteur pour les sous-schémas d’une variété arithmétique et en étudier les principales propriétés.

L’organisation du texte est la suivante.

Le premier chapitre renferme divers lemmes, définitions, conventions et calculs préliminaires qui seront utilisés par la suite.

C’est dans le deuxième chapitre que sont définies les hauteurs de sous-schémas. Soit X une variété arithmétique projective munie d’un fibré en droites hermitien positif \overline{L} et d’une forme volume. Si Σ est un sous-schéma de X, on souhaite définir la hauteur d’ordre n de Σ, notée h^{(n)}(Σ), comme le degré d’Arakelov du O_{K}-module Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) (du moins, pour n assez grand) muni de métriques hermitiennes convenables. Il ne semble pas très intéressant de considérer les métriques hermitiennes restreintes sur les fibres de L|_{Σ} en les points complexes de Σ, car celles-ci ne rendent pas compte de la présence éventuelle d’éléments nilpotents dans le faisceau structural de Σ. On préfère construire les métriques directement sur l’ensemble des sections globales Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), par passage au quotient par l’application naturelle de restriction (du moins, lorsque celle-ci est génériquement surjective) des métriques L^{2} sur l’ensemble Γ(X , L^{⊗n}) des sections de L^{⊗n} sur la variété ambiante X. À un choix de normalisation près, une construction similaire avait déjà été proposée en 1990 par M. Laurent sous le nom de fonction de Hilbert-Samuel arithmétique . Une particularité géométrique importante de ces hauteurs de sous-schémas est la suivante : si Σ est plat sur Spec O_{K} et si l’entier n est assez grand, la hauteur h^{(n)}(Σ) s’interprète comme la hauteur du point de Hilbert associé à Σ, relativement à un fibré en droites hermitien naturel sur le schéma de Hilbert correspondant. Autrement dit, on s’attend à ce que ces hauteurs aient un comportement agréable lorsque l’on considère des familles de sous-schémas.

Malgré le naturel de leur définition, on connaît peu de propriétés des hauteurs de sousschémas. Par analogie avec la situation géométrique, on est conduit à conjecturer que ces hauteurs admettent un développement asymptotique dont le terme dominant devrait être polynomial en n et donné essentiellement par la hauteur du cycle associé à Σ. Ceci a été démontré par M. Laurent pour les sous-schémas réduits de dimension générique nulle de l’espace projectif standard, avec le formalisme des matrices d’interpolation. Peu d’autres cas étaient connus jusqu’à ce jour. Évidemment, lorsque X est munie d’une métrique kählérienne et que le sous-schéma Σ est égal à la variété X tout entière, ce théorème de Hilbert-Samuel arithmétique pour les sous-schémas n’est autre que le théorème de Hilbert-Samuel arithmétique pour les variétés démontré, dans le cas lisse, par Gillet et Soulé au moyen de leur théorème de Riemann-Roch arithmétique (et redémontré ensuite par Abbes et Bouche par une méthode directe). Plus généralement, lorsque Σ est un sous-schéma intègre génériquement lisse, il n’est pas difficile de se ramener au cas précédent : il faut alors comparer les métriques quotient sur Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) et les métriques L^{2} obtenues par intégration des métriques restreintes sur les fibres de L^{⊗n}|_{Σ} en les points complexes de Σ ; une inégalité dans un sens s’obtient au moyen des estimations de Cauchy et dans l’autre sens, au moyen d’un théorème d’extension L^{2}. La même méthode semble se généraliser au cas où Σ est un sousschéma réduit mais de fibre générique éventuellement singulière. On doit alors remplacer le théorème de Hilbert-Samuel arithmétique de Gillet et Soulé par sa généralisation au cas singulier obtenue par Zhang, et on dispose encore d’une version singulière d’un théorème d’extension avec contrôle de normes, selon une méthode suggérée à l’auteur par J.-B. Bost, utilisant la théorie des espaces de Stein. On trouvera ce résultat démontré dans l’annexe A.2 pour le cas des sous-schémas intègres de l’espace projectif. La situation devient en revanche plus compliquée dès que Σ n’est plus réduit.

L’auteur n’est pas parvenu dans cette thèse à étendre ce théorème de Hilbert-Samuel arithmétique au cas des sous-schémas non réduits en toute généralité. Cependant, dans le troisième chapitre, on démontre le résultat espéré, sous l’hypothèse additionnelle que les composantes multiples de Σ vérifient une certaine condition généralisant la notion de lissité (théorème 3.1.16). Cette hypothèse permet, d’une part, d’appliquer le théorème de Hilbert-Samuel arithmétique aux faisceaux de jets sur le sous-schéma réduit Σ^{réd} et d’autre part, de démontrer un théorème de relèvement de jets le long de Σ à la variété X tout entière avec contrôle des normes L^{2} (théorème 3.1.10). À la fin du troisième chapitre, on raffine ce résultat en donnant une estimation du terme d’erreur (proposition 3.2.3), sous l’hypothèse que l’immersion de Σ dans X est (génériquement) régulière et définie par l’annulation d’une section globale d’un fibré vectoriel sur X.

Après ce calcul du terme principal du développement asymptotique des hauteurs des sous-schémas intègres et des sous-schémas lisses avec multiplicités , on s’est restreint à l’étude de certains sous-schémas très particuliers, en cherchant à établir un développement asymptotique de leurs hauteurs à un ordre plus élevé. Dans le quatrième chapitre on considère le cas, d’abord, d’un sous-espace linéaire d’un espace projectif, puis d’une réunion de deux sous-espaces linéaires. On montre (corollaire 4.3.6) que les hauteurs de ces sousschémas admettent un développement asymptotique à un ordre arbitrairement grand, en s’attachant notamment à indiquer la nature arithmétique des constantes impliquées dans ce développement asymptotique ; on verra ainsi apparaître les valeurs aux entiers négatifs (aussi bien pairs qu’impairs) de la dérivée de la fonction zêta de Riemann. On montre enfin que les hauteurs d’un sous-schéma réunion de deux sous-espaces linéaires s’expriment essentiellement comme somme des hauteurs de chacun des sous-espaces linéaires et d’un certain nombre de termes correctifs (théorème 4.3.4 et corollaire 4.3.5). Aux places finies, ces termes correctifs résultent de l’apparition de composantes dégénérées dans le sous-schéma intersection des deux sous-espaces linéaires. Aux places infinies, ils traduisent le défaut d’orthogonalité de ces deux sous-espaces linéaires. Une particularité remarquable est que ces termes correctifs aux places finies et aux places infinies ont un comportement analogue, de telle sorte que, d’une certaine façon, on peut considérer le défaut d’orthogonalité de deux sous-espaces linéaires comme l’analogue métrique de l’apparition d’une composante essentielle immergée dans l’intersection de ces deux sous-espaces.

Dans le cinquième chapitre, on s’intéresse au cas des sous-schémas de dimension générique nulle d’un espace projectif. On montre que les hauteurs de ces sous-schémas admettent un développement asymptotique dont on calcule explicitement les trois premiers termes (théorème 5.2.2). Le terme principal de ce développement asymptotique est linéaire et s’exprime en fonction de la hauteur du cycle associé au sous-schéma ; le terme suivant est logarithmique et ne dépend que des multiplicités du sous-schéma en ses points à l’infini ; enfin le terme constant s’exprime essentiellement (après éventuelle extension du corps de base) en fonction de la ramification et d’une hauteur pour le cône tangent total du sous-schéma. On donne ensuite diverses applications, en expliquant notamment comment ce théorème répond à une question laissée ouverte par M. Laurent à propos du terme constant du développement asymptotique des hauteurs de matrices d’interpolation.

En annexe, on formule quelques conjectures généralisant les résultats démontrés dans ces trois chapitres, en proposant quelques approches possibles.

Les deux derniers chapitres (dont la lecture est indépendante de celle des quatre précédents) donnent quelques exemples d’utilisation de méthodes arakeloviennes en théorie de l’approximation diophantienne. Dans le chapitre six, on redémontre le théorème dit des six exponentielles par la méthode des pentes de J.-B. Bost^{1}. Sortie de son contexte, cette traduction n’est qu’un exercice de routine. Il serait intéressant cependant d’aller plus loin dans cette direction et d’essayer par exemple de démontrer un résultat d’indépendance algébrique en dimension supérieure par des arguments arakeloviens utilisant la géométrie intrinsèque des données du problème.

1une démonstration de ce même théorème par la même méthode vient d’être donnée indépendamment par É.Gaudron.

On peut voir le chapitre sept comme une première étape en ce sens, quoique d’utilité et de portée encore assez limitées. On y (re-)démontre un critère pour l’indépendance algébrique semblable à celui publié par P. Philippon en 1986. Le point nouveau ici est que la démonstration, dont le plan s’inspire directement de celle d’un résultat analogue dû à M. Laurent et D. Roy, ne fait plus appel nulle part à la théorie de l’élimination, mais uniquement à la théorie de l’intersection arithmétique, appliquée à des fibrés en droites munis de métriques déformées au voisinage du point dont on veut estimer le degré de transcendance.

Remarquons que, bien qu’elle soit consacrée à plusieurs sujets relativement indépendants, cette thèse présente néanmoins une certaine unité. D’abord, il convient de signaler que de nombreuses méthodes sont communes dans l’approche qui a été faite de ces différents problèmes. Ensuite, il n’est pas exclu de trouver des liens plus profonds entre les différentes questions étudiées ici. Notamment, dans la mesure où les hauteurs de sous-schémas ont été introduites en vue d’applications à la théorie de l’approximation diophantienne, il n’y aurait rien de surprenant à ce qu’on puisse reformuler ou utiliser le critère d’indépendance algébrique dans un contexte où apparaitraient naturellement des hauteurs de sous-schémas.

Première partie

Chapitre 1

Généralités Conventions et résultats préliminaires

1.1 Conventions

Soient A un anneau commutatif et E un A-module. Pour tout entier naturel n, on note

E^{⊗n} (resp. S^{n}E, resp. ⋀^{n} E)

la n-ième puissance tensorielle (resp. symétrique, resp. extérieure) de E. Conformément à [Bourbaki] A ch. III, S^{n}E et ⋀^{n} E sont des quotients de E^{⊗n}.

Les sommes directes T E = ⨁_{n} E^{⊗n}, SE = ⨁_{n} S^{n}E et ⋀ E = ⨁_{n} ⋀^{n} E sont munies naturellement d’une structure de A-algèbre.

Plus généralement, si X est un schéma et F un O_{X}-module quasi-cohérent, on note T F = ⨁_{n} F^{⊗n} l’algèbre tensorielle de F. Les algèbres symétrique SF = ⨁_{n} S^{n}F et extérieure ⋀ F = ⨁_{n} ⋀^{n} F sont encore des quotients gradués de T F.

Parfois on écrira aussi Sym^{n}F pour S^{n}F.

Dans ce texte, les espaces euclidiens ou hermitiens seront par définition toujours supposés de dimension finie. Les produits scalaires hermitiens seront antilinéaires par rapport à la première variable et linéaires par rapport à la deuxième.

Définition 1.1.1 Soient E et F deux espaces euclidiens ou hermitiens, u : E → F une application linéaire et λ > 0 un réel. On dira que u est une similitude de rapport λ si u est bijective et si pour tous e_{1}, e_{2} ∈ E on a

< u(e_{1}), u(e_{2}) >_{F} = λ^{2} < e_{1}, e_{2} >_{E} .

On dira que u est une similitude partielle de rapport λ si l’application de E/ ker(u) sur Im(u) induite par u est une similitude de rapport λ. On appellera isométrie (resp. isométrie partielle) une similitude (resp. une similitude partielle) de rapport 1.

Si E est un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie muni d’un produit scalaire euclidien ou hermitien noté < ., . >, et si n est un entier, l’espace E^{⊗n} est muni d’un produit scalaire défini comme suit : si e_{1}, …, e_{n} et f_{1}, …, f_{n} sont des éléments de E, le produit scalaire des tenseurs élémentaires e_{1} ⊗ … ⊗ e_{n} et f_{1} ⊗ … ⊗ f_{n} vaut

< e_{1} ⊗ … ⊗ e_{n}, f_{1} ⊗ … ⊗ f_{n} >_{E^{⊗n}}= ∏_{i=1}^{n} < e_{i}, f_{i} > .

Les puissances symétriques de E sont munies du produit scalaire quotient, de telle sorte que :

< e_{1}. · · · .e_{n}, f_{1}. · · · .f_{n} >_{S^{n}E}= \frac{1}{n!} ∑_{σ∈𝔖_{n}} ∏_{i=1}^{n} < e_{i}, f_{σ(i)} > .  (1.1.1)

Les deux lemmes suivants sont des conséquences immédiates de la formule (1.1.1).

Lemme 1.1.2 Soient E un espace euclidien ou hermitien et e_{1}, …, e_{n} une base orthonormale de E. Pour tout entier d et pour tout multi-indice I = (i_{1}, …, i_{n}) ∈ ℕ^{n} de poids d = |I| = i_{1} + ⋯ + i_{n}, notons e^{I} = e_{1}^{i_{1}}. · · · .e_{n}^{i_{n}} ∈ S^{d}E. Alors les e^{I} forment une base orthogonale de S^{d}E et le carré de leur norme est l’inverse du coefficient multinomial correspondant :

∥e^{I}∥_{S^{d}E}^{2} = \frac{i_{1}! … i_{n}!}{d!}.

Lemme 1.1.3 Soit E un espace euclidien ou hermitien muni d’une décomposition

E = E_{1} ⊕^{⊥} … ⊕^{⊥} E_{k}

en somme directe orthogonale de certains de ses sous-espaces. Soient d_{1}, …, d_{k} des entiers et d = d_{1} + ⋯ + d_{k}. Alors l’application naturelle

S^{d_{1}}E_{1} ⊗ … ⊗ S^{d_{k}}E_{k} → S^{d}E

est injective et définit une similitude sur son image, de rapport

(\frac{d_{1}! … d_{k}!}{d!})^{1/2} .

Les puissances extérieures de E seront munies du produit scalaire suivant :

< e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n}, f_{1} ∧ ⋯ ∧ f_{n} >_{⋀^{n} E}= det_{i,j} < e_{i}, f_{j} > .  (1.1.2)

On notera que ce produit scalaire diffère du produit scalaire quotient de celui de E^{⊗n} par un facteur n!.

Plus généralement, si X est un schéma et E un O_{X}-module localement libre, alors pour tout entier n, la n-ième puissance extérieure du dual de E s’identifie au dual de la n-ième puissance extérieure de E grâce à l’accouplement

< ., . >: ⋀^{n} E × ⋀^{n}(E^{∗}) ⟶ O_{X}

donné localement par la formule

< e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n}, l_{1} ∧ ⋯ ∧ l_{n} >= det_{i,j} < l_{i}, e_{j} >  (1.1.3)

où les e_{i} et l_{j} sont des sections locales de E et E^{∗}, respectivement. Lorsque X = Spec ℝ (resp. Spec ℂ) et que E = E est un espace euclidien (resp. hermitien), on vérifie immédiatement que l’unique produit scalaire sur ⋀^{n} E qui rende cet accouplement compatible avec les isomorphismes (anti-)linéaires canoniques de E sur E^{∗} et de ⋀^{n} E sur (⋀^{n} E)^{∗} est celui donné par la formule (1.1.2).

Si X est une variété différentielle (réelle ou complexe) compacte munie d’une forme volume dμ et \overline{E} un fibré vectoriel sur X muni d’une métrique hermitienne continue, on définit le produit scalaire L^{2} sur l’espace des sections globales localement de carré sommable de \overline{E} comme étant donné par la formule suivante :

< s, t >_{L^{2}}= ∫_{X} < s, t > dμ  (1.1.4)

où s et t sont des sections de E, et < ., . > le produit hermitien sur E.

Soit X une variété analytique complexe. On rappelle que le complexifié du fibré tangent réel de X admet une décomposition en somme directe

(T_{ℝ}X)_{ℂ} = T^{1,0}X ⊕ T^{0,1}X

où T^{1,0}X est l’espace propre associé à la valeur propre i pour l’action de la structure complexe, et T^{0,1}X = \overline{T^{1,0}X}. En outre, T^{1,0}X s’identifie naturellement au fibré tangent complexe de X. On note aussi

(T_{ℝ}X)_{ℂ}^{∗} = T^{1,0}X^{∗} ⊕ T^{0,1}X^{∗}

la décomposition duale du fibré cotangent.

Supposons maintenant que X est une variété kählérienne de dimension n. On appelle 2-forme associée à la métrique kählérienne de X la forme définie localement par

ω = \frac{i}{2π} ∑_{j=1}^{n} φ_{j} ∧ \overline{φ_{j}}  (1.1.5)

où les φ_{j} forment une base unitaire du fibré cotangent T^{1,0}X^{∗}. On vérifie que cette expression ne dépend pas du choix de la base. En outre, si x et y sont deux sections locales de T^{1,0}X, le produit scalaire de x et y défini par la structure kählérienne est égal à

2iπ < \overline{x} ∧ y, ω >  (1.1.6)

où le crochet représente la dualité entre ⋀^{2}(T_{ℝ}X)_{ℂ} et ⋀^{2}(T_{ℝ}X)_{ℂ}^{∗}. Inversement, cette construction met en bijection l’ensemble des formes ω fermées réelles de type (1, 1) et définies positives (i.e. telles que la forme sesquilinéaire donnée par (1.1.6) définisse un produit scalaire hermitien) et l’ensemble des structures hermitiennes sur X qui en font une variété kählérienne.

Si maintenant une telle structure est donnée, on définit la forme volume associée par la formule

dμ = ω^{n}.  (1.1.7)

Remarque 1.1.4 Sous les hypothèses précédentes, la partie réelle de la métrique hermitienne sur X définit une métrique riemannienne sur la variété réelle de dimension 2n sousjacente. Notons dV_{Riem} la forme volume associée à cette métrique riemannienne. Alors les conventions (1.1.5) et (1.1.7) impliquent

dμ = \frac{n!}{π^{n}} dV_{Riem} = \frac{1}{Vol_{eucl}(B_{ℝ^{2n}}(1))}dV_{Riem}.

1.2 Quelques notions de géométrie hermitienne élémentaire

1.2.1 Décomposition polaire

Proposition 1.2.1 (Décomposition polaire) Soient E et F deux espaces hermitiens et

u : E → F

une application linéaire. Alors il existe un unique entier e, une unique suite finie strictement croissante de réels strictements positifs

λ_{1} < ⋯ < λ_{e}

et une unique décomposition de E et de F en somme directe orthogonale

E = E_{0} ⊕^{⊥} ⨁_{i∈{1,...,e}}^{⊥} E_{i}

F = F_{0} ⊕^{⊥} ⨁_{i∈{1,...,e}}^{⊥} F_{i}

tels que

i. E_{0} = ker u

ii. la projection orthogonale F → F_{0} identifie F_{0} au conoyau coker u.

iii. pour tout i ∈ {1, …, e}, u induit une similitude de rapport λ_{i} de E_{i} sur F_{i}.

Démonstration : Soit u^{∗} : F → E l’adjoint de u. On prend pour λ_{i} les racines carrées des valeurs propres non nulles de u^{∗}u, et E_{i} les espaces propres associés. On pose F_{i} = u(E_{i}), E_{0} = ker u^{∗}u = ker u, et F_{0} = (⨁_{i} F_{i})^{⊥}. Alors par le théorème de décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints, on a bien

E = E_{0} ⊕^{⊥} ⨁_{i∈{1,...,e}}^{⊥} E_{i}.

En outre, si x, y ∈ E_{i}, on a

(u(x), u(y)) = (u^{∗}u(x), y) = λ_{i}^{2}(x, y),

tandis que si x_{i} ∈ E_{i}, x_{j} ∈ E_{j} avec i ≠ j, on a

(u(x_{i}), u(x_{j})) = (u^{∗}u(x_{i}), x_{j}) = 0,

i.e. F_{i} ⊥ F_{j}. Ceci donne la décomposition souhaitée de E et de F.

Inversement, si E et F admettent une telle décomposition, il résulte immédiatement de l’énoncé de la proposition que les E_{i} sont les espaces propres de u^{∗}u associés aux valeurs propres λ_{i}^{2}. □

Définition 1.2.2 Avec les notations de la proposition, on dira que les réels λ_{1} < ⋯ < λ_{e} sont les valeurs caractéristiques non nulles de u. Si ker u n’est pas réduit à zéro, on dira que 0 = λ_{0} est aussi valeur caractéristique de u.

Le sous-espace E_{i} est appelé espace caractéristique associé à la valeur caractéristique λ_{i}, et l’entier

m_{i} = dim E_{i}

est appelé multiplicité de λ_{i}.

On appelle suite des valeurs caractéristiques de u avec multiplicités la suite (μ_{j})_{j∈{1,...,dim E}} définie par

μ_{j} = λ_{i} si m_{0} + ⋯ + m_{i−1} < j ≤ m_{0} + ⋯ + m_{i}.

La proposition peut se reformuler ainsi :

Corollaire 1.2.3 Soient E et F deux espaces hermitiens et

u : E → F

une application linéaire. Alors il existe une unique décomposition en somme directe ortho-

gonale de E et de F : E = E_{0} ⊕^{⊥} E′, F = F_{0} ⊕^{⊥} F′, une unique isométrie

φ : E′ ⟶^{∼} F′

et un unique endomorphisme auto-adjoint défini positif h (resp. k) de E′ (resp. F′) tels que

u = i ∘ φ ∘ h ∘ p = i ∘ k ∘ φ ∘ p,  (1.2.1)

où i est l’inclusion de F′ dans F et p la projection orthogonale de E sur E′. Les endomorphismes h et k ont mêmes valeurs propres (avec multiplicités), égales aux valeurs caractéristiques non nulles de u.

Toujours avec les mêmes notations, on a la

Proposition 1.2.4 L’adjoint

u^{∗} : F → E

de u a mêmes valeurs caractéristiques non nulles avec multiplicités que u.

En outre, 0 est valeur caractéristique de u si et seulement si u n’est pas injective, et est valeur caractéristique de u^{∗} si et seulement si u n’est pas surjective.

L’espace caractéristique de u^{∗} associé à la valeur caractéristique λ_{i} est F_{i} (ceci est valable aussi pour i = 0) et s’envoie par u^{∗} dans E_{i}.

Démonstration : Cela résulte immédiatement de la définition de l’adjoint et des propriétés de la décomposition polaire (on peut aussi l’obtenir directement en passant à l’adjoint dans la formule (1.2.1)). □

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la construction de la décomposition polaire telle qu’elle a été faite dans la démonstration de la proposition 1.2.1 :

Proposition 1.2.5 Soient a et b deux réels. Les assertions suivantes sont équivalentes : i. les valeurs caractéristiques de u sont toutes comprises dans l’intervalle [a, b] ii. pour tout x dans E, on a

a∥x∥ ≤ ∥u(x)∥ ≤ b∥x∥.

En particulier, la norme de u est égale à sa plus grande valeur caractéristique

∥u∥ = μ_{dim E}.

Plus généralement, si k est un entier et si on note ⋀^{k} u : ⋀^{k} E → ⋀^{k} F la k-ième puissance extérieure de u, on a

∥ ⋀^{k} u∥ = ∏_{j=dim E−k+1}^{dim E} μ_{j}.

On aurait pu se servir de cette propriété pour définir les valeurs caractéristiques.

Corollaire 1.2.6 Soient u : E → F une application linéaire entre deux espaces hermitiens et a et b deux réels. Supposons que toutes les valeurs caractéristiques de u appartiennent à l’intervalle [a, b]. Soient F′ un sous-espace de F, E′ l’image réciproque de F′ par u,

u′ : E′ ⟶ F′

la restriction de u à E′ et

\overline{u} : E/E′ ⟶ F/F′

l’application obtenue par passage au quotient. Alors les valeurs caractéristiques de u′ (resp. de \overline{u}) appartiennent aussi à l’intervalle [a, b].

Démonstration : L’assertion sur u′ est une conséquence immédiate de la proposition précédente. L’assertion sur \overline{u} en résulte par passage à l’adjoint, au moyen de la proposition 1.2.4. □

1.2.2 Position relative de deux sous-espaces

1.2.2.1 Invariants du problème et lien avec les représentations unitaires du groupe diédral

Dans cette partie on se donne E un espace hermitien de produit scalaire < ., . >, et A et B deux sous-espaces vectoriels de E. On note respectivement p_{A} et p_{B} les projections orthogonales sur A et B, et p_{A}|_{B} et p_{B}|_{A} les restrictions de p_{A} à B et de p_{B} à A. Le résultat principal de cette section (théorème 1.2.11 et ses corollaires) énonce que la donnée d’un tel triplet (E, A, B) équivaut à la donnée d’une représentation unitaire du groupe diédral (définition 1.2.9), et que ces objets sont classifiés essentiellement par les valeurs caractéristiques de la projection p_{A}|_{B} (ou p_{B}|_{A}).

On retrouve ainsi les résultats de [53], partie II. En particulier, on notera que les invariants ν introduits dans cette référence sont les valeurs caractéristiques du projecteur p_{B}|_{A}.

Lemme 1.2.7 Les applications p_{A}|_{B} et p_{B}|_{A} ont mêmes valeurs caractéristiques non nulles avec multiplicités, et elles échangent leurs sous-espaces caractéristiques associés.

En particulier, on a : ∥p_{A}|_{B}∥ = ∥p_{B}|_{A}∥.

Démonstration : Par définition des projections orthogonales, on a pour tous a ∈ A et b ∈ B la relation suivante :

< p_{B}(a), b >=< a, b >=< a, p_{A}(b) > .

Ainsi p_{A}|_{B} et p_{B}|_{A} sont adjointes l’une de l’autre. Le lemme est alors une conséquence immédiate de la proposition 1.2.4. □

Il est évident que les valeurs caractéristiques d’une projection sont toutes inférieures ou égales à 1. Par ailleurs, compte tenu de la définition de la décomposition polaire, on vérifie facilement la

Proposition 1.2.8 Les assertions suivantes sont équivalentes :

i. les sous-espaces A/(A ∩ B) et B/(A ∩ B) de l’espace hermitien E/(A ∩ B) sont or-

thogonaux ii. les valeurs caractéristiques de l’application p_{A}|_{B} (resp. p_{B}|_{A}) appartiennent à l’en-

semble {0, 1}.

Si A et B vérifient ces deux assertions équivalentes, on dira qu’ils sont orthogonaux (au sens large).

Définition 1.2.9 On appelle groupe diédral, noté D, le groupe défini par générateurs

e_{a}, e_{b}

et relations

e_{a}^{2} = e_{b}^{2} = e

(où e désigne l’élément neutre de D).

Si E est un espace hermitien et A et B deux sous-espaces de E, on note ρ_{A,B} : D → U(E) la représentation de D dans le groupe unitaire de E envoyant e_{a} (resp. e_{b}) sur la symétrie orthogonale par rapport à A (resp. B).

Proposition 1.2.10 Toute représentation ρ de D dans U(E) est de la forme ρ_{A,B} pour des sous-espaces A et B uniquement déterminés.

Démonstration : Notons s_{a} = ρ(e_{a}). Puisque e_{a}^{2} = e, on a s_{a}^{2} = id_{E}, et comme ρ est unitaire, ceci implique que s_{a} est une symétrie orthogonale. On doit alors nécessairement avoir A = ker(id − s_{a}), et avec les notations analogues B = ker(id − s_{b}). Inversement, avec ce choix de A et B on vérifie facilement qu’on a bien ρ = ρ_{A,B}. □

Si n est un entier naturel, on notera U(n) le groupe unitaire de l’espace ℂ^{n} muni du produit scalaire hermitien standard.

Pour tout ν dans l’intervalle ouvert ]0, 1[ notons E(ν) la représentation de D dans U(2) de la forme ρ_{A(ν),B(ν)}, où A(ν) = ℂ.(1, 0) ⊂ ℂ^{2} et B(ν) = ℂ.(ν, \sqrt{1 − ν^{2}}) ⊂ ℂ^{2}.

On note R_{a} (resp. R_{b}) la représentation de D dans U(1) qui envoie e_{a} sur id_{ℂ} et e_{b} sur −id_{ℂ} (resp. e_{a} sur −id_{ℂ} et e_{b} sur id_{ℂ}).

On note S la représentation de D dans U(1) qui envoie e_{a} et e_{b} sur −id_{ℂ}.

On note enfin T la représentation triviale, i.e. la représentation de D dans U(1) qui envoie e_{a} et e_{b} sur id_{ℂ}.

Théorème 1.2.11 Soient E un espace hermitien et A et B deux sous-espaces de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :

i. On a

dim A ∩ (B^{⊥}) = r_{a}, dim(A^{⊥}) ∩ B = r_{b}, dim(A + B)^{⊥} = s, dim A ∩ B = t

et les valeurs caractéristiques de p_{A}|_{B} (et de p_{B}|_{A}) différentes de 0 et 1 sont

λ_{1} < ⋯ < λ_{e}

avec multiplicités respectives

m_{1}, …, m_{e}.

ii. Le sous-espace A + B est de codimension s dans E, et il existe des vecteurs a_{0,j} (1 ≤ j ≤ r_{a}) dans A ∩ (B^{⊥}), a_{i,j} (1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ j ≤ m_{i}) dans A, b_{0,j} (1 ≤ j ≤ r_{b}) dans (A^{⊥}) ∩ B, b_{i,j} (1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ j ≤ m_{i}) dans B et c_{j} (1 ≤ j ≤ t) dans A ∩ B

tels que la famille formée des (a_{0,j})_{1≤j≤r_{a}}, des (a_{i,j})_{1≤i≤e,1≤j≤m_{i}} et des (c_{j})_{1≤j≤t} (resp. la famille formée des (b_{0,j})_{1≤j≤r_{b}}, des (b_{i,j})_{1≤i≤e,1≤j≤m_{i}} et des (c_{j})_{1≤j≤t}) forme une base orthonormale de A (resp. de B) et que pour tout couple (i, i′) d’éléments de {1, …, e} et pour tous 1 ≤ j ≤ m_{i} et 1 ≤ j′ ≤ m_{i′} on ait

< a_{i,j}, b_{i′,j′} >= λ_{i}.δ_{(i,j),(i′,j′)}.  (1.2.2)

iii. La représentation ρ_{A,B} de D dans U(E) est isomorphe à la représentation somme directe orthogonale

R_{a}^{⊕r_{a}} ⊕^{⊥} R_{b}^{⊕r_{b}} ⊕^{⊥} S^{⊕s} ⊕^{⊥} T^{⊕t} ⊕^{⊥} ⨁_{1≤i≤e}^{⊥} E(λ_{i})^{⊕m_{i}}.  (1.2.3)

Démonstration : i. ⇒ ii. Pour 1 ≤ i ≤ e, notons A_{i} (resp. B_{i}) le sous-espace caractéristique de p_{B}|_{A} (resp. p_{A}|_{B}) pour la valeur caractéristique λ_{i}, supposée par hypothèse différente de 0 ou 1. Lorsqu’il n’est pas réduit au sous-espace nul, on vérifie aisément que A ∩ (B^{⊥}) (resp. (A^{⊥}) ∩ B) est le sous-espace caractéristique de p_{B}|_{A} (resp. p_{A}|_{B}) pour la valeur caractéristique 0 et que A ∩ B est le sous-espace caractéristique de p_{B}|_{A} et de p_{A}|_{B} pour la valeur caractéristique 1. Choisissons (a_{0,j})_{1≤j≤r_{a}} (resp. (b_{0,j})_{1≤j≤r_{b}}, resp. (c_{j})_{1≤j≤t}) une base orthonormale de A∩(B^{⊥}) (resp. (A^{⊥})∩B, resp. A∩B) et pour tout i ∈ {1, …, e}, (a_{i,j})_{1≤j≤m_{i}} une base orthonormale de A_{i}. Alors si l’on pose

b_{i,j} = λ_{i}^{−1}p_{B}(a_{i,j}),

on vérifie facilement que pour tout i ∈ {1, …, e}, (b_{i,j})_{1≤j≤m_{i}} est une base orthonormale de B_{i} et que les relations (1.2.2) sont satisfaites.

ii. ⇒ iii. Sous les hypothèses de ii., on obtient un isomorphisme de E sur la représentation donnée par (1.2.3) en identifiant chaque droite ℂ.a_{0,j} (resp. ℂ.b_{0,j}, resp. ℂ.c_{j}) à une copie de R_{a} (resp. R_{b}, resp. T), en identifiant (A + B)^{⊥} à la représentation S^{⊕s} et, pour tous 1 ≤ i ≤ e et 1 ≤ j ≤ m_{i}, en envoyant a_{i,j} (resp. b_{i,j}) sur le vecteur (1, 0) (resp.

(λ_{i}, \sqrt{1 − λ_{i}^{2}})) d’une copie de E(λ_{i}).

iii. ⇒ i. On ne perd pas de généralité en supposant que la représentation (E, ρ) est égale à la somme directe (1.2.3). Alors, puisque ρ(e_{a}) (resp. ρ(e_{b})) laisse stable la décomposition (1.2.3), le sous-espace A = ker(id − ρ(e_{a})) (resp. B = ker(id − ρ(e_{b}))) est égal à la somme directe orthogonale de ses intersections avec chacun des sommants de cette décomposition (on prendra garde au fait que ceci n’aurait pas été vrai en général pour n’importe quel sous-espace de E). On vérifie alors par un calcul immédiat que l’on obtient ainsi la décomposition de A (resp. B) selon les sous-espaces caractéristiques de p_{B}|_{A} (resp. p_{A}|_{B}) et que les valeurs caractéristiques associées sont bien celles données dans le point i. □

Définition 1.2.12 Avec les notations du théorème, si E est un espace hermitien et A et B deux sous-espaces de E, on appelle invariants du triplet (E, A, B) la donnée des entiers r_{a}, r_{b}, s et t et des valeurs caractéristiques λ_{1} < ⋯ < λ_{e} (dans ]0, 1[) avec multiplicités m_{1}, …, m_{e}.

On notera que ces données permettent facilement de retrouver les dimensions de E, A et B grâce aux relations

rg p_{B}|_{A} = rg p_{A}|_{B} = t + ∑_{i=1}^{e} m_{i} = dim A − r_{a} = dim B − r_{b}

et

dim E = dim A + dim B + s − t.

Corollaire 1.2.13 Soient E (resp. E′) un espace hermitien et A et B (resp. A′ et B′) des sous-espaces de E (resp. E′). Alors il existe une isométrie de E sur E′ envoyant A sur A′ et B sur B′ si et seulement si les triplets (E, A, B) et (E′, A′, B′) ont mêmes invariants.

Démonstration : Ceci résulte de l’équivalence entre i. et iii. dans le théorème 1.2.11. □

Corollaire 1.2.14 À isomorphisme près, les représentations unitaires irréductibles de D sont R_{a}, R_{b}, S, T et les E(ν) pour ν ∈]0, 1[.

Toute représentation unitaire de D se décompose de façon essentiellement unique en somme directe orthogonale de représentations irréductibles.

Démonstration : Ceci est une conséquence de la proposition 1.2.10 et de l’équivalence entre i. et iii. dans le théorème 1.2.11. □

1.2.2.2 Comportement par dualité

Conservons les notations du paragraphe précédent. Notamment, on se donne une espace hermitien E et deux sous-espaces A et B.

Proposition 1.2.15 Si les invariants du triplet (E, A, B) sont r_{a}, r_{b}, s, t et λ_{1} < ⋯ < λ_{e} avec multiplicités m_{1}, …, m_{e}, alors l’application composée

s_{A} ∘ s_{B}

des symétries orthogonales par rapport à A et à B est une transformation unitaire dont les valeurs caractéristiques sont :

1 avec multiplicité s + t,

−1 avec multiplicité r_{a} + r_{b},

et les

(λ_{j} ± i\sqrt{1 − λ_{j}})^{2} avec multiplicités m_{j} (pour 1 ≤ j ≤ e).

Démonstration : Par le théorème 1.2.11 (ou par le dernier corollaire) il suffit de traiter les cas où la représentation du groupe diédral associée à (E, A, B) est de la forme R_{a}, R_{b}, S, T ou E(ν). Alors, dans chacun de ces cas, la proposition se vérifie au moyen d’un calcul immédiat (pour le cas E(ν), on peut aussi remarquer que s_{A} ∘ s_{B} est la complexification de l’application composée de deux symétries orthogonales suivant des droites (réelles) d’angle arccos(ν), donc est la complexification d’une rotation (réelle) d’angle 2 arccos(ν)). □

Corollaire 1.2.16 Si les invariants du triplet (E, A, B) sont

r_{a}, r_{b}, s, t

et

λ_{1} < ⋯ < λ_{e}

avec multiplicités

m_{1}, …, m_{e},

alors les invariants du triplet (E, A^{⊥}, B^{⊥}) sont

r_{b}, r_{a}, t, s

et

λ_{1} < ⋯ < λ_{e}

avec multiplicités

m_{1}, …, m_{e}.

Notamment les valeurs caractéristiques différentes de 0 et de 1 de p_{A,B}, p_{B,A}, p_{A^{⊥},B^{⊥}} et p_{B^{⊥},A^{⊥}} sont les mêmes avec mêmes multiplicités.

Démonstration : Cela résulte de la définition des invariants, de la proposition précédente, et du fait que

s_{A^{⊥}} ∘ s_{B^{⊥}} = (−s_{A}) ∘ (−s_{B}) = s_{A} ∘ s_{B}.
□

1.2.2.3 Applications

Comme précédemment, soient E un espace hermitien et A et B deux sous-espaces de E. Notons

λ_{1} < ⋯ < λ_{e}

les valeurs caractéristiques de p_{A}|_{B} (et de p_{B}|_{A}) comprises dans l’intervalle ouvert ]0, 1[, et

m_{1}, …, m_{e}

leurs multiplicités.

On munit le produit direct

A/(A ∩ B) × B/(A ∩ B)

du produit scalaire somme directe orthogonale des produits scalaires quotient sur A/(A∩B) et B/(A ∩ B). On note α = α_{A,B} l’application naturelle

α : A/(A ∩ B) × B/(A ∩ B) ⟶^{∼} (A + B)/(A ∩ B),

et

d_{A,B} = ∥ ⋀^{max} α∥  (1.2.4)

la norme de son déterminant. De façon équivalente, d_{A,B} est la norme de l’isomorphisme (naturel au choix d’un signe près)

⋀^{max} A ⊗ ⋀^{max} B ⟶^{∼} ⋀^{max}(A ∩ B) ⊗ ⋀^{max}(A + B),

où l’on a choisi une identification de A ∩ B au noyau de la surjection A ⊕ B ↠ A + B. Notons enfin Ã = A/(A ∩ B) et B̃ = B/(A ∩ B), et R = rg pB̃|Ã = ∑_{1≤i≤e} m_{i}.

Proposition 1.2.17 Avec ces notations, les valeurs caractéristiques de α différentes de 1 sont les (1 + λ_{i})^{1/2} et les (1 − λ_{i})^{1/2}, chacune avec multiplicité m_{i}.

Démonstration : On ne perd pas de généralité en remplaçant E par A + B et en quotientant le tout par A ∩ B, de telle sorte qu’on peut supposer A = Ã et B = B̃. Sous ces hypothèses, considérons les bases orthonormales (a_{i,j})_{1≤i≤e,1≤j≤m_{i}} de A et (b_{i,j})_{1≤i≤e,1≤j≤m_{i}} de B introduites dans le théorème 1.2.11.ii., et définissons dans A × B les sous-espaces

X_{i} = Vect {(a_{i,j}, b_{i,j}) | j ∈ {1, …, m_{i}} }

Y_{i} = Vect {(a_{i,j}, −b_{i,j}) | j ∈ {1, …, m_{i}} }
Z = (ker p_{B}|_{A} × {0}) + ({0} × ker p_{A}|_{B}).

Compte tenu de (1.2.2), on vérifie aisément, d’une part, que les X_{i}, les Y_{i} et Z sont deux à deux orthogonaux ; d’autre part, que la restriction de α à X_{i} (resp. Y_{i}, resp. Z) est une similitude de rapport (1 + λ_{i})^{1/2} (resp. (1 − λ_{i})^{1/2}, resp. 1). Ceci détermine donc la décomposition polaire de α, et démontre la proposition. □

Corollaire 1.2.18 Avec les notations précédentes :

i. on a

d_{A,B}^{2} = d_{Ã,B̃}^{2} = ∏_{i, λ_{i}<1}(1 − λ_{i}^{2})^{m_{i}}

ii. les valeurs caractéristiques de α sont toutes comprises dans l’intervalle

[(1 − \sqrt{1 − d_{A,B}^{2}})^{1/2} , (1 + \sqrt{1 − d_{A,B}^{2}})^{1/2}] ;

de façon équivalente, pour tout x dans A × B, on a

(1 − \sqrt{1 − d_{A,B}^{2}})^{1/2} ∥x∥ ≤ ∥α(x)∥ ≤ (1 + \sqrt{1 − d_{A,B}^{2}})^{1/2} ∥x∥

iii. on a les inégalités

1 ≥ d_{A,B} ≥ (1 − ∥pB̃|Ã∥^{2})^{R/2} ≥ (1 − ∥pB̃|Ã∥^{2})^{1/2. min(dim A,dim B)}

et d_{A,B} = 1 si et seulement si A et B sont orthogonaux (au sens large), ou encore si et seulement si pB̃|Ã = 0.

Démonstration : L’assertion i. résulte de la proposition et du fait que la norme du déterminant d’une application linéaire est égale au produit de ses valeurs caractéristiques. Du fait que les λ_{i} sont toutes dans l’intervalle [0, 1], l’égalité i. implique que pour tout i ∈ {1, …, e}, on a λ_{i}^{2} ≤ 1 − d_{A,B}^{2} ; compte tenu de la proposition, l’assertion ii. en découle aussitôt (l’équivalence entre les deux formulations de ii. constitue le corollaire 1.2.5). L’assertion iii. se démontre de façon analogue, en utilisant le fait que ∥pB̃|Ã∥ = max{λ_{i} | λ_{i} < 1}. □

Remarque 1.2.19 Compte tenu du corollaire, on peut considérer que d_{A,B} constitue une mesure de l’orthogonalité de A et B. En outre, on voit que l’encadrement 1.2.18.ii. peut s’interpréter comme exprimant que, si d_{A,B} est proche de 1, l’application α est presque une isométrie.

Il est facile maintenant de déterminer comment d_{A,B} se comporte par dualité.

Corollaire 1.2.20 Sous les hypothèses précédentes, notons A^{⊥} (resp. B^{⊥}) l’orthogonal de A (resp. B) dans E. Alors on a

d_{A^{⊥},B^{⊥}} = d_{A,B}.

Démonstration : Cela résulte immédiatement des corollaires 1.2.16 et 1.2.18. □

Il est possible aussi de faire jouer à A et B des rôles non symétriques. Notons β = β_{A,B} l’isomorphisme naturel de ℂ-espaces vectoriels

β : A/(A ∩ B) ⟶^{∼} (A + B)/B.

Alors

Proposition 1.2.21 Les valeurs caractéristiques de β sont les (1 − λ_{i}^{2})^{1/2} avec multiplicité m_{i}. En particulier, on a ∥ det β∥ = d_{A,B}, et les valeurs caractéristiques de β sont toutes dans l’intervalle [d_{A,B}, 1].

Démonstration : Comme dans la démonstration de la proposition précédente, on peut supposer que A ∩ B = 0 ; on note encore a_{i,j} et b_{i,j} les bases unitaires de A et B qui y ont été introduites. Alors (A + B)/B s’identifie naturellement à l’orthogonal de B dans A + B et, avec cette identification, on a

β(a_{i,j}) = a_{i,j} − p_{B}(a_{i,j}) = a_{i,j} − λ_{i}b_{i,j}.

Ainsi, compte tenu de (1.2.2), les β(a_{i,j}) sont deux à deux orthogonaux et de norme (1 − λ_{i}^{2})^{1/2}, ce qui implique la proposition. □

1.2.3 Cas de plusieurs sous-espaces

Les résultats du paragraphe précédent permettent d’obtenir certaines estimations sur la position d’un nombre quelconque de sous-espaces, à partir seulement des normes des projections de l’un sur l’autre deux à deux. Plus précisément, on montre que si des sousespaces d’un espace hermitien sont deux à deux presque orthogonaux , dans le sens où les projections de l’un sur l’autre sont de norme petite, alors ils sont globalement presque orthogonaux , dans le sens où l’application naturelle du produit direct de ces sous-espaces sur leur somme est presque une isométrie, i.e. a toutes ses valeurs caractéristiques proches de 1.

Lemme 1.2.22 Soit H un espace hermitien qui est somme directe de certains de ses sousespaces H_{1}, …, H_{m}. Munissons le produit direct H_{1} × ⋯ × H_{m} du produit scalaire somme directe orthogonale des produits scalaires restreints. On a deux applications linéaires inversibles naturelles

\begin{aligned}α = α_{H_{1},...,H_{m}} : & H_{1} × ⋯ × H_{m} & ⟶ & H \\ & (x_{1}, …, x_{m}) & ⟼ & x_{1} + ⋯ + x_{m} \end{aligned}

et

\begin{aligned}γ = γ_{H_{1},...,H_{m}} : & H & ⟶ & H_{1} × ⋯ × H_{m} \\ & x & ⟼ & (p_{H_{1}}(x), …, p_{H_{m}}(x)). \end{aligned}

Alors α et γ sont adjointes l’une de l’autre.

Démonstration : Soient x ∈ H et y = (y_{1}, …, y_{m}) ∈ H_{1} × ⋯ × H_{m}. Alors on a bien

< x, α(y) > =< x, y_{1} > + ⋯ + < x, y_{m} >
=< p_{H_{1}}(x), y_{1} > + ⋯ + < p_{H_{m}}(x), y_{m} >
=< γ(x), y > .

□

Proposition 1.2.23 Soient A et B deux sous-espaces d’un espace hermitien E avec A∩B = 0, et λ_{i} les valeurs caractéristiques de p_{A}|_{B} avec multiplicité m_{i}. Considérons l’application

\begin{aligned}γ : & A + B & ⟶ & A × B \\ & x & ⟼ & (p_{A}(x), p_{B}(x)) \end{aligned}

dont les composantes sont les projections orthogonales sur A et B. Alors les valeurs caractéristiques de γ différentes de 1 sont les (1+λ_{i})^{1/2} et les (1−λ_{i})^{1/2}, chacune avec multiplicité m_{i}. En particulier, on a

∥γ^{−1}∥^{2} = (1 − ∥p_{A}|_{B}∥)^{−1}.

Démonstration : C’est une conséquence immédiate du lemme précédent (dans le cas m = 2) et des propositions 1.2.4 et 1.2.17. La dernière assertion résulte du fait que la norme d’une application linéaire est égale à sa plus grande valeur caractéristique. □

Corollaire 1.2.24 Soient A, B et C trois sous-espaces d’un espace hermitien tels que la somme A + B + C soit directe. Alors on a l’inégalité

∥p_{(A+B)}|_{C}∥^{2} ≤ \frac{∥p_{A}|_{C}∥^{2} + ∥p_{B}|_{C}∥^{2}}{1 − ∥p_{A}|_{B}∥} .

Démonstration : Par transitivité des projections orthogonales sur des sous-espaces emboîtés, on a p_{A}|_{C} = p_{A}|_{(A+B)} ∘ p_{(A+B)}|_{C} et p_{B}|_{C} = p_{B}|_{(A+B)} ∘ p_{(A+B)}|_{C}, d’où

p_{(A+B)}|_{C} = γ^{−1} ∘ (p_{A}|_{C}, p_{B}|_{C}),

avec γ = (p_{A}|_{(A+B)}, p_{B}|_{(A+B)}) : A+B ⟶ A×B. Le corollaire résulte alors de la proposition précédente. □

Corollaire 1.2.25 Soit n un entier. Pour tout ϵ > 0, il existe η > 0 tel que, si A_{0}, …, A_{n} sont n + 1 sous-espaces en somme directe dans un espace hermitien, et si

M = max_{i,j} ∥p_{A_{i}}|_{A_{j}}∥^{2} < η,

alors

∥p_{(A_{1}+···+A_{n})}|_{A_{0}}∥^{2} < (n + ϵ)M.

Démonstration : On procède par récurrence sur n, le cas n = 1 étant évident. Supposons le résultat vrai jusqu’au rang n − 1. Le corollaire précédent donne :

∥p_{(A_{1}+···+A_{n})}|_{A_{0}}∥^{2} ≤ \frac{∥p_{(A_{1}+···+A_{n−1})}|_{A_{0}}∥^{2} + ∥p_{A_{n}}|_{A_{0}}∥^{2}}{1 − ∥p_{(A_{1}+···+A_{n−1})}|_{A_{n}}∥} .

Par définition on a ∥p_{A_{n}}|_{A_{0}}∥^{2} ≤ M, et en appliquant l’hypothèse de récurrence d’une part à A_{0}, …, A_{n−1}, d’autre part à A_{1}, …, A_{n}, on trouve, si M est assez petit :

∥p_{(A_{1}+···+A_{n−1})}|_{A_{0}}∥^{2} < (n − 1 + ϵ/2)M

et

1 − \sqrt{(n − 1 + ϵ/2)M} < 1 − ∥p_{(A_{1}+···+A_{n−1})}|_{A_{n}}∥ ≤ 1.

En insérant ces deux estimations dans l’inégalité précédente, quitte à prendre M encore plus petit, on trouve le résultat souhaité. □

Soient E un espace hermitien et A_{1}, …, A_{m} m sous-espaces de E en somme directe. L’application linéaire naturelle

α_{A_{1},...,A_{m}} : A_{1} × ⋯ × A_{m} ⟶ A_{1} + ⋯ + A_{m}

est bijective, mais n’est en général pas une isométrie. On note d_{A_{1},...,A_{m}} = ∥ det α_{A_{1},...,A_{m}}∥ la norme de son déterminant. Autrement dit, d_{A_{1},...,A_{m}} est le rapport de la similitude naturelle entre espaces hermitiens de dimension 1

⋀^{max} A_{1} ⊗ … ⊗ ⋀^{max} A_{m} ⟶^{∼} ⋀^{max}(A_{1} + ⋯ + A_{m}).

On remarquera que ces notations sont compatibles avec celles introduites dans le paragraphe précédent, dans le cas m = 2.

Proposition 1.2.26 On a

d_{A_{1},...,A_{m}} = d_{A_{1},A_{2}}.d_{(A_{1}+A_{2}),A_{3}}. · · · .d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}} ≤ 1.

Les valeurs caractéristiques de α_{A_{1},...,A_{m}} sont toutes comprises dans l’intervalle

[(1 − \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m}}^{2}})^{(m−1)/2} , (1 + \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m}}^{2}})^{(m−1)/2}] .

Démonstration : On procède par récurrence sur m, en remarquant que α_{A_{1},...,A_{m}} se factorise en

A_{1} × ⋯ × A_{m−1} × A_{m} ⟶^{u} (A_{1} + ⋯ + A_{m−1}) × A_{m} ⟶^{v} A_{1} + ⋯ + A_{m}

avec u = α_{A_{1},...,A_{m−1}} × Id_{A_{m}} et v = α_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}. On trouve ainsi

d_{A_{1},...,A_{m}} = ∥ det u∥.∥ det v∥ = d_{A_{1},...,A_{m−1}}.d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}

et en appliquant l’hypothèse de récurrence à d_{A_{1},...,A_{m−1}}, on prouve la première assertion. L’application u admet pour valeurs caractéristiques celles de α_{A_{1},...,A_{m−1}}, auxquelles on a adjoint la valeur caractéristique 1 avec multiplicité dim A_{m}. Par hypothèse de récurrence, les valeurs caractéristiques de α_{A_{1},...,A_{m−1}} sont toutes dans l’intervalle

[(1 − \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m−1}}^{2}})^{(m−2)/2} , (1 + \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m−1}}^{2}})^{(m−2)/2}] ,

et il en est donc de même des valeurs caractéristiques de u. Autrement dit (corollaire 1.2.5), pour tout x dans A_{1} × ⋯ × A_{m−1} × A_{m}, on a

(1 − \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m−1}}^{2}})^{(m−2)/2} ∥x∥ ≤ ∥u(x)∥ ≤ (1 + \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m−1}}^{2}})^{(m−2)/2} ∥x∥.

Par ailleurs, le corollaire 1.2.18.ii. implique que pour tout y dans (A_{1} + ⋯ + A_{m−1}) × A_{m}, on a

(1 − \sqrt{1 − d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}^{2}})^{1/2} ∥y∥ ≤ ∥v(y)∥ ≤ (1 + \sqrt{1 − d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}^{2}})^{1/2} ∥y∥.

En combinant ces deux encadrements, et en utilisant le fait que

d_{A_{1},...,A_{m}} = d_{A_{1},...,A_{m−1}}.d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}} ≤ min{d_{A_{1},...,A_{m−1}}, d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}},

on trouve, pour tout x dans A_{1} × ⋯ × A_{m−1} × A_{m} :

(1 − \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m}}^{2}})^{(m−1)/2} ∥x∥ ≤

≤ (1 − \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m−1}}^{2}})^{(m−2)/2} (1 − \sqrt{1 − d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}^{2}})^{1/2} ∥x∥ ≤
≤ ∥v(u(x))∥ = ∥α_{A_{1},...,A_{m}}(x)∥

et

∥α_{A_{1},...,A_{m}}(x)∥ = ∥v(u(x))∥ ≤

≤ (1 + \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m−1}}^{2}})^{(m−2)/2} (1 + \sqrt{1 − d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}^{2}})^{1/2} ∥x∥ ≤
≤ (1 + \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m}}^{2}})^{(m−1)/2} ∥x∥,

ce qu’il fallait démontrer. □

Corollaire 1.2.27 Soit d un entier. Il existe deux constantes c et η > 0 (dépendant de d) telles que, pour tout espace hermitien E de dimension au plus d et pour tous sous-espaces A_{1}, …, A_{m} en somme directe dans E tels que

M = max_{1≤i<j≤m}{∥p_{A_{i}}|_{A_{j}}∥^{2}} ≤ η,

on ait

1 ≥ d_{A_{1},...,A_{m}} ≥ 1 − cM.

Démonstration : On ne perd pas de généralité en supposant que les A_{i} sont tous non nuls. Alors, puisque ces sous-espaces sont en somme directe, on a nécessairement m ≤ d. Par la proposition précédente on a

d_{A_{1},...,A_{m}} = d_{A_{1},A_{2}}.d_{(A_{1}+A_{2}),A_{3}}. · · · .d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}.

Pour démontrer le corollaire, il suffit donc de minorer chacun des termes de ce produit. Si M est assez petit, la minoration voulue est fournie par les corollaires 1.2.18.iii. et 1.2.25. □

1.2.4 Un résultat technique

Proposition 1.2.28 Soient

H_{0} = Y_{0} ⊕^{⊥} Z_{0}

un espace hermitien somme directe orthogonale de deux sous-espaces et T_{0} un sous-espace de H_{0} tel que T_{0} ∩ Y_{0} = {0}.

Alors il existe une constante κ_{0} > 0 telle que, pour toute donnée d’un espace hermitien

H_{1} = Y_{1} ⊕^{⊥} Z_{1}

somme directe orthogonale de deux sous-espaces et pour tout sous-espace T_{1} de H_{1} tel que T_{1}∩Y_{1} = {0}, pour toute application linéaire φ : H_{0} → H_{1} vérifiant les conditions suivantes :

i. φ est bijective ii. φ(Y_{0}) = Y_{1}, φ(Z_{0}) = Z_{1}, φ(T_{0}) = T_{1} iii. il existe η_{φ} > 0 tel que ∥φ(y_{0})∥ ≤ η_{φ}∥y_{0}∥ pour tout y_{0} ∈ Y_{0} iv. il existe ζ_{φ} > 0 tel que ∥φ(z_{0})∥ ≥ ζ_{φ}∥z_{0}∥ pour tout z_{0} ∈ Z_{0}, on ait :

∥p_{Y_{1}}|_{T_{1}}∥ ≤ (1 + κ_{0}^{2} \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} )^{−1/2} .

Démonstration : On a

ker p_{Z_{0}}|_{T_{0}} = T_{0} ∩ ker p_{Z_{0}} = T_{0} ∩ Y_{0} = {0}.

Ainsi p_{Z_{0}}|_{T_{0}} est injective ; choisissons pour κ_{0} la plus petite valeur caractéristique de p_{Z_{0}}|_{T_{0}}. On a alors bien κ_{0} > 0 et, pour tout t_{0} ∈ T_{0}, on aura l’inégalité

∥p_{Z_{0}}(t_{0})∥ ≥ κ_{0}∥t_{0}∥.

Les hypothèses de la proposition impliquent que p_{Y_{1}} ∘φ = φ∘p_{Y_{0}} et que p_{Z_{1}} ∘φ = φ∘p_{Z_{0}}. Soit maintenant t_{1} ∈ T_{1}, t_{1} ≠ 0. Puisque T_{1} = φ(T_{0}), on peut écrire t_{1} = φ(t_{0}), t_{0} ∈ T_{0}. Alors

\frac{∥p_{Y_{1}}(t_{1})∥^{2}}{∥t_{1}∥^{2}} = \frac{∥p_{Y_{1}}(t_{1})∥^{2}}{∥p_{Y_{1}}(t_{1})∥^{2} + ∥p_{Z_{1}}(t_{1})∥^{2}}

= \frac{∥φ(p_{Y_{0}}(t_{0}))∥^{2}}{∥φ(p_{Y_{0}}(t_{0}))∥^{2} + ∥φ(p_{Z_{0}}(t_{0}))∥^{2}}

= (1 + \frac{∥φ(p_{Z_{0}}(t_{0}))∥^{2}}{∥φ(p_{Y_{0}}(t_{0}))∥^{2}} )^{−1}

≤ (1 + \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} \frac{∥p_{Z_{0}}(t_{0})∥^{2}}{∥p_{Y_{0}}(t_{0})∥^{2}} )^{−1}

≤ (1 + \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} \frac{∥p_{Z_{0}}(t_{0})∥^{2}}{∥t_{0}∥^{2}} )^{−1}

≤ (1 + κ_{0}^{2} \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} )^{−1}

ce qu’il fallait démontrer. □

Sous les hypothèses précédentes, soit d_{Y_{1},T_{1}} la norme du déterminant de l’isomorphisme naturel

Y_{1} × T_{1} ≃ Y_{1} + T_{1}.

Alors :

Corollaire 1.2.29 On a l’encadrement

1 ≥ d_{Y_{1},T_{1}} ≥ (1 − (1 + κ_{0}^{2} \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} )^{−1})^{1/2. min(dim Y_{1},dim T_{1})} .

Démonstration : C’est une conséquence immédiate du corollaire 1.2.18.iii. et de la proposition 1.2.28. □

1.3 Quelques résultats de géométrie hermitienne projective

1.3.1 Un calcul de normes

Soient N un entier et E un espace hermitien de dimension N + 1. On note

ℙ_{E} = Proj(Sym^{.}E)

l’espace projectif dont les points paramétrisent les hyperplans de E. On munit ℙ_{E}(ℂ) de l’unique métrique kählérienne invariante sous l’action du groupe unitaire de E et qui en fait un espace de volume 1 pour la mesure dμ associée (avec les conventions exposées au début de ce texte). Notons encore ω = ω_{F S} la 2-forme associée à cette métrique, appelée forme de Fubini-Study. On rappelle que par (1.1.7), on a dμ = ω^{n}.

Le fibré en droites universel O(1) = O_{E}(1) est muni de la métrique ∥.∥_{F S} dite métrique standard ou de Fubini-Study : c’est la métrique quotient définie par la surjection canonique

π^{∗}E ↠ O(1),

où π : ℙ_{E} → Spec ℂ est le morphisme structurel. Alors, avec nos conventions, la première forme de Chern de ∥.∥_{F S} est égale à ω_{F S}. Notons O(n) = O(1)^{⊗n} la n-ième puissance tensorielle du fibré en droites universel, et munissons l’espace des sections globales Γ(ℙ_{E}, O(n)) de la norme L^{2} définie en (1.1.4).

Dans le cas particulier où E est l’espace ℂ^{N+1} muni du produit hermitien standard, on notera

ℙ_{E} = ℙ_{ℂ}^{N} = Proj ℂ[X_{0}, …, X_{N}]

et on l’appellera l’espace projectif standard sur ℂ de dimension N. On se propose ici de calculer les normes L^{2} (introduites ci-dessus) sur Γ(ℙ_{ℂ}^{N}, O(n)). L’espace Γ(ℙ^{N}, O(n)) s’identifie à l’espace des polynômes homogènes de degré n en N + 1 variables X_{0}, …, X_{N}. Il est

de rang ( \begin{matrix}n + N \\ N \end{matrix} ).

Si I = (i_{0}, …, i_{N}) est un multi-indice de poids n = |I| = i_{0} + ⋯ + i_{N} on note X^{I} = X_{0}^{i_{0}}. · · · .X_{N}^{i_{N}}, et pour tout entier m ≥ n on pose

( \begin{matrix}m \\ I \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}m \\ I, m − n \end{matrix} ) = \frac{m!}{i_{0}! ⋯ i_{N}!(m − n)!}.

Lemme 1.3.1 Les (X^{I})_{|I|=n} forment une base orthogonale de Γ(ℙ_{ℂ}^{N}, O(n)) (pour la norme L^{2}).

Démonstration : Soient u_{0}, …, u_{N} des nombres complexes de module 1, et u la matrice diagonale Diag(u_{0}, …, u_{N}). C’est un élément du groupe unitaire U(N + 1). Par invariance de la forme volume dμ sous l’action de u, on obtient, pour tous multi-indices I et J de poids n, l’égalité

< X^{I}, X^{J} >_{L^{2}}=< (uX)^{I}, (uX)^{J} >_{L^{2}}= u_{0}^{j_{0}−i_{0}}. · · · .u_{N}^{j_{N} −i_{N}} . < X^{I}, X^{J} >_{L^{2}} .

Si I ≠ J, on peut trouver des u_{i} tels que u_{0}^{j_{0}−i_{0}}. · · · .u_{N}^{j_{N} −i_{N}} ≠ 1, de telle sorte que

< X^{I}, X^{J} >_{L^{2}}= 0,

ce qu’il fallait démontrer. □ Avec les mêmes notations, on a encore le

Lemme 1.3.2 Si I est un multi-indice de poids n, la norme L^{2} de X^{I} vaut

∥X^{I}∥_{L^{2}} = ( \begin{matrix}n + N \\ I \end{matrix} )^{−1/2} = (\frac{i_{0}! ⋯ i_{N}!N!}{(n + N)!})^{1/2} .

Il s’agit du lemme 4.3.6 de [11]. Par commodité pour le lecteur, en voici une autre preuve.

Démonstration : Par invariance de dμ sous l’action du groupe unitaire, il existe une constante C = C(n, d) telle que pour tout t = (t_{0}, …, t_{N}) on ait

∥(t_{0}X_{0} + ⋯ + t_{N}X_{N})^{n}∥_{L^{2}}^{2} = C.(|t_{0}|^{2} + ⋯ + |t_{N}|^{2})^{n} = C. ∑_{|I|=n} ( \begin{matrix}n \\ I \end{matrix} ) |t^{I}|^{2}.

Mais d’autre part on a (t_{0}X_{0} + ⋯ + t_{N}X_{N})^{n} = ∑_{|I|=n} ( \begin{matrix}n \\ I \end{matrix} ) t^{I}X^{I} donc par le lemme précédent,

∥(t_{0}X_{0} + ⋯ + t_{N}X_{N})^{n}∥_{L^{2}}^{2} = ∑_{|I|=n} ( \begin{matrix}n \\ I \end{matrix} )^{2} |t^{I}|^{2}∥X^{I}∥_{L^{2}}^{2}.

En identifiant les coefficients de t^{I} dans ces deux relations, on trouve

∥X^{I}∥_{L^{2}}^{2} = C. ( \begin{matrix}n \\ I \end{matrix} )^{−1} .

Par ailleurs, en intégrant sur ℙ^{N}(ℂ) la relation

1 = (∥X_{0}∥_{F S}^{2}(x) + ⋯ + ∥X_{N}∥_{F S}^{2}(x))^{n} = ∑_{|I|=n} ( \begin{matrix}n \\ I \end{matrix} ) ∥X^{I}∥_{F S}^{2}(x)

on trouve

1 = ∑_{|I|=n} ( \begin{matrix}n \\ I \end{matrix} ) ∥X^{I}∥_{L^{2}}^{2} = ∑_{|I|=n} ( \begin{matrix}n \\ I \end{matrix} ) .C. ( \begin{matrix}n \\ I \end{matrix} )^{−1} = C. ( \begin{matrix}n + N \\ N \end{matrix} )

c’est-à-dire C = ( \begin{matrix}n + N \\ N \end{matrix} )^{−1} et

∥X^{I}∥_{L^{2}}^{2} = ( \begin{matrix}n + N \\ N \end{matrix} )^{−1} . ( \begin{matrix}n \\ I \end{matrix} )^{−1} ,

ce qu’il fallait démontrer. □

Lemme 1.3.3 Soient a_{0}, …, a_{n} des nombres complexes, et posons

s_{a}^{n} = (\overline{a_{0}}X_{0} + ⋯ + \overline{a_{N}}X_{N})^{n} ∈ Γ(ℙ_{ℂ}^{N}, O(n)).

Si P ∈ Γ(ℙ_{ℂ}^{N}, O(n)) est un polynôme homogène de degré n, on a alors

< s_{a}^{n}, P >_{L^{2}}= ( \begin{matrix}n + N \\ N \end{matrix} )^{−1} P (a).

Démonstration : la forme volume sur ℙ^{N} étant invariante sous l’action du groupe unitaire, on peut supposer a_{1} = ⋯ = a_{N} = 0, auquel cas s_{a}^{n} = \overline{a_{0}}^{n}X_{0}^{n}. Le résultat est alors une conséquence immédiate du lemme précédent. □

Revenons au cas général. Si E est un espace hermitien de dimension N + 1, on a un isomorphisme canonique

Γ(ℙ_{E}, O(n)) ≃ S^{n}E.

Cet isomorphisme n’est pas isométrique (lorsque Γ(ℙ_{E}, O(n)) est muni de la norme L^{2} et que S^{n}E est muni de la norme puissance symétrique de celle de E). Cependant, avec les conventions du paragraphe précédent, on a le

Lemme 1.3.4 L’isomorphisme canonique Γ(ℙ_{E}, O(n)) ⟶^{∼} S^{n}E est une similitude de rap-

port ( \begin{matrix}n + N \\ N \end{matrix} )^{1/2} , i.e. on a l’identité

∥.∥_{Γ(ℙ_{E},O(n)),L^{2}}^{2} = ( \begin{matrix}n + N \\ N \end{matrix} )^{−1} ∥.∥_{S^{n}E}^{2}.

Démonstration : Le choix d’une base unitaire de E permet d’identifier ℙ_{E} à l’espace projectif ℙ_{ℂ}^{N}. Il suffit alors de vérifier le lemme sur la base orthogonale formée des monômes X^{I}, où |I| = n. Or compte tenu de (1.1.1), on a

∥X^{I}∥_{S^{n}((ℂ^{N+1})^{∗})}^{2} = \frac{i_{0}!. · · · .i_{N}!}{n!}.

En comparant avec le lemme 1.3.2, on trouve le résultat souhaité. □

1.3.2 Un calcul de décomposition polaire

Soient E un espace hermitien de dimension N +1 et ℙ_{E} l’espace projectif défini au paragraphe précédent. Soient P un point de ℙ_{E}, F l’hyperplan de E défini par P, Δ l’orthogonal de F dans E, et δ un vecteur unitaire de Δ. Par l’identification naturelle

E ≃ Γ(ℙ_{E}, O(1))

on peut voir δ comme un élément de Γ(ℙ_{E}, O(1)) et, avec cette identification, le lemme 1.3.4 donne

∥δ∥_{Γ(ℙ_{E},O(1))} = (N + 1)^{−1/2}.

Si n et d sont des entiers, la multiplication par δ^{⊗d} définit une application linéaire

m_{δ^{⊗d}} : Γ(ℙ_{E}, O(n)) ⟶ Γ(ℙ_{E}, O(n + d)).

On se propose ici de déterminer la décomposition polaire de m.

Pour alléger les notations, on notera

A(n) = Γ(ℙ_{E}, O(n)).

La décomposition E = F ⊕^{⊥} Δ induit pour tout n une décomposition en somme directe orthogonale

S^{n}E = ⨁_{t=0...n}^{⊥} S^{t}F ⊗ Δ^{⊗n−t}.

On définit A(n)_{t} comme étant l’image de l’application composée

S^{t}F ⊗ Δ^{⊗n−t} ↪ S^{n}E ⟶^{∼} A(n).

Ainsi on a une décomposition

A(n) = ⨁_{t=0...n}^{⊥} A(n)_{t}.

On remarquera que si P est le point de ℙ_{E} représentant l’hyperplan F, la filtration associée à cette décomposition est la filtration sur A(n) définie par la multiplicité du zéro en P. Autrement dit, si s ∈ A(n) = Γ(ℙ_{E}, O(n)), on a s ∈ Fil^{k} A(n) = ⨁_{t=k...n}^{⊥} A(n)_{t} si et seulement si s s’annule au moins à l’ordre k en P.

Proposition 1.3.5 L’application

m_{δ^{⊗d}} : A(n) ⟶ A(n + d)

admet pour valeurs caractéristiques les

λ_{t} = (\frac{(n + N).(n + N − 1) … (n − t + 1)}{(n + d + N).(n + d + N − 1) … (n + d − t + 1)})^{1/2} , 0 ≤ t ≤ n,

avec pour espaces caractéristiques associés respectifs les A(n)_{t}.

Démonstration : On a un diagramme commutatif

S^{t}F ⊗ Δ^{⊗n−t} ⟶^{j} S^{n}E ⟶^{i} A(n)
↓_{δ^{⊗d}}  ↓  ↓^{m}
S^{t}F ⊗ Δ^{⊗n+d−t} ⟶^{j′} S^{n+d}E ⟶^{i′} A(n + d)

qui prouve que m envoie A(n)_{t} bijectivement sur A(n + d)_{t}.

Soit maintenant x ∈ S^{t}F ⊗ Δ^{⊗n−t}. Par le lemme 1.3.4, i est une similitude de rapport \binom{n+N}{N}^{−1/2}, et par le lemme 1.1.3, j est une similitude sur son image, de rapport \binom{n}{t}^{−1/2}. On a donc

∥i ∘ j(x)∥ = \binom{n}{t}^{−1/2}\binom{n + N}{N}^{−1/2}∥x∥.  (1.3.1)

De la même façon,

\begin{aligned}∥i′ ∘ j′(x.δ^{⊗d})∥ & = \binom{n + d}{t}^{−1/2}\binom{n + d + N}{N}^{−1/2}∥x.δ^{⊗d}∥ \\ & = \binom{n + d}{t}^{−1/2}\binom{n + d + N}{N}^{−1/2}∥x∥. \end{aligned}

Ainsi si y ∈ A(n)_{t}, on peut écrire y = i ∘ j(x), de telle sorte que m(y) = i′ ∘ j′(x.δ^{⊗d}) et ∥m(y)∥ = λ_{t}∥y∥ où

λ_{t} = \binom{n}{t}^{1/2}\binom{n + N}{N}^{1/2}\binom{n + d}{t}^{−1/2}\binom{n + d + N}{N}^{−1/2}

= (\frac{(n + N)!(n + d − t)!}{(n − t)!(n + d + N)!})^{1/2}

= (\frac{(n + N).(n + N − 1) … (n − t + 1)}{(n + d + N).(n + d + N − 1) … (n + d − t + 1)})^{1/2}

□

Remarque 1.3.6 En particulier, lorsque n et t sont fixés et que d tend vers l’infini, on retiendra que la proposition fournit l’équivalent

λ_{t} = λ_{t}(d) ∼_{d→∞} (\frac{(n + N)!}{(n − t)!})^{1/2} .d^{− \frac{1}{2} (N+t)}.  (1.3.2)

1.4 Petits rappels de géométrie d’Arakelov

Dans cette thèse, on utilisera librement le langage de la géométrie d’Arakelov, pour lequel on renvoie principalement à [57]. Le lecteur pourra aussi consulter [3], [8], [11], [21], [24], [25], [27] et [37]. On se propose cependant ici de rappeler quelques définitions élémentaires et de préciser certaines conventions qui seront utilisées dans la suite du texte.

1.4.1 Modules hermitiens et théorie des pentes

Pour cette partie, on pourra consulter [9], [37] et [58].

Soit K un corps de nombres d’anneau d’entiers O_{K}. Pour tout idéal premier 𝔭 de O_{K}, la valeur absolue |.|_{𝔭} sur le complété K_{𝔭} de K en 𝔭 sera normalisée de telle sorte que si ϖ_{𝔭} est une uniformisante en 𝔭, on ait

|ϖ_{𝔭}|_{𝔭} = (|N_{K/ℚ}(𝔭)|)^{−1} = (# k_{𝔭})^{−1}

où k_{𝔭} est le corps résiduel en 𝔭. Avec ces normalisations, la formule du produit s’énonce ainsi : pour tout élément non nul x de K on a

∑_{𝔭∈Spec O_{K}} log |x|_{𝔭} + ∑_{σ:K↪ℂ}log |σ(x)| = 0,

où |.| est la valeur absolue usuelle sur ℂ.

On appelle module hermitien sur O_{K} un O_{K}-module de type fini M tel que, pour tout plongement σ de K dans ℂ, le ℂ-espace vectoriel M_{σ} = M ⊗_{O_{K},σ} ℂ est muni d’un produit scalaire hermitien, ces données étant compatibles à la conjugaison complexe. On notera \overline{M} le O_{K}-module hermitien ainsi défini.

Soient L une extension finie de K, et O_{L} l’anneau des entiers de L. Si τ est un plongement de L dans ℂ et si σ est la restriction de τ à K, les ℂ-espaces vectoriels M_{σ} = M ⊗_{O_{K},σ} ℂ et (M_{O_{L}})_{τ} = (M ⊗_{O_{K}} O_{L}) ⊗_{O_{L},τ} ℂ sont naturellement isomorphes, ce qui permet de munir M_{O_{L}} d’une structure de O_{L}-module hermitien. On dira que c’est le O_{L}-module hermitien déduit de \overline{M} par extension des scalaires de K à L.

Si \overline{M} est un O_{K}-module hermitien et si s_{1}, …, s_{r} sont des éléments de M dont les images dans le K-espace vectoriel M_{K} forment une base de cet espace, on définit le degré arakelovien (ou degré d’Arakelov) normalisé de \overline{M} comme étant le nombre réel

d̂eg \overline{M} = \frac{1}{[K : ℚ]} (log # M/(s_{1}, …, s_{n}) − ∑_{σ:K↪ℂ}log ∥s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{r}∥_{⋀^{r} M_{σ}})

(en cas d’ambiguïté sur l’anneau de base, on pourra préciser d̂eg_{K} \overline{M} au lieu de d̂eg \overline{M}).

On vérifie aisément que cette expression ne dépend pas des choix faits, et qu’elle est invariante par extension finie de K : avec les notations précédentes, on a

d̂eg_{K} \overline{M} = d̂eg_{L}\overline{M_{O_{L}}}.

En outre, puisque M est un module de type fini sur un anneau de Dedekind, il revient au même de dire que M est sans torsion, que c’est un O_{K}-module projectif, qu’il est plat, ou encore que c’est un O_{K}-module localement libre. Sous cette hypothèse on dira que \overline{M} est un O_{K}-fibré vectoriel hermitien, de rang égal par définition à dim_{K} M_{K}. Alors, si M n’est pas nul, on définit la pente de \overline{M} par la formule

μ̂(\overline{M}) = \frac{d̂eg \overline{M}}{rg M} .

On dira que

0 → \overline{M′} → \overline{M} → \overline{M′′} → 0

est une suite exacte courte de O_{K}-modules hermitiens si la suite des O_{K}-modules sousjacents est exacte et si les métriques sur M′ (resp. M′′) sont celles induites (resp. quotient) par celles de M. Alors, sous ces conditions, on a

d̂eg \overline{M} = d̂eg \overline{M′} + d̂eg \overline{M′′}.

En particulier, pour tout O_{K}-module hermitien \overline{M}, le O_{K}-module de type fini M/M_{tors} est projectif et muni naturellement d’une structure de O_{K}-fibré vectoriel hermitien. On a alors la relation

d̂eg \overline{M} = \frac{1}{[K : ℚ]} log #M_{tors} + d̂eg \overline{M/M_{tors}}.  (1.4.1)

Soit maintenant \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien non nul. On définit la pente maximale de \overline{E} comme étant la borne supérieure des pentes de ses sous-modules non nuls :

μ̂_{max}(\overline{E}) = sup\{μ̂(\overline{F}) | 0 ≠ F ⊂ E\}.

Le fibré hermitien \overline{E} sera dit semi-stable si

μ̂_{max}(\overline{E}) = μ̂(\overline{E}).

Par exemple, le fibré libre (\overline{O}_{K})^{r} de rang r > 0, muni des métriques standard définies par la base canonique, est semi-stable de pente nulle.

Soient \overline{E} et \overline{F} deux O_{K}-fibrés vectoriels hermitiens et φ : E_{K} → F_{K} une application K−linéaire non nulle. Pour tout plongement σ : K → ℂ, on note ∥φ∥_{σ} la norme de l’application ℂ−linéaire φ_{σ} relativement aux normes de E_{σ} et F_{σ}. De même, si 𝔭 est un idéal premier de O_{K} et si K_{𝔭} est le complété de K relativement à 𝔭, on note ∥φ∥_{𝔭} la norme de l’application K_{𝔭}−linéaire φ_{K_{𝔭}} : E_{K_{𝔭}} → F_{K_{𝔭}} ; plus précisément, avec les normalisations choisies, on a

log ∥φ∥_{𝔭} = inf{n ∈ ℤ | φ(ϖ_{𝔭}^{n}E) ⊂ F }. log N_{K/ℚ}(𝔭),

où ϖ_{𝔭} est une uniformisante de K_{𝔭}. On définit alors la hauteur (normalisée) de φ comme suit :

h(φ) = h(φ, \overline{E}, \overline{F}) = \frac{1}{[K : ℚ]}(∑_{𝔭}log ∥φ∥_{𝔭} + ∑_{σ} log ∥φ∥_{σ}).  (1.4.2)

Il résulte immédiatement des définitions que si E et F sont de rang un, alors d̂eg\overline{E} = d̂eg\overline{F} + h(φ) d’où, plus généralement :

Lemme 1.4.1 Soient \overline{E} et \overline{F} deux O_{K}-fibrés vectoriels hermitiens de même rang et φ : E_{K} →^{∼} F_{K} un isomorphisme de K-espaces vectoriels. Alors

d̂eg\overline{E} = d̂eg\overline{F} + h(⋀^{max} φ).

Plus loin dans le texte, on utilisera l’inégalité de pentes suivante.

Proposition 1.4.2 Soient \overline{E} et \overline{F} deux O_{K}-fibrés vectoriels hermitiens et φ : E_{K} → F_{K} une application K-linéaire injective. Alors on a

μ̂_{max}(\overline{E}) ≤ μ̂_{max}(\overline{F}) + h(φ).

Démonstration : Soit E′ un sous-fibré vectoriel non nul de E. Notons

φ(E′)_{sat} = φ(E′)_{K} ∩ F.

Il découle facilement des définitions qu’on a

\frac{1}{rg E′} h (⋀^{rg E′} φ|_{E′_{K}}, ⋀^{rg E′} \overline{E′}, ⋀^{rg E′} \overline{φ(E′)}_{sat}) ≤ h(φ|_{E′_{K}}, \overline{E′}, \overline{φ(E′)}_{sat}) ≤ h(φ, \overline{E}, \overline{F})

d’où, par le lemme 1.4.1

μ̂(\overline{E′}) ≤ μ̂(\overline{φ(E′)}_{sat}) + h(φ).

Pour terminer la démonstration, il suffit alors de faire varier E′ dans cette inégalité et de passer à la borne supérieure. □

Le lecteur intéressé trouvera une présentation bien plus approfondie de la théorie des pentes dans [9] appendice A, ou dans [10] section 4.1.

1.4.2 Quelques conventions en dimension supérieure

On commence par donner quelques définitions non standard qui seront utilisées dans la suite du texte.

Définition 1.4.3 Soient K un corps de nombres et O_{K} l’anneau des entiers de K. On appelle pré-variété arithmétique sur O_{K} un schéma X projectif sur Spec O_{K} dont la fibre générique X_{K} est lisse.

Si en outre X est plat sur Spec O_{K}, on dira que c’est une variété arithmétique.

Définition 1.4.4 Une pré-variété arithmétique X sur O_{K} sera dite mesurée si l’ensemble des points complexes X (ℂ) est muni d’une mesure strictement positive invariante sous l’action de la conjugaison complexe.

Une pré-variété arithmétique X sur O_{K} sera dite kählérienne si l’ensemble des points complexes X (ℂ) est muni d’une structure kählérienne invariante sous l’action de la conjugaison complexe.

Au moyen de la convention (1.1.7), toute pré-variété arithmétique kählérienne est munie d’une structure de pré-variété arithmétique mesurée.

Définition 1.4.5 Si X est une pré-variété arithmétique sur O_{K}, un fibré vectoriel hermitien \overline{E} sur X est un O_{X} -module localement libre E tel que, pour tout plongement σ de K dans ℂ, le fibré E_{σ} sur X_{σ}(ℂ) est un muni d’une métrique hermitienne C^{∞}, ces données étant invariantes sous l’action de la conjugaison complexe.

On vérifie aisément que dans le cas particulier où X = Spec O_{K}, on retrouve la notion de O_{K}-fibré vectoriel hermitien définie précédemment.

Le rang de \overline{E} est par définition le rang du fibré sous-jacent E (c’est une fonction localement constante sur X). Si \overline{E} est de rang constant égal à 1, on dira que c’est un fibré en droites (ou un faisceau inversible) hermitien.

Définition 1.4.6 Un fibré en droites hermitien \overline{L} sur une pré-variété arithmétique X sera dit positif si L est ample et si la forme de courbure de \overline{L} est définie positive sur X (ℂ).

Si π : X → Spec O_{K} est une pré-variété arithmétique mesurée sur l’anneau des entiers O_{K} d’un corps de nombres K et \overline{E} est un fibré vectoriel hermitien sur X, la construction (1.1.4) permet pour tout plongement σ de K dans ℂ de définir un produit scalaire < ., . >_{L^{2},σ} sur Γ(X_{σ}(ℂ), E_{σ}) = Γ(X , E)_{σ} et ainsi de munir Γ(X , E) d’une structure de module hermitien sur O_{K}. Si en outre X est plat sur Spec O_{K}, \overline{Γ(X , E)} est un O_{K}-fibré vectoriel hermitien.

Un exemple important de variété arithmétique mesurée est l’espace projectif des quotients localement libres de rang un d’un O_{K}-fibré vectoriel hermitien, défini comme suit.

Soit \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien de rang N + 1. On pose

ℙ_{E} = Proj(Sym^{.}E).

C’est une variété arithmétique sur O_{K}, au sens de la définition 1.4.3. Pour tout plongement σ de K dans ℂ, le ℂ-espace vectoriel E_{σ} est muni d’un produit scalaire hermitien, et le schéma (ℙ_{E})_{σ} déduit de ℙ_{E} par changement de base via σ s’identifie naturellement au schéma ℙ_{E_{σ}} associé à E_{σ} au début du paragraphe 1.3.1. Ainsi (ℙ_{E})_{σ}(ℂ) est muni de la structure kählérienne définie au paragraphe 1.3.1, et de la forme volume associée. Ceci fait de ℙ_{E} une variété arithmétique mesurée.

Le fibré en droites universel O(1) sur ℙ_{E} est encore muni à l’infini des métriques hermitiennes définies au paragraphe 1.3.1 ; de même pour ses puissances tensorielles. Pour tout n on a alors un morphisme naturel de O_{K}-fibrés vectoriels hermitiens

φ_{n} : \overline{S^{n}E} ⟶ \overline{Γ(ℙ_{E}, O(n))},

qui est un isomorphisme sur les O_{K}-modules sous-jacents et tel que, par le lemme 1.3.4, pour tout plongement σ de K dans ℂ, l’application ℂ-linéaire (φ_{n})_{σ} est une similitude de rapport \binom{N+n}{N}^{−1/2}.

Hauteurs de sous-schémas et lien avec la géométrie d’Arakelov des schémas de Hilbert

Dans ce chapitre on montre comment il est possible d’associer naturellement à tout sous-schéma d’une pré-variété arithmétique mesurée munie d’un fibré en droites hermitien positif (avec les définitions du paragraphe 1.4.2) une famille de hauteurs, indexées par un entier n ∈ ℕ. Lorsque l’on fait varier n, ces hauteurs se comportent essentiellement comme la fonction de Hilbert-Samuel arithmétique du sous-schéma, au sens de [38].

2.1 Métrisation des schémas de Hilbert

On utilisera librement dans ce texte les deux théorèmes suivants relatifs à la construction des schémas de Hilbert, dont on trouvera une démonstration dans [29] ou dans [36].

Soient S un schéma noethérien, X un schéma projectif sur S muni d’un fibré très ample noté O_{X}(1), π : X → S le morphisme structural de X, et P un polynôme numérique^{1}. On note Hilb_{X/S}^{P} le foncteur qui, à tout S-schéma T, associe l’ensemble des sous-schémas fermés de X_{T} = X ×_{S} T plats sur T dont le polynôme de Hilbert (en chaque fibre) relativement à O_{X}(1) est égal à P.

Alors, sous ces hypothèses, on a le

Théorème 2.1.1 (Grothendieck) Le foncteur Hilb_{X/S}^{P} est représentable par un S-schéma projectif.

On notera désormais Hilb_{X/S}^{P} le S-schéma projectif représentant le foncteur Hilb_{X/S}^{P}, dont l’existence est assurée par le théorème 2.1.1.

Soient maintenant T un S-schéma et Y un sous-schéma fermé de X_{T} plat sur T et de polynôme de Hilbert P. Notons [Y]_{H} le T -point de Hilb_{X/S}^{P} représentant Y. Si n est un entier, on dira que Y satisfait à la condition (∗_{n}) si le morphisme de restriction

1c’est-à-dire, un polynôme (à coefficients rationnels) dont les valeurs aux entiers suffisamment grands sont entières positives.

(π_{X_{T} /T})_{∗}O_{X_{T}} (n) → (π_{Y/T})_{∗}(O_{X_{T}} (n)|_{Y})

est surjectif et fait de (π_{Y/T})_{∗}(O_{X_{T}} (n)|_{Y}) un quotient localement libre de rang P (n) de (π_{X_{T} /T})_{∗}O_{X_{T}} (n). Ainsi, si cette condition (∗_{n}) est vérifiée, (π_{Y/T})_{∗}(O_{X_{T}} (n)|_{Y}) définit un T -point (noté [Y]_{G}) de la grassmannienne G_{P (n)}(π_{∗}O_{X}(n)) des quotients localement libres de rang P (n) de π_{∗}O_{X}(n).

Avec ces notations, on a alors le

Théorème 2.1.2 Il existe un entier n_{0} tel que, pour tout n supérieur ou égal à n_{0} et pour tout S-schéma T, tout sous-schéma fermé Y de X_{T} plat sur T de polynôme de Hilbert P vérifie la condition (∗_{n}). En outre, le morphisme de schémas

η_{n} : Hilb_{X/S}^{P} → G_{P (n)}(π_{∗}O_{X}(n))

représentant la transformation naturelle du foncteur de Hilbert vers le foncteur grassmannien qui envoie [Y]_{H} sur [Y]_{G}, est une immersion fermée.

Remarque 2.1.3 Une condition suffisante pour qu’un entier n_{0} vérifie la condition énoncée dans le théorème 2.1.2 est que n_{0} soit régulier au sens de Castelnuovo-Mumford relativement au morphisme π : X → S, au faisceau O_{X}(1) et au polynôme P. Pour une discussion de cette notion on pourra consulter [45], chapitre 14.

On notera M_{n} l’image inverse du fibré en droites universel sur la grassmannienne par le plongement η_{n} défini dans le théorème 2.1.2. Par construction, si [Y]_{H} est un T -point du schéma de Hilbert représentant un sous-schéma Y de X_{T}, la fibre en [Y]_{H} de M_{n} s’identifie canoniquement au O_{T} -module

⋀^{P (n)}(π_{Y/T})_{∗}(O_{X_{T}} (n)|_{Y}).

Les constructions et théorèmes précédents restent valables lorsque l’on remplace le faisceau très ample O_{X}(1) par un faisceau L ample relativement à π.

Soient maintenant K un corps de nombres, O_{K} l’anneau des entiers de K, π : X → Spec O_{K} une pré-variété arithmétique (au sens de la définition 1.4.3) munie d’un fibré en droite hermitien \overline{L} ample relativement à π, et P un polynôme numérique. On applique les résultats précédents avec X = X, S = Spec O_{K}. On note H = Hilb_{X /S}^{P} le schéma de Hilbert correspondant. On va montrer que les faisceaux M_{n} définis sur H peuvent être munis naturellement d’une structure hermitienne.

Soient n_{0} l’entier défini dans le théorème 2.1.1 et n un entier supérieur ou égal à n_{0}. Notons :

– G_{n} = G_{P (n)}(π_{∗}L^{⊗n}) la grassmannienne des quotients localement libres de rang P (n) de π_{∗}L^{⊗n},

– π_{G_{n}} : G_{n} → S et π_{H} : H → S les projections canoniques,

– O_{G_{n}}(1) le fibré en droites universel sur G_{n} et

– η_{n} : H → G_{n} le plongement grassmannien défini par le théorème 2.1.2.

Par définition de O_{G_{n}}(1) on a une surjection canonique

π_{G_{n}}^{∗}(⋀^{P (n)} π_{∗}L^{⊗n}) ↠ O_{G_{n}}(1)

qui se restreint via η_{n} en une surjection

π_{H}^{∗}(⋀^{P (n)} π_{∗}L^{⊗n}) ↠ M_{n}.

Avec les conventions et définitions du paragraphe 1.4.2, supposons que X est mesurée. Alors π_{∗}L^{⊗n} est muni des normes L^{2}, et ⋀^{P (n)} π_{∗}L^{⊗n} est muni des normes puissance extérieure. Ainsi, en munissant M_{n} des normes quotient via la surjection précédente, on obtient sur H un fibré en droites hermitien, qu’on notera \overline{M_{n}}.

2.2 Définition des hauteurs de sous-schémas

Avec les notations de la section précédente, soit Σ un sous-schéma de X, plat sur O_{K}, de polynôme de Hilbert P. Au sous-schéma Σ correspond un O_{K}-point [Σ]_{H} du schéma de Hilbert H, c’est-à-dire une section

i_{[Σ]_{H}} : Spec O_{K} → H.

Si n ≥ n_{0} on définit la n-ième hauteur (normalisée) h^{(n)}(Σ) du sous-schéma Σ comme la hauteur (cf. [11] et [57]) du point [Σ]_{G} relativement au fibré hermitien \overline{O_{G_{n}}(1)} sur G_{n}, ou, ce qui revient au même, comme la hauteur du point [Σ]_{H} relativement au fibré hermitien \overline{M_{n}} sur H :

h^{(n)}(Σ) = h\overline{O_{Gn}(1)}([Σ]_{G}) = h\overline{M_{n}}([Σ]_{H}) = d̂egi_{[Σ]_{H}}^{∗}\overline{M_{n}}.

Compte tenu de la définition des métriques sur \overline{M_{n}}, ceci peut se réécrire comme suit. Pour tout plongement σ de K dans ℂ, soit ∥.∥_{q,σ} la métrique sur Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{σ} obtenue par passage au quotient de la métrique L^{2} sur Γ(X , L^{⊗n})_{σ} via la surjection

Γ(X , L^{⊗n})_{σ} ↠ Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{σ}.

Alors on a l’égalité

h^{(n)}(Σ) = d̂eg(Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{q}).  (2.2.1)

Plus généralement, soit Σ un sous-schéma fermé quelconque de X, sans condition de platitude, défini par un faisceau d’idéaux ℑ_{Σ}. Pour tout entier n, notons

restr_{n} : Γ(X , L^{⊗n}) ⟶ Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})  (2.2.2)

l’application de restriction. L’image Im(restr_{n}) de cette application de restriction est un quotient du O_{K}-module Γ(X , L^{⊗n}), et peut être munie des métriques quotient des métriques L^{2} sur Γ(X , L^{⊗n}). On obtient ainsi un O_{K}-module hermitien, noté \overline{Im(restr_{n})}.

Définition 2.2.1 La n-ième hauteur du sous-schéma Σ (relativement à \overline{L}) est le degré d’Arakelov normalisé du O_{K}-module hermitien \overline{Im(restr_{n})} :

h^{(n)}(Σ) = d̂eg \overline{Im(restr_{n})}.

Dans la suite du texte, on utilisera indiféremment les termes hauteur schématique et hauteur de sous-schéma .

Remarque 2.2.2 Puisque L est ample, l’application de restriction restr_{n} donnée par (2.2.2) est surjective pour tout entier n assez grand. Autrement dit on a

Im(restr_{n}) = Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})

et la définition 2.2.1 des hauteurs schématiques redonne bien la formule (2.2.1).

Remarque 2.2.3 Comme on vient de le voir, les hauteurs du sous-schéma Σ sont définies pour tout entier n. Parfois cependant, pour obtenir certaines propriétés sur ces hauteurs, on devra faire une hypothèse plus forte sur l’entier n, par exemple que l’application de restriction est surjective sur la fibre générique, i.e.

Im(restr_{n})_{K} = Γ(Σ_{K}, L^{⊗n}|_{Σ_{K}}),

voire éventuellement que n est régulier au sens de Castelnuovo-Mumford relativement au polynôme de Hilbert de Σ_{K}.

La notion de hauteur définie précédemment s’appliquait aux sous-schémas fermés de X. On va maintenant définir une notion analogue pour les sous-schémas fermés de la fibre générique X_{K}. Supposons donc que Σ est un sous-schéma fermé de la fibre générique X_{K}. On définit alors la n-ième hauteur schématique de Σ comme étant la n-ième hauteur schématique de l’adhérence schématique \overline{Σ} de Σ dans X :

h^{(n)}(Σ) = h^{(n)}(\overline{Σ}).  (2.2.3)

Exemple 2.2.4 Soient X = ℙ^{N} l’espace projectif standard sur ℤ, O(1) le fibré en droites universel sur X muni des métriques standard et p un point de X (ℚ) de coordonnées homogènes (a_{0} : …: a_{N}) entières. Alors, pour tout entier n ≥ 1, les lemmes 1.1.3 et 1.3.4 impliquent que l’application naturelle de restriction

Γ(ℙ^{N}, O(n)) ⟶ O(n)|_{p}

est une similitude partielle de norme \binom{N+n}{N}^{1/2}. Ainsi on a

h^{(n)}(p) = n.h\overline{O(1)}(p) + \frac{1}{2} log \binom{N + n}{N} = n. log \frac{\sqrt{a_{0}^{2} + ⋯ + a_{N}^{2}}}{pgcd(a_{0}, …, a_{N})} + \frac{1}{2} log \binom{N + n}{N}.

2.3 Propriétés élémentaires des hauteurs de sous-schémas

2.3.1 Invariance par extension du corps de base

Soient K un corps de nombres et L une extension finie de K. Soit X une pré-variété arithmétique sur O_{K} munie d’un fibré en droites hermitien ample \overline{L}. Alors :

Lemme 2.3.1 Pour tout sous-schéma fermé Σ de la fibre générique X_{K}, l’adhérence \overline{(Σ_{L})} dans X_{O_{L}} = X ⊗_{O_{K}} O_{L} du sous-schéma fermé Σ_{L} de X_{L} déduit de Σ par extension des scalaires de K à L, et le sous-schéma (\overline{Σ})_{O_{L}} de X_{O_{L}} déduit de l’adhérence \overline{Σ} de Σ dans X par extension de l’anneau de base de O_{K} à O_{L}, sont égaux.

Démonstration : L’énoncé se démontrant localement, on peut remplacer X par un schéma affine Spec A, où A est une O_{K}-algèbre de type fini, et supposer que Σ est le sousschéma fermé de Spec A_{K} défini par l’idéal J de A_{K}. Notons f : A → A_{K}/J l’application naturelle. Alors \overline{(Σ_{L})} est le sous-schéma de Spec A_{O_{L}} défini par l’idéal ker(f_{O_{L}}), tandis que (\overline{Σ})_{O_{L}} est le sous-schéma défini par l’idéal (ker f)_{O_{L}} ; ces deux idéaux sont égaux par platitude de O_{L} sur O_{K}. □

Proposition 2.3.2 i. Pour tout sous-schéma fermé Σ de X, Σ_{O_{L}} est un sous-schéma fermé de X_{O_{L}}, et pour tout entier n ≥ 0 on a

h^{(n)}(Σ_{O_{L}}) = h^{(n)}(Σ).

ii. Pour tout sous-schéma fermé Σ de la fibre générique X_{K}, Σ_{L} est un sous-schéma fermé de X_{L}, et pour tout entier n ≥ 0 on a

h^{(n)}(Σ_{L}) = h^{(n)}(Σ).

Démonstration : La première assertion résulte de l’invariance du degré arakelovien par extension du corps de base (au sens de la partie 1.4) et du fait que, par platitude de O_{L} sur O_{K}, les flèches verticales du diagramme commutatif naturel

Γ(X , L^{⊗n})_{O_{L}} ⟶ Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{O_{L}}
↓^{≃}  ↓^{≃}
Γ(X_{O_{L}}, L_{O_{L}}^{⊗n}) ⟶ Γ(Σ_{O_{L}}, L_{O_{L}}^{⊗n}|_{Σ_{O_{L}}})

sont des isomorphismes, de telle sorte que

(Im(restr_{n}))_{O_{L}} = Im((restr_{n})_{O_{L}}).

La seconde assertion résulte de la première, et du fait que l’opération d’adhérence schématique commute à l’extension de la base de l’anneau des entiers d’un corps de nombres à l’anneau des entiers d’une extension finie, comme cela est démontré dans le lemme. □

2.3.2 Propriété de hauteur

Soient K un corps de nombres et X une pré-variété arithmétique mesurée sur O_{K} munie d’un fibré en droites hermitien ample \overline{L}.

Pour tout morphisme

\xymatrix{Y \ar[rr]^{f} \ar[dr]_{g_{Y}} &  & Z \ar[dl]^{g_{Z}} \\  & X}

de X -schémas on note

restr_{n,Z,Y} : Γ(Z, g_{Z}^{∗}L^{⊗n}) ⟶ Γ(Y, g_{Y}^{∗} L^{⊗n})

l’application déduite naturellement de f.

Lemme 2.3.3 Soient

Σ′ ⊂ Σ

deux sous-schémas fermés de X égaux sur la fibre générique :

Σ′_{K} = Σ_{K}.

Alors – pour tout entier n, on a

h^{(n)}(Σ′) ≤ h^{(n)}(Σ)

et

h^{(n)}(Σ′) ≥ h^{(n)}(Σ) − \frac{1}{[K : ℚ]} log # Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{tors}

– si l’application de restriction restr_{n,X ,Σ} est surjective, alors

h^{(n)}(Σ′) ≤ h^{(n)}(Σ) − \frac{1}{[K : ℚ]}(log # Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{tors} − log # Γ(Σ′, L^{⊗n}|_{Σ′})_{tors})

– si l’application de restriction restr_{n,X ,Σ′} est surjective, alors

h^{(n)}(Σ′) ≥ h^{(n)}(Σ) − \frac{1}{[K : ℚ]}(log # Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{tors} − log # Γ(Σ′, L^{⊗n}|_{Σ′})_{tors}).

Démonstration : On a

restr_{n,X ,Σ′} = restr_{n,Σ,Σ′} ∘ restr_{n,X ,Σ}

donc

Im(restr_{n,X ,Σ′}) = restr_{n,Σ,Σ′}(Im(restr_{n,X ,Σ})).

Ainsi Im(restr_{n,X ,Σ}) s’envoie surjectivement sur Im(restr_{n,X ,Σ′}). Par ailleurs, par platitude de K sur O_{K} on a

Im(restr_{n,X ,Σ′})_{K} = Im(restr_{n,X_{K},Σ′_{K}})
= Im(restr_{n,X_{K},Σ_{K}})
= Im(restr_{n,X ,Σ})_{K}.

Ces deux faits impliquent que restr_{n,Σ,Σ′} induit par passage au quotient un isomorphisme naturel

Im(restr_{n,X ,Σ})/ Im(restr_{n,X ,Σ})_{tors} = Im(restr_{n,X ,Σ′})/ Im(restr_{n,X ,Σ′})_{tors}  (2.3.1)

et que

# Im(restr_{n,X ,Σ})_{tors} ≥ # Im(restr_{n,X ,Σ′})_{tors}.  (2.3.2)

De la définition 2.2.1 et des formules (1.4.1) et (2.3.1) on déduit l’égalité

h^{(n)}(Σ′) = h^{(n)}(Σ) − \frac{1}{[K : ℚ]}(log # Im(restr_{n,X ,Σ})_{tors} − log # Im(restr_{n,X ,Σ′})_{tors})

qui, jointe à (2.3.2), fournit la première inégalité énoncée dans le lemme. Les autres inégalités résultent du fait que, puisque Im(restr_{n,X ,Σ}) (resp. Im(restr_{n,X ,Σ′})) est un sous-module de Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) (resp. de Γ(Σ′, L^{⊗n}|_{Σ′})), on a # Im(restr_{n,X ,Σ})_{tors} ≤ # Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{tors} (resp. # Im(restr_{n,X ,Σ′})_{tors} ≤ # Γ(Σ′, L^{⊗n}|_{Σ′})_{tors}). □

Exemple 2.3.4 Si Σ = ∅ est le sous-schéma vide de X, Im(restr_{n}) est le O_{K}-module nul, de telle sorte que

h^{(n)}(∅) = 0.

Plus généralement, si Σ est un sous-schéma de X génériquement vide, i.e.

Σ_{K} = ∅,

alors pour tout entier n on a

h^{(n)}(Σ) ≥ 0.

On va maintenant montrer que, sous certaines hypothèses, les hauteurs de sous-schémas vérifient une propriété de finitude analogue à celle vérifiée par les différentes notions de hauteurs introduites dans d’autres contextes.

Soient donc P un polynôme numérique et n un entier. On suppose n régulier au sens de Castelnuovo-Mumford relativement à P. Alors :

Proposition 2.3.5 i. Il existe un réel C = C(X , \overline{L}, n, P) tel que, pour toute extension finie L de K et pour tout sous-schéma fermé Σ de X_{O_{L}} tel que le polynôme de Hilbert de la fibre générique Σ_{L} soit égal à P, on ait h^{(n)}(Σ) ≥ C. ii. Pour tous réels C′ et C′′ il n’existe qu’un nombre fini de couples (L, Σ) où L est une

extension de K de degré majoré par C′ et Σ un sous-schéma fermé de X_{O_{L}} plat sur Spec O_{L}, de polynôme de Hilbert égal à P et vérifiant l’inégalité h^{(n)}(Σ) ≤ C′′.

Démonstration : En appliquant le lemme 2.3.3 avec Σ′ = \overline{Σ_{L}}, l’adhérence dans X_{O_{L}} de la fibre générique Σ_{L} de Σ, on voit que, pour démontrer la première assertion, il suffit de démontrer l’énoncé analogue avec l’hypothèse supplémentaire que Σ est plat sur Spec O_{L}. Mais alors le résultat provient de ce que, sous cette hypothèse, du fait que n est régulier relativement à P, la hauteur de Σ est égale à la hauteur de son point de Hilbert, qui est définie par restriction d’une hauteur sur une grassmannienne dont on sait déjà qu’elle vérifie cette propriété. Ce dernier argument démontre aussi immédiatement la deuxième assertion.

□

2.3.3 Une inégalité remarquable

Soit X une pré-variété arithmétique mesurée sur O_{K} munie d’un fibré en droites hermitien ample \overline{L}.

Lemme 2.3.6 Soit Σ un sous-schéma fermé de X défini par le faisceau d’idéaux 𝔍. Pour tout entier n, munissons le O_{K}-module Γ(X , 𝔍L^{⊗n}) des métriques obtenues par restriction des métriques L^{2} sur Γ(X , L^{⊗n}). Alors on a

h^{(n)}(Σ) = d̂eg\overline{Γ(X , L^{⊗n})} − d̂eg\overline{Γ(X , 𝔍L^{⊗n})}
= h^{(n)}(X) − d̂eg\overline{Γ(X , 𝔍L^{⊗n})}

où h^{(n)}(X) est la hauteur de X considéré comme sous-schéma de lui-même.

Remarque 2.3.7 On notera que ce lemme est valable pour tout entier n, et pas seulement à partir d’un certain rang.

Démonstration : Cela résulte immédiatement du fait qu’avec les notations de la définition 2.2.1, la suite

0 ⟶ \overline{Γ(X , 𝔍L^{⊗n})} ⟶ \overline{Γ(X , L^{⊗n})} ⟶ \overline{Im(restr_{n})} ⟶ 0

est une suite exacte de O_{K}-modules hermitiens, au sens de la section 1.4.1. □

Si Σ_{1} et Σ_{2} sont deux sous-schémas fermés de X définis par des faisceaux d’idéaux ℑ_{1} et ℑ_{2}, on note Σ_{1} ∪ Σ_{2} (resp. Σ_{1} ∩ Σ_{2}) le sous-schéma réunion (resp intersection) de Σ_{1} et Σ_{2}, i.e. le sous-schéma fermé de X défini par le faisceau d’idéaux ℑ_{1} ∩ℑ_{2} (resp. ℑ_{1} +ℑ_{2}). Comme dans le lemme, munissons les Γ(X , ℑ_{i}L^{⊗n}) des métriques L^{2}. Alors pour tout plongement σ de K dans ℂ, notons

d_{σ}^{(n)} = d_{Γ(X ,ℑ_{1}L^{⊗n})_{σ},Γ(X ,ℑ_{2}L^{⊗n})_{σ}} ∈]0, 1]

la quantité associée au triplet (Γ(X , L^{⊗n})_{σ}, Γ(X , ℑ_{1}L^{⊗n})_{σ}, Γ(X , ℑ_{2}L^{⊗n})_{σ}) définie par (1.2.4) (ou par le corollaire 1.2.18). Remarquons qu’au moyen des structures hermitiennes on peut identifier naturellement le quotient Im(restr_{n,X ,Σ_{i}})_{σ} et à un sous-espace de Γ(X , L^{⊗n})_{σ}, plus précisément à l’orthogonal de Γ(X , ℑ_{i}L^{⊗n})_{σ}, de telle sorte que par le corollaire 1.2.20 on trouve

d_{σ}^{(n)} = d_{Im(restr_{n,X ,Σ_{1}})_{σ},Im(restr_{n,X ,Σ_{2}})_{σ}}.

Proposition 2.3.8 Avec les notations précédentes, pour tout entier n assez grand, les hauteurs schématiques h^{(n)}(Σ_{1}), h^{(n)}(Σ_{2}), h^{(n)}(Σ_{1} ∪ Σ_{2}) et h^{(n)}(Σ_{1} ∩ Σ_{2}) vérifient

h^{(n)}(Σ_{1} ∪ Σ_{2}) + h^{(n)}(Σ_{1} ∩ Σ_{2}) = h^{(n)}(Σ_{1}) + h^{(n)}(Σ_{2}) + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ:K↪ℂ}log d_{σ}^{(n)}.

Démonstration : Considérons la suite exacte de O_{X} -modules cohérents

0 ⟶ ℑ_{1} ∩ ℑ_{2} ⟶ ℑ_{1} ⊕ ℑ_{2} ⟶ ℑ_{1} + ℑ_{2} ⟶ 0,

naturelle à un choix de signe près. Quitte à choisir n assez grand, on peut supposer

H^{1}(X , (ℑ_{1} ∩ ℑ_{2})L^{⊗n}) = 0.

Alors la suite

0 ⟶ Γ(X , (ℑ_{1} ∩ ℑ_{2})L^{⊗n}) ⟶ Γ(X , ℑ_{1}L^{⊗n}) ⊕ Γ(X , ℑ_{2}L^{⊗n}) ⟶ Γ(X , (ℑ_{1} + ℑ_{2})L^{⊗n}) ⟶ 0

est exacte et induit pour tout plongement σ : K ↪ ℂ un isomorphisme de ℂ-espaces vectoriels de dimension un

⋀^{max} Γ(X , ℑ_{1}L^{⊗n})_{σ} ⊗ ⋀^{max} Γ(X , ℑ_{2}L^{⊗n})_{σ}

⟶^{∼} ⋀^{max} Γ(X , (ℑ_{1} + ℑ_{2})L^{⊗n})_{σ} ⊗ ⋀^{max} Γ(X , (ℑ_{1} ∩ ℑ_{2})L^{⊗n})_{σ}

dont la norme est par définition la quantité d_{σ}^{(n)}. On a alors

d̂eg\overline{Γ(X , ℑ_{1}L^{⊗n})} + d̂eg\overline{Γ(X , ℑ_{2}L^{⊗n})}

= d̂eg\overline{Γ(X , (ℑ_{1} + ℑ_{2})L^{⊗n})} + d̂eg\overline{Γ(X , (ℑ_{1} ∩ ℑ_{2})L^{⊗n})} + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ:K↪ℂ}log d_{σ}^{(n)}

et on conclut en appliquant le lemme 2.3.6 aux quatre sous-schémas Σ_{1}, Σ_{2}, Σ_{1} ∩ Σ_{2} et Σ_{1} ∪ Σ_{2}. □

Corollaire 2.3.9 Sous les hypothèses de la proposition, supposons que l’un des deux sousschémas soit génériquement vide, par exemple

Σ_{2,K} = ∅.

Alors pour tout n assez grand on a l’égalité

h^{(n)}(Σ_{1} ∪ Σ_{2}) = h^{(n)}(Σ_{1}) + h^{(n)}(Σ_{2}) − h^{(n)}(Σ_{1} ∩ Σ_{2}).

Démonstration : Si Σ_{2,K} est vide, Im(restr_{n,X ,Σ_{2}})_{σ} ⊂ Γ(Σ_{2}, L^{⊗n}|_{Σ_{2}})_{σ} est nul pour tout σ, de telle sorte que

d_{σ}^{(n)} = 1,

ce qu’il fallait démontrer. □

Remarque 2.3.10 Soit Σ un sous-schéma fermé de X. On va appliquer à Σ la théorie des cycles premiers associés et de la décomposition primaire, pour laquelle on renvoie à [EGA] IV §3 (ainsi qu’à [Bourbaki] AC ch. IV ou [41] §6 pour le cas affine). Notons

Ass(Σ) = Ass(O_{Σ}) = {Z_{1}, …, Z_{r+s}}

l’ensemble des cycles premiers associés à Σ, c’est-à-dire l’ensemble des sous-schémas intègres Z_{i} de Σ tels que l’idéal maximal de l’anneau local O_{Σ,Z_{i}} annule un élément non trivial de cet anneau (cf. [EGA] IV 3.1.1 et les références associées). Par [31] III prop. 9.7, on peut supposer que Z_{1}, …, Z_{r} s’envoient sur des points fermés de Spec O_{K} et que Z_{r+1}, …, Z_{r+s} sont plats sur Spec O_{K}. On dira que Z_{1}, …, Z_{r} sont les composantes essentielles verticales de Σ et que Z_{r+1}, …, Z_{r+s} sont ses composantes essentielles horizontales. Considérons maintenant une décomposition irredondante minimale (ou réduite ) de Σ, c’est-à-dire ([EGA] IV 3.2.5 et 3.2.6) la donnée de sous-schémas fermés Σ^{(i)} (1 ≤ i ≤ r + s) de Σ tels que Ass(Σ^{(i)}) = {Z_{i}} et que Σ soit égal à la réunion schématique des Σ^{(i)} :

Σ = ⋃_{i=1}^{r+s} Σ^{(i)}.  (2.3.3)

Notant ℑ_{i} l’idéal de O_{Σ} définissant Σ^{(i)}, cela revient à dire que les ℑ_{i} forment une décomposition primaire minimale de l’idéal nul de O_{Σ}. Par [31] III prop. 9.7, les Σ^{(i)} pour r + 1 ≤ i ≤ r + s sont plats sur Spec O_{K} (on dira aussi qu’ils sont horizontaux). En outre, par compatibilité à la localisation de la formation des cycles premiers associés, les Σ_{K}^{(i)} (r + 1 ≤ i ≤ r + s) forment une décomposition irredondante minimale de Σ_{K}, alors que pour 1 ≤ i ≤ r, Σ_{K}^{(i)} est vide. Ainsi, dans le diagramme commutatif suivant

O_{Σ} ⟶^{f} ⨁_{i=r+1}^{r+s} O_{Σ^{(i)}}
g↓  ↓_{h}
O_{Σ_{K}} ⟶^{f_{K}} ⨁_{i=r+1}^{r+s} O_{Σ_{K}^{(i)}}

les flèches naturelles f_{K} et h sont injectives. On a donc

ker g = ker f = ℑ_{r+1} ∩ ⋯ ∩ ℑ_{r+s}.

De façon équivalente, si l’on note H le sous-schéma fermé de Σ défini par l’idéal ℑ = ker g (autrement dit,

H = \overline{Σ_{K}} est l’adhérence de la fibre générique de Σ), alors H est égal à la réunion des Σ^{(i)} horizontaux :

H = ⋃_{i=r+1}^{r+s} Σ^{(i)}.

Remarquons que, par [31] III prop. 9.7, H est alors aussi le plus grand sous-schéma fermé de Σ plat sur Spec O_{K}. Notons maintenant ℘_{1}, …, ℘_{t} les points fermés de Spec O_{K} images d’une composante essentielle verticale de Σ ; pour 1 ≤ j ≤ t notons q_{j} = #k(℘_{j}) et V_{j} le sous-schéma fermé de Σ réunion de ceux des Σ^{(i)} qui ont même image ℘_{j} dans Spec O_{K} (on prendra garde que V_{j} n’est pas nécessairement un k(℘_{j})-schéma ; il se peut en effet que l’image schématique d’un de ces Σ^{(i)} ne soit pas réduite). Regroupant de cette façon les termes de la réunion (2.3.3), on obtient finalement une décomposition

Σ = H ∪ V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{t}  (2.3.4)

de Σ comme réunion de son plus grand sous-schéma horizontal et d’un nombre fini de sousschémas verticaux deux à deux disjoints. Par application répétée du corollaire précédent, on trouve alors, pour tout entier n assez grand :

h^{(n)}(Σ) = h^{(n)}(H) + ∑_{1≤i≤t}(h^{(n)}(V_{i}) − h^{(n)}(H ∩ V_{i})).

Si n est assez grand, on a h^{(n)}(V_{i}) = \frac{1}{[K:ℚ]} log #Γ(V_{i}, L^{⊗n}|_{V_{i}}) et par le théorème de Hilbert-Samuel usuel, quitte à prendre n encore plus grand, on trouve h^{(n)}(V_{i}) = \frac{1}{[K:ℚ]}P_{V_{i}}(n) log q_{i} où P_{V_{i}} est le polynôme de Hilbert-Samuel de V_{i} relativement à L. Le même raisonnement appliqué à H ∩ V_{i} montre que pour tout n assez grand on a

h^{(n)}(Σ) = h^{(n)}(H) + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{1≤i≤t}(P_{V_{i}}(n) − P_{H_{∩}V_{i}}(n)) log q_{i}  (2.3.5)

où notamment P_{V_{i}} et P_{H∩V_{i}} sont des polynômes numériques de degrés respectifs dim(V_{i}) et dim(H ∩ V_{i}), tels qu’en outre P_{V_{i}}(n) − P_{H∩V_{i}}(n) soit positif pour n assez grand. Ainsi le calcul de h^{(n)}(Σ) se ramène à celui de h^{(n)}(H). Plus généralement, on pourra se restreindre dans l’étude du comportement asymptotique des hauteurs des sous-schémas de X au cas des sous-schémas plats sur la base.

Poursuivons maintenant l’énumération de corollaires de la proposition.

Corollaire 2.3.11 Soient Σ_{1} et Σ_{2} deux sous-schémas fermés de X. Alors, pour tout entier n assez grand, on a

h^{(n)}(Σ_{1} ∪ Σ_{2}) + h^{(n)}(Σ_{1} ∩ Σ_{2}) ≤ h^{(n)}(Σ_{1}) + h^{(n)}(Σ_{2}).

Démonstration : Cela résulte immédiatement de la proposition 2.3.8 et du fait que par construction, 0 < d_{σ}^{(n)} ≤ 1. □

Corollaire 2.3.12 Soient Σ_{1} et Σ_{2} deux sous-schémas fermés de X tels que l’intersection Σ_{1} ∩ Σ_{2} soit génériquement vide, i.e.

(Σ_{1} ∩ Σ_{2})_{K} = Σ_{1,K} ∩ Σ_{2,K} = ∅.

Alors on a

h^{(n)}(Σ_{1} ∪ Σ_{2}) ≤ h^{(n)}(Σ_{1}) + h^{(n)}(Σ_{2}).

Démonstration : C’est une conséquence directe du corollaire précédent et de l’exemple 2.3.4. □

On dispose enfin d’une extension du corollaire 2.3.11 au cas des sous-schémas de la fibre générique :

Corollaire 2.3.13 Soient Σ_{1} et Σ_{2} deux sous-schémas fermés de la fibre générique X_{K}. Alors, pour tout entier n assez grand, on a

h^{(n)}(Σ_{1} ∪ Σ_{2}) + h^{(n)}(Σ_{1} ∩ Σ_{2}) ≤ h^{(n)}(Σ_{1}) + h^{(n)}(Σ_{2}).

Démonstration : Notons \overline{Σ} le sous-schéma adhérence dans X d’un sous-schéma Σ de X_{K}. On vérifie aisément qu’on a \overline{Σ_{1} ∪ Σ_{2}} = \overline{Σ_{1}}∪\overline{Σ_{2}}. Par ailleurs, \overline{Σ_{1} ∩ Σ_{2}} est un sous-schéma fermé de \overline{Σ_{1}} ∩ \overline{Σ_{2}} et ces deux objets coïncident sur la fibre générique. Par le lemme 2.3.3 on a donc

h^{(n)}(\overline{Σ_{1}} ∩ \overline{Σ_{2}}) ≥ h^{(n)}(\overline{Σ_{1} ∩ Σ_{2}}).

Alors, en appliquant le corollaire 2.3.11 et la définition des hauteurs des sous-schémas de la fibre générique, on trouve

h^{(n)}(Σ_{1} ∪ Σ_{2}) + h^{(n)}(Σ_{1} ∩ Σ_{2}) = h^{(n)}(\overline{Σ_{1} ∪ Σ_{2}}) + h^{(n)}(\overline{Σ_{1} ∩ Σ_{2}})
≤ h^{(n)}(\overline{Σ_{1}} ∪ \overline{Σ_{2}}) + h^{(n)}(\overline{Σ_{1}} ∩ \overline{Σ_{2}})
≤ h^{(n)}(\overline{Σ_{1}}) + h^{(n)}(\overline{Σ_{2}})
= h^{(n)}(Σ_{1}) + h^{(n)}(Σ_{2}),

ce qu’il fallait démontrer. □

Deuxième partie

Étude dans quelques cas particuliers du comportement asymptotique des hauteurs de

sous-schémas

Dans les trois prochains chapitres on se propose d’étudier le comportement asymptotique des hauteurs de sous-schémas. On dispose de plusieurs motivations pour cela. Il s’agit, à la fois, de généraliser un théorème de Hilbert-Samuel relatif valable dans une situation géométrique analogue à la situation arithmétique considérée ici (cf. section A.1), et d’étendre au cas des sous-schémas le théorème de Hilbert-Samuel pour les variétés arithmétiques (cf. [1], [8], [27], [57] et [68]).

Lorsque le sous-schéma considéré est un sous-schéma intègre génériquement lisse, l’existence du terme dominant du développement asymptotique de ses hauteurs se ramène facilement au théorème de Hilbert-Samuel pour les variétés arithmétiques, au moyen d’un théorème d’extension L^{2} qui n’est qu’un cas particulier élémentaire de ceux qui seront développés dans la suite du texte. Lorsque l’on passe à des sous-schémas plus généraux, on est confronté à deux difficultés : d’une part, l’apparition de singularités, d’autre part l’apparition de composantes non réduites. Le premier cas, celui des sous-schémas intègres éventuellement singuliers, est traité au début de l’annexe A.2 (lorsque la variété ambiante est l’espace projectif). Le second cas fait l’objet du chapitre trois ; on y introduit une notion de lissité avec multiplicité et on montre que le terme principal du développement asymptotique des hauteurs d’un sous-schéma vérifiant cette condition est bien égal à ce à quoi on s’attendait.

En revanche, on n’est pas parvenu à établir ce théorème de Hilbert-Samuel arithmétique pour les sous-schémas présentant à la fois des multiplicités et des singularités. On s’est alors restreint à l’étude de sous-schémas très particuliers, cherchant à établir un développement asymptotique de leurs hauteurs à un ordre plus élevé. Dans le chapitre quatre on traite le cas d’abord d’un sous-espace linéaire d’un espace projectif, puis d’une réunion de deux tels sous-espaces linéaires, tandis que dans le chapitre cinq on étudie les hauteurs des sousschémas de dimension générique nulle d’un espace projectif, qui généralisent les matrices d’interpolation de M. Laurent ([38]).

Sous-schémas lisses et certains de leurs épaississements

3.1 Sous-schéma lisse avec multiplicité

3.1.1 Un théorème d’extension L^{2}

On se propose ici de démontrer un théorème d’extension de jets de sections d’une grande puissance d’un fibré en droites positif le long d’un sous-schéma d’une variété projective complexe à la variété tout entière avec contrôle des normes L^{2}, moyennant une hypothèse de lissité avec multiplicité (définie ci-dessous) sur le sous-schéma. Ce théorème renforce un résultat de Zhang ([68], th 2.2), dont il est d’ailleurs inspiré. La démonstration procède en deux temps : on construit d’abord une extension C^{∞} sur un voisinage de la sous-variété vérifiant certaines conditions convenables ; on peut alors obtenir une extension à la variété tout entière au moyen des estimées L^{2} de Hörmander (via la formule de Bochner-Kodaira-Nakano) et de la méthode de Hörmander-Bombieri-Skoda.

Définition 3.1.1 Soient k un corps et X un k-schéma algébrique. On dira que X est lisse avec multiplicité si le sous-schéma réduit X^{réd} est lisse sur k et si le cône tangent C_{X^{réd}}X à X le long de X^{réd} est plat sur X^{réd}.

Notons ℜ le nilradical de O_{X}, c’est-à-dire le faisceau d’idéaux (nilpotent) définissant le sous-schéma fermé X^{réd} de X. Par définition on a

C_{X^{réd}}X = Spec ⨁_{t≥0} ℜ^{t}/ℜ^{t+1}.

Ainsi, dire que X est lisse avec multiplicité revient à dire que X^{réd} est lisse et que chacun des faisceaux de jets ℜ^{t}/ℜ^{t+1} est un fibré vectoriel (i.e. est localement libre) sur X^{réd} (ceci résulte par exemple de [31] III prop. 9.2 (e) et du fait qu’une somme directe finie de faisceaux cohérents est plate si et seulement si chacun de ces faisceaux est plat).

Remarquons que cette condition implique en particulier que X n’a pas de composante essentielle immergée. L’implication réciproque n’est cependant pas vérifiée. Posons par exemple

X = Spec(k[U, V, u, v]/(Uv − V u, u^{2}, v^{2}, uv)) ≃ Spec(A ⊕ I)

où A = k[U, V] et I est l’idéal de A engendré par U et V. Alors X^{réd} = Spec A = 𝔸_{k}^{2} est lisse sur k et X est sans composante immergée car I est sans torsion. Cependant I n’est pas localement libre sur A (la fibre de I en l’origine étant de rang 2), donc X n’est pas lisse avec multiplicité.

Donnons maintenant un exemple important de sous-schéma lisse avec multiplicité :

Exemple 3.1.2 Soient X un k-schéma algébrique lisse et Σ un sous-schéma fermé lisse de X défini par un faisceau d’idéaux ℑ. Pour tout entier n ≥ 1 notons Σ^{<n>} le voisinage infinitésimal d’ordre n de Σ, c’est-à-dire le sous-schéma fermé de X défini par le faisceau d’idéaux ℑ^{n}. Alors Σ^{<n>} est lisse avec multiplicité. En effet, sous ces hypothèses l’immersion de Σ dans X est régulière (cf. [EGA] IV 17.12.1 ou [22] App. B.7) et pour tout t on a un isomorphisme naturel ℑ^{t}/ℑ^{t+1} = Sym^{t}(ℑ/ℑ^{2}) qui fait de ℑ^{t}/ℑ^{t+1} un fibré vectoriel sur Σ = (Σ^{<n>})^{réd}.

Plus loin dans le texte on aura besoin de pouvoir contrôler la norme uniforme des dérivées d’une section holomorphe d’un fibré vectoriel sur une variété analytique complexe compacte hermitienne en fonction de sa norme L^{2}. Ceci fera l’objet de la proposition 3.1.5 qui est une généralisation directe de [27], lemme 30 (on pourra aussi comparer avec [11], proposition 1.4.2, et avec les références qui y sont citées). La démonstration, directement adaptée de celle donnée dans [27] (où la méthode y est attribuée à Gromov), repose essentiellement sur les inégalités de Cauchy sous la forme des deux lemmes suivants.

Lemme 3.1.3 Soient d > 0 un entier et I = (i_{1}, …, i_{d}) ∈ ℕ^{d} un multi-indice. Notons S^{d−1}(r) la sphère de rayon r centrée en l’origine dans l’espace euclidien standard ℝ^{d} et σ = σ_{S^{d−1}(r)} la mesure euclidienne sur S^{d−1}(r). Alors il existe une constante c_{I} > 0 telle que pour toute fonction harmonique u à valeurs complexes définie sur un voisinage de la boule unité de ℝ^{d} et pour tout réel r ∈]0, 1[ on ait

\begin{aligned}|\frac{∂^{|I|}u}{∂x^{I}}(0)|^{2} & ≤ \frac{c_{I}r^{−2|I|}}{vol(S^{d−1}(r))} ∫_{S^{d−1}(r)} |u|^{2}dσ \\ & = r^{−2|I|−d+1} \frac{c_{I}}{vol(S^{d−1}(1))} ∫_{S^{d−1}(r)} |u|^{2}dσ \end{aligned}

où |I| = i_{1} + ⋯ + i_{d}.

Démonstration : Pour tout x dans la boule unité ouverte de ℝ^{d} on a

u(x) = ∫_{S^{d−1}(1)} P (x, y)u(y)dσ(y)

où P est le noyau de Poisson. Dérivant sous le signe somme et utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on trouve

\begin{aligned}|\frac{∂^{|I|}u}{∂x^{I}}(0)|^{2} & = |∫_{S^{d−1}(1)} \frac{∂^{|I|}P}{∂x^{I}} (0, y)u(y)dσ(y)|^{2} \\ & ≤ \frac{c_{I}}{vol(S^{d−1}(1))} ∫_{S^{d−1}(1)} |u(y)|^{2}dσ(y) \end{aligned}

avec c_{I} = vol(S^{d−1}(1)) ∫_{S^{d−1}(1)} |∂^{|I|}P/∂x^{I}(0, y)|^{2}dσ(y). On conclut en remplaçant dans cette formule la fonction u par la fonction u_{r} définie par u_{r}(x) = u(rx). □

Lemme 3.1.4 Soient N ≥ 0, t ≥ 0 et e ≥ 1 trois entiers. Notons B = B(0, 3) la boule ouverte de rayon 3 dans ℂ^{N} (muni de la métrique hermitienne standard). On se donne :

– g et p deux fonctions C^{∞} sur B à valeurs réelles strictement positives,

– h_{ij} (1 ≤ i, j ≤ e) des fonctions C^{∞} sur B à valeurs complexes formant en tout point une matrice hermitienne définie positive de taille e × e,

– D_{ij} = ∑_{|I|≤t} a_{Iij} \frac{∂^{|I|}}{∂z^{I}} (1 ≤ i, j ≤ e) des opérateurs différentiels de degré t à coefficients

complexes C^{∞} sur B. Alors il existe une constante C > 0 telle que, pour tout entier n ≥ 1, pour tout w ∈ B de norme strictement inférieure à 1 et pour toutes fonctions holomorphes f_{1}, …, f_{e} de B dans ℂ, on ait

\begin{aligned}(∑_{ij} h_{ij}(w)\overline{(∑_{k} D_{ik}f_{k}(w))} & (∑_{l} D_{jl}f_{l}(w))) p(w)^{n} \\ & ≤ C^{2}n^{2t+2N} ∫_{|z−w|<1} (∑_{ij} h_{ij}(z)\overline{f_{i}(z)}f_{j}(z)) p(z)^{n}g(z)dμ_{ℂ^{N}}(z), \end{aligned}

où μ_{ℂ^{N}} est la mesure de Lebesgue usuelle sur ℂ^{N} = ℝ^{2N}.

Démonstration : Notons m(h) (resp. M(h)) la plus petite (resp. plus grande) valeur propre de h sur la boule |z| ≤ 2, g_{0} = inf_{|z|≤2} g(z), c′ = (sup_{|z|≤2} ∥dp(z)∥)/(inf_{|z|≤2} p(z)) et c = max(c′, 1) de telle sorte que

p(z) ≥ p(w)(1 − c|z − w|)

pour |w| ≤ 1 et |z − w| ≤ 1. On a alors

\begin{matrix}∫_{|z−w|<1}(∑_{ij} h_{ij}(z)\overline{f_{k}(z)} & f_{l}(z))p(z)^{n}g(z)dμ_{ℂ^{N}}(z) \\ ≥ m(h)g_{0} ∫_{|z−w|<1}(∑_{k} |f_{k}|^{2}(z))p(z)^{n}dμ_{ℂ^{N}}(z) \\ ≥ m(h)g_{0}p(w)^{n} ∫_{|z−w|<1/c}(∑_{k} |f_{k}|^{2}(z))(1 − c|z − w|)^{n}dμ_{ℂ^{N}}(z) \\ = m(h)g_{0}p(w)^{n} ∫_{0}^{1/c}(1 − cr)^{n} ∫_{|z−w|=r}(∑_{k} |f_{k}|^{2}(z))dσ_{S(w,r)}(z)dr. \end{matrix} (3.1.1)

Par ailleurs, par le lemme 3.1.3, pour tous i et k on a

\begin{aligned}|D_{ik}f_{k}(w)|^{2} & = | ∑_{|I|≤t} a_{Iik}(w)f_{k}^{(I)}(w)|^{2} \\ & ≤ \binom{t + N}{N} ∑_{|I|≤t} |a_{Iik}(w)|^{2} \frac{c_{I}}{vol(S^{2N−1}(1))}r^{−2|I|−2N+1} ∫_{|z−w|=r} |f_{k}|^{2} \end{aligned}

soit

∫_{|z−w|=r} |f_{k}|^{2}(z)dσ_{S(w,r)}(z) ≥ λr^{2t+2N−1}|D_{ik}f_{k}|^{2}(w)

avec λ = (\binom{t+N}{N}(sup_{Iik,|w|≤2} |a_{Iik}(w)|^{2}) ∑_{I} \frac{c_{I}}{vol(S^{2N−1}(1))}))^{−1}. Injectant ceci dans (3.1.1) on trouve

∫_{|z−w|<1}(∑_{ij}^{e} h_{ij}(z)\overline{f_{k}(z)}f_{l}(z))p(z)^{n}g(z)dμ_{ℂ^{N}}(z)

≥ \frac{λm(h)g_{0}p(w)^{n}}{e} ∑_{ik} |D_{ik}f_{k}(w)|^{2} ∫_{0}^{1/c} r^{2t+2N−1}(1 − cr)^{n}dr

≥ \frac{λm(h)g_{0}p(w)^{n}}{e^{2}} ∑_{i} | ∑_{k} D_{ik}f_{k}(w)|^{2}c^{−2t−2N} ∫_{0}^{1} ρ^{2t+2N−1}(1 − ρ)^{n}dρ ;

enfin on a

\begin{aligned}∫_{0}^{1} ρ^{2t+2N−1}(1 − ρ)^{n}dρ & = B(2t + 2N, n + 1) = \frac{Γ(2t + 2N)Γ(n + 1)}{Γ(2t + 2N + n + 1)} \\ & = \frac{1}{2t + 2N} (\frac{(2t + 2N) … 1}{(n + 2t + 2N) … (n + 1)}) ≥ \frac{1}{(2t + 2N)(2n)^{2t+2N}} , \end{aligned}

ce qui termine la démonstration (on peut prendre par exemple C = \sqrt{\frac{e^{2}M(h)(2t+2N)(2c)^{2t+2N}}{λm(h)g_{0}}} ). □ Proposition 3.1.5 Soient X une variété analytique complexe compacte hermitienne de dimension N munie d’un fibré vectoriel holomorphe hermitien E, d’un fibré en droites holomorphe hermitien L et d’une forme volume μ. Soient t ≥ 0 un entier et ξ_{1}, …, ξ_{t} des champs de vecteurs C^{∞} sur X. Alors il existe une constante C telle que pour tout entier n ≥ 1 et pour toute section holomorphe globale s de E ⊗ L^{⊗n} sur X, on ait

∥∇_{ξ_{1}} … ∇_{ξ_{t}}s∥_{L^{∞}} ≤ Cn^{t+N}∥s∥_{L^{2}}

où ∇ est la connexion sur E ⊗ L^{⊗n} compatible aux structures complexe et hermitienne.

Démonstration : Pour tout x ∈ X, soit φ_{x} : B_{ℂ^{N}}(0, 3) ⟶^{∼} Ω_{x} un isomorphisme biholomorphe de la boule de rayon 3 sur un voisinage de x. Soit A un ensemble fini de points de X tel que les φ_{α}(B_{ℂ^{N}}(0, 1)) (pour α ∈ A) recouvrent X. Choisissons des trivialisations l_{α} de φ_{α}^{∗}L et (e_{1,α}, …, e_{rg E,α}) de φ_{α}^{∗}E. Notons p_{α} = φ_{α}^{∗}∥l_{α}∥^{2}, h_{ij,α} = φ_{α}^{∗} < e_{i,α}, e_{j,α} > et g_{α} la fonction sur B_{ℂ^{N}}(0, 3) telle qu’on ait φ_{α}^{∗}μ = g_{α}μ_{ℂ^{N}} où μ_{ℂ^{N}} est la mesure de Lebesgue sur ℂ^{N}. Remarquons que, par la formule de Leibniz, pour tout entier n, pour toute fonction f, pour toutes sections e de E et l de L de classe C^{∞} sur Ω_{α}, et pour tout champ de vecteurs ξ de classe C^{∞} sur X, on a

∇_{ξ}(fel^{⊗n}) = ((ξ.f)e + f∇_{ξ}e)l^{⊗n} + n fel^{⊗(n−1)}∇_{ξ}l.

Appliquant cette formule t fois, on trouve des opérateurs différentiels D_{ij,α}^{<t−u>} de degré t−u à coefficients complexes C^{∞} tels que, pour tout n et pour toute section s de E ⊗ L^{⊗n} sur Ω_{α} s’écrivant

s = ∑_{i} f_{i}e_{i,α}l_{α}^{⊗n}

on ait

∇_{ξ_{1}} … ∇_{ξ_{t}}s = ∑_{i} (∑_{u=0}^{t} n^{u} ∑_{k}(D_{ik,α}^{<t−u>}f_{k})) e_{i,α}l_{α}^{⊗n}.

Ainsi pour tous α et u les fonctions p_{α}, h_{ij,α} et g_{α} et les opérateurs différentiels D_{ij,α}^{<t−u>} vérifient les hypothèses du lemme précédent (en remplaçant t par t − u). Notons C_{u,α} les constantes obtenues en appliquant le lemme à ces données et C = max_{0≤u≤t, α∈A} C_{u,α}. Alors, si ∥∇_{ξ_{1}} … ∇_{ξ_{t}}s∥ atteint son maximum en x = φ_{α}(w) ∈ φ_{α}(B_{ℂ^{N}}(0, 1)) on trouve, avec les notations précédentes :

∥∇_{ξ_{1}} … ∇_{ξ_{t}}s∥_{L^{∞}}^{2} = ∥∇_{ξ_{1}} … ∇_{ξ_{t}}s(x)∥^{2}

= (∑_{ij} h_{ij,α}(w)\overline{(∑_{u,k} n^{u}D_{ik,α}^{<t−u>}f_{k}(w))}(∑_{v,l} n^{v}D_{jl,α}^{<t−v>}f_{l}(w))) p_{α}(w)^{n}

≤ (t + 1) ∑_{u=0}^{t} n^{2u} (∑_{ij} h_{ij,α}(w)\overline{(∑_{k} D_{ik,α}^{<t−u>}f_{k}(w))}(∑_{l} D_{jl,α}^{<t−u>}f_{l}(w))) p_{α}(w)^{n}

≤ (t + 1) ∑_{u=0}^{t} n^{2u}C^{2}n^{2t−2u+2N} ∫_{|z−w|<1} (∑_{ij} h_{ij,α}(z)\overline{f_{i}(z)}f_{j}(z)) p_{α}(z)^{n}g_{α}(z)dμ_{ℂ^{N}}(z)

≤ (t + 1)^{2}C^{2}n^{2t+2N} ∫_{φ_{α}(B(0,2))} ∥s∥^{2} ≤ (t + 1)^{2}C^{2}n^{2t+2N}∥s∥_{L^{2}}^{2}

ce qu’il fallait démontrer (quitte à remplacer C par (t + 1)C). □

Lemme 3.1.6 Soient p et N deux entiers naturels, avec p < N. Notons z_{1}, …, z_{N} des coordonnées sur ℂ^{N}. Soient s > 0 un réel et f une fonction de classe C^{∞} définie sur un ouvert de ℂ^{N}. Alors la fonction |f(z)|^{2}(∑_{p<i≤N} |z_{i}|^{2})^{−s} est localement intégrable si et seulement si f s’annule à l’ordre ⌊s⌋ + p − N + 1 le long de la sous-variété z_{p+1} = ⋯ = z_{N} = 0.

Démonstration : Soient z un point de la sous-variété z_{p+1} = ⋯ = z_{N} = 0 et λ le plus petit ordre d’un jet non nul de f en z. Posant ρ = (|z_{p+1}|^{2}+⋯+|z_{N}|^{2})^{1/2}, remplaçant f par son développement de Taylor et utilisant le théorème de Fubini, on se ramène à déterminer une condition sur λ pour que l’intégrale

∫ vol(S^{2(N−p)−1}(ρ))ρ^{2(λ−s)}dρ = c ∫ ρ^{2(λ−s+N−p)−1}dρ

soit localement convergente. On trouve bien λ > s + p − N, soit λ ≥ ⌊s⌋ + p − N + 1. □

Soient X une variété projective complexe lisse, L un fibré en droites holomorphe ample et ℑ un faisceau d’idéaux sur X,

\xymatrix{X̃ \ar[rr]^{π} \ar[dr]_{q} &  & X \ar[dl]^{p} \\  & Spec ℂ}

l’éclaté de X le long du sous-schéma défini par ℑ, E ⊂ X̃ le diviseur exceptionnel et k un entier tel que ℑL^{⊗k} soit engendré par l’ensemble V = Γ(X, ℑL^{⊗k}) de ses sections globales.

Par [EGA] II 3.1.8 (iii), on a un isomorphisme canonique

φ : X̃ = Proj ⨁_{t≥0} ℑ^{t} ⟶^{∼} Proj ⨁_{t≥0} ℑ^{t}L^{⊗tk} = P.

D’autre part, pour tout t on déduit de la surjection canonique q^{∗}V ↠ ℑL^{⊗k} une surjection q^{∗} Sym^{t} V ↠ ℑ^{t}L^{⊗tk} donc, par [EGA] II 3.6.2 (i), une immersion

i : P = Proj ⨁_{t≥0} ℑ^{t}L^{⊗tk} ↪ Proj ⨁_{t≥0} q^{∗} Sym^{t} V = X × ℙ_{V} ,

cette dernière égalité résultant de [EGA] II 3.5.3. Composant tout ceci avec la seconde projection pr_{2} : X × ℙ_{V} ⟶ ℙ_{V} on obtient un morphisme naturel

g = pr_{2} ∘ i ∘ φ : X̃ ⟶ ℙ_{V} .  (3.1.2)

D’autre part, par [EGA] II 3.5.2 (ii) on a un isomorphisme naturel i^{∗}pr_{2}^{∗}O_{ℙ_{V}} (1) = O_{P} (1) et, par [EGA] II 3.2.10, φ^{∗}O_{P} (1) = π^{∗}L^{⊗k} ⊗ OX̃(1), d’où l’on déduit finalement par [EGA] II 8.1.7 une identification naturelle

g^{∗}O_{ℙ_{V}} (1) = π^{∗}L^{⊗k}(−E).  (3.1.3)

Lemme 3.1.7 Plaçons-nous sous les hypothèses précédentes et supposons en outre L muni d’une métrique hermitienne C^{∞}, notée ∥.∥_{L}. Choisissons alors un produit scalaire hermitien sur V et munissons le fibré en droites universel O_{ℙ_{V}} (1) de la métrique de Fubini-Study associée, puis OX̃(E) de la métrique qui rende isométrique l’isomorphisme naturel (3.1.3). Alors, si (s_{1}, …, s_{d}) est une base orthonormale de V, en tout point x̃ de X̃ la norme de la section canonique 1 de OX̃(E) vaut

∥1∥_{OX̃(E)}(x̃) = (∥s_{1}∥_{L^{⊗k}}^{2}(π(x̃)) + ⋯ + ∥s_{d}∥_{L^{⊗k}}^{2}(π(x̃)))^{1/2}.

Remarque 3.1.8 On notera qu’on s’autorise ici n’importe quel produit scalaire hermitien sur V. En pratique, si X est munie d’une forme volume (par exemple si X a une structure kählérienne) on aura souvent intérêt à choisir sur V le produit scalaire L^{2} d’intégration sur X. Alors, si en outre ℑ = O_{X} est l’idéal unité (définissant le sous-schéma vide), on retrouve dans la quantité (∥s_{1}∥_{L^{⊗k}}^{2} + ⋯ + ∥s_{d}∥_{L^{⊗k}}^{2})^{1/2} essentiellement le facteur de distorsion de la métrique de Bergman, étudié par exemple dans [13], [33], [60] ou [67].

Démonstration : Remarquons que si f : H ⟶ H′ est une application ℂ-linéaire entre deux espaces hermitiens, le réel ∑_{i} ∥f(h_{i})∥^{2} ne dépend pas du choix de la base orthonormale (h_{i})_{i} de H (elle est égale à la trace de l’endomorphisme autoadjoint f^{∗}f, ou encore à somme des carrés des valeurs caractéristiques de f). Ainsi la fonction (∥s_{1}∥_{L^{⊗k}}^{2} + ⋯ + ∥s_{d}∥_{L^{⊗k}}^{2})^{1/2} sur X ne dépend pas du choix de la base orthonormale de V. Si x̃ n’appartient pas à E, on peut donc supposer par exemple que (s_{2}, …, s_{d}) forme une base orthonormale de l’hyperplan de V formé des sections s’annulant en x̃, de telle sorte que s_{1} sera orthogonal à cet hyperplan et de norme 1. Par définition de la norme de Fubini-Study, on a donc

∥π^{∗}s_{1}∥_{π^{∗}L^{⊗k}(−E)}(x̃) = ∥s_{1}∥_{O_{ℙ_{V}} (1)}(g(x̃)) = 1

de telle sorte que

\begin{aligned}∥1∥_{OX̃(−E)}(x̃) = ∥π^{∗}s_{1}∥_{π^{∗}L^{⊗k}}^{−1}(x̃) & = ∥s_{1}∥_{L^{⊗k}}^{−1}(π(x̃)) \\ & = (∥s_{1}∥_{L^{⊗k}}^{2}(π(x̃)) + ⋯ + ∥s_{d}∥_{L^{⊗k}}^{2}(π(x̃)))^{−1/2} \end{aligned}

ce qu’il fallait démontrer. □

Proposition 3.1.9 Soient X une variété projective complexe lisse munie d’une métrique kählérienne et d’un fibré en droites holomorphe hermitien positif (L, ∥.∥), Y_{0} un sous-schéma fermé lisse de X et t un entier naturel. Alors il existe une constante κ telle que, pour tout entier n assez grand et pour toute section w de classe C^{∞} de T^{0,1}X^{∗} ⊗L^{⊗n} sur X, \overline{∂}-fermée et nulle à l’ordre t + 1 sur Y_{0} (ainsi dist(., Y_{0})^{−t−1}w reste bornée sur X ∖ Y_{0}), il existe une section u de classe C^{∞} de L^{⊗n} sur X vérifiant les conditions suivantes :

– u s’annulle à l’ordre t + 1 sur Y_{0}

– \overline{∂}u = w

– ∥u∥_{L^{2}(X)}^{2} ≤ \frac{κ}{n}∥dist(., Y_{0})^{−t−1}w∥_{L^{∞}(X∖Y_{0})}^{2}.

Démonstration : On reprend en grande partie les arguments de [68], section 2. Notons N = dim X, I_{Y_{0}} le faisceau d’idéaux définissant Y_{0},

f : X̃ ⟶ X

l’éclatement de X le long de Y_{0} et E ⊂ X̃ le diviseur exceptionnel. Soit m un entier assez grand, de telle sorte que I_{Y_{0}}L^{⊗m} soit engendré par ses sections globales. Notons alors

g : X̃ ⟶ ℙ_{V}

le morphisme qui s’en déduit naturellement, défini en (3.1.2). Munissons V du produit scalaire L^{2} sur X et O_{V} (1) de la métrique de Fubini-Study associée. Ceci permet de munir OX̃(E) de l’unique métrique ∥.∥_{E} qui rende l’isomorphisme naturel

g^{∗}O_{V} (1) = f^{∗}L^{⊗m}(−E)  (3.1.4)

(défini en (3.1.3)) isométrique. On définit alors une fonction ρ sur X par la formule

f^{∗}ρ = ∥1∥_{E}

où 1 désigne la section canonique de OX̃(E). Le lemme 3.1.7 montre que si (s_{1}, …, s_{d}) est une base unitaire de V, on a en tout point x ∈ X

ρ(x) = (∥s_{1}(x)∥^{2} + ⋯ + ∥s_{d}(x)∥^{2})^{1/2}  (3.1.5)

(où ∥.∥ est la métrique sur la fibre de L^{⊗m} en x). En outre par compabilité des métriques à (3.1.4) on a

f^{∗}dd^{c} log ρ^{2} = dd^{c} log ∥1∥_{E}^{2} = δ_{E} − c_{1}(∥.∥_{E})
= δ_{E} + g^{∗}c_{1}(∥.∥_{O_{V} (1)}) − mf^{∗}c_{1}(∥.∥_{L})
≥ −mf^{∗}c_{1}(∥.∥_{L})

d’où, par [18] III prop. (1.17.a), en utilisant le fait que f est propre et birationnel :

dd^{c} log ρ^{2} ≥ −mc_{1}(∥.∥_{L}).  (3.1.6)

Notons dμ = ω^{n} la mesure associée à la métrique kählérienne sur X et Y_{0}^{(1)}, …, Y_{0}^{(e)} les composantes connexes du sous-schéma lisse Y_{0}. Pour tout i ∈ {1, …, e} choisissons un voisinage U_{i} de Y_{0}^{(i)} dans X (pour la topologie complexe), de façon que les U_{i} soient deux à deux disjoints. Pour tout i construisons une fonction ψ_{i} ≥ 0 de classe C^{∞} à support compact inclus dans U_{i} identiquement égale à 1 sur un voisinage ouvert V_{i} de Y_{0}^{(i)}, et W_{i} un voisinage de Y_{0}^{(i)} d’adhérence compacte incluse dans V_{i}. Choisissons aussi des réels σ_{i} > 0 et posons

σ = σ_{1}ψ_{1} + ⋯ + σ_{e}ψ_{e}.

Considérons le fibré en droites M_{n} = (⋀^{N} T^{1,0}X) ⊗ L^{⊗n} muni de la métrique (singulière) ∥.∥_{M_{n}} = ρ^{−σ}∥.∥_{⋀^{N} T^{1,0}X}∥.∥_{L}^{n} (voir par exemple l’introduction de [17] pour une discussion rapide des fibrés vectoriels à métrique singulière). La courbure de ce fibré est donnée par

c_{1}(∥.∥_{M_{n}}) = dd^{c}(σ log ρ^{2}) + c_{1}(∥.∥_{⋀^{N} T^{1,0}X}) + n.c_{1}(∥.∥_{L}).

Remarquons que, hors de la réunion des W_{i}, la forme dd^{c}(σ log ρ^{2}) est C^{∞} et que, dans V_{i}, on a dd^{c}(σ log ρ^{2}) = σ_{i}dd^{c} log ρ^{2} ≥ −mσ_{i}c_{1}(∥.∥_{L}) par (3.1.6). Ainsi dd^{c}(σ log ρ^{2}) est minorée par une forme C^{∞} globalement sur X. Choisissant alors une constante c strictement plus grande en tout point que l’inverse de la plus petite valeur propre de la forme de Chern de ∥.∥_{L} (relativement à la forme de Kähler ω) on trouve, pour tout n assez grand :

c_{1}(∥.∥_{M_{n}}) ≥ \frac{n}{c}ω,

et une application du corollaire 14.3 de [17] démontre le fait suivant : Fait (estimées L^{2} de Hörmander et méthode de Hörmander-Bombieri-Skoda). Pour tout entier n assez grand et pour toute section w de classe C^{∞} de T^{0,1}X^{∗}⊗L^{⊗n} sur X, \overline{∂}-fermée et telle que l’intégrale ∫_{X} ∥w∥^{2}ρ^{−2σ}dμ converge, il existe une section u de classe C^{∞} de L^{⊗n} sur X telle que

\overline{∂}u = w

et que

∫_{X} ∥u∥^{2}ρ^{−2σ}dμ ≤ \frac{c}{n} ∫_{X} ∥w∥^{2}ρ^{−2σ}dμ  (3.1.7)

On applique ce résultat avec

σ_{i} = t + N − p_{i}

où

p_{i} = dim Y_{0}^{(i)}.

Par (3.1.5), il existe des constantes κ_{1} et κ_{2} telles que pour tout x ∈ X on ait

κ_{1}.dist(x, Y_{0}) ≤ ρ(x) ≤ κ_{2}.dist(x, Y_{0}).

Alors, pour toute fonction φ de classe C^{∞} sur X, puisque Y_{0}^{(i)} est lisse de dimension p_{i} et que σ est constante égale à σ_{i} au voisinage de Y_{0}^{(i)}, le lemme 3.1.6 implique que la fonction |φ|^{2}ρ^{−2σ} est localement intégrable si et seulement si pour tout i, φ s’annule à l’ordre ⌊σ_{i}⌋ + p_{i} − N + 1 = t + 1 en tout point de Y_{0}^{(i)}, i.e. si et seulement si φ s’annule à l’ordre t + 1 sur Y_{0}. Soit maintenant w une section de classe C^{∞} de T^{0,1}X^{∗} ⊗ L^{⊗n} sur X, \overline{∂}-fermée et nulle à l’ordre t + 1 sur Y_{0}, de telle sorte que l’intégrale ∫_{X} ∥w∥^{2}ρ^{−2σ}dμ converge. Par le fait mentionné ci-dessus, il existe une section u de classe C^{∞} de L^{⊗n} sur X telle que

\overline{∂}u = w

et que

∫_{X} ∥u∥^{2}ρ^{−2σ}dμ ≤ \frac{c}{n} ∫_{X} ∥w∥^{2}ρ^{−2σ}dμ.

Par la discussion qui précède, ceci implique que u s’annule à l’ordre t + 1 sur Y_{0}. D’autre part, on a

∥u∥_{L^{2}(X)}^{2} ≤ ∥ρ^{σ}∥_{L^{∞}(X)}^{2} ∫_{X} ∥u∥^{2}ρ^{−2σ}dμ

et

∫_{X} ∥w∥^{2}ρ^{−2σ}dμ ≤ ∥dist(., Y_{0})^{−t−1}w∥_{L^{∞}(X∖Y_{0})}^{2} ∫_{X} |dist(., Y_{0})|^{2(t+1)}ρ^{−2σ}dμ,

et la proposition est démontrée avec κ = c∥ρ^{σ}∥_{L^{∞}(X)}^{2} ∫_{X} |dist(., Y_{0})|^{2(t+1)}ρ^{−2σ}dμ. □

On est maintenant en mesure d’énoncer le théorème d’extension L^{2}.

Soient X une variété projective complexe lisse munie d’une métrique kählérienne et d’un fibré en droites hermitien positif (L, ∥.∥), et Y un sous-schéma fermé de X. On suppose que Y est lisse avec multiplicité sur ℂ. Notons Y_{0} = Y^{réd} le sous-schéma réduit sous-jacent, ℑ_{Y} (resp. ℑ_{Y_{0}} = \sqrt{ℑ_{Y}}) le faisceau d’idéaux de O_{X} définissant Y (resp. Y_{0}) comme sous-schéma de X et ℜ = ℑ_{Y_{0}}/ℑ_{Y} le faisceau d’idéaux de O_{Y} définissant Y_{0} comme sous-schéma de Y. Par définition de la lissité avec multiplicité, le schéma réduit Y_{0} est lisse sur ℂ, de telle sorte que l’immersion de Y_{0} dans X est régulière et qu’on a une injection naturelle

ℑ_{Y_{0}}/ℑ_{Y_{0}}^{2} ↪ Ω_{X/ℂ}^{1}|_{Y_{0}}.

Ceci permet de munir ℑ_{Y_{0}}/ℑ_{Y_{0}}^{2} de la métrique restreinte de la métrique sur Ω_{X/ℂ}^{1} définie par la structure kählérienne et, pour tout entier t,

ℑ_{Y_{0}}^{t}/ℑ_{Y_{0}}^{t+1} = Sym^{t}(ℑ_{Y_{0}}/ℑ_{Y_{0}}^{2})

de la métrique puissance symétrique de celle-ci. Alors, à nouveau par définition de la lissité avec multiplicité, le faisceau de jets

ℜ^{t}/ℜ^{t+1} = (ℑ_{Y_{0}}^{t} + ℑ_{Y})/(ℑ_{Y_{0}}^{t+1} + ℑ_{Y})

est un fibré vectoriel quotient de ℑ_{Y_{0}}^{t}/ℑ_{Y_{0}}^{t+1} et peut être muni de la métrique quotient. Munissant alors Y_{0} de la structure kählérienne restreinte de celle de X, et de la forme volume associée, on peut ainsi définir une métrique L^{2} sur l’espace des sections globales sur Y_{0} de ℜ^{t}/ℜ^{t+1} (et des fibrés qui s’en déduisent après tensorisation par le fibré en droites L).

Théorème 3.1.10 Avec les notations précédentes, pour tout ϵ > 0, il existe un entier n_{ϵ} tel que, pour tout n > n_{ϵ}, pour tout entier t et pour toute section holomorphe s de (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}} sur Y_{0}, il existe une section holomorphe S de ℑ_{Y_{0}}^{t}L^{⊗n} sur X relevant s et vérifiant

∥S∥_{L^{2}(X)} ≤ e^{nϵ}.∥s∥_{L^{2}(Y_{0})}.

Démonstration : Soit ϵ > 0. Notons N = dim X et J_{t} l’application naturelle de ℑ_{Y_{0}}^{t}|_{Y_{0}} dans ℜ^{t}/ℜ^{t+1}. Par des arguments standard, on construit une famille finie (U_{i})_{i∈I} d’ouverts de X tels que, pour tout i ∈ I, U_{i} rencontre au plus une composante connexe de Y_{0} et, pour tout i ∈ I, une section holomorphe l_{i} de L sur U_{i} et des fonctions holomorphes h_{i,1}^{(t)}, …, h_{i,e_{t,i}}^{(t)} sur U_{i} (où e_{t,i} est le rang du fibré vectoriel ℜ^{t}/ℜ^{t+1} sur Y_{0} ∩ U_{i}) s’annulant

à l’ordre t le long de Y_{0} ∩ U_{i} (autrement dit, h_{i,k}^{(t)} ∈ Γ(U_{i}, ℑ_{Y_{0}}^{t})), qui vérifient les conditions suivantes :

(a) pour tout i, la section l_{i} définit une trivialisation de L sur U_{i} :

L|_{U_{i}} = O_{U_{i}}.l_{i} ;

(b) pour tout i, on a

e^{−ϵ} ≤ ∥l_{i}∥ ≤ e^{ϵ}

en tout point de U_{i}, et ∇l_{i} reste bornée sur U_{i};

(c) les J_{t}h_{i,1}^{(t)}, …, J_{t}h_{i,e_{t,i}}^{(t)} forment une base de la fibre de ℜ^{t}/ℜ^{t+1} en tout point de Y_{0} ∩ U_{i}, base dont la matrice de Gram^{1} admet toutes ses valeurs caractéristiques (qui sont aussi ses valeurs propres) dans l’intervalle [e^{−ϵ}, e^{ϵ}] (autrement dit, les jets d’ordre t de h_{i,1}^{(t)}, …, h_{i,e_{t,i}}^{(t)} le long de Y forment une base presque orthonormale de ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ;

(d) les h_{i,k}^{(t)} sont bornées uniformément, ainsi que toutes leurs dérivées ; autrement dit, pour tout entier u et pour tous champs de vecteurs ξ_{1}, …, ξ_{u} de classe C^{∞} définis globalement sur X, la fonction ξ_{1} … ξ_{u}.h_{i,k}^{(t)} reste bornée sur U_{i};

(e) la réunion des (U_{i})_{i∈I} contient Y_{0} ;

(f) si on note B_{ℂ^{N}} la boule unité de ℂ^{N} (pour la métrique standard) et si on considère ℂ^{p} comme le sous-espace de ℂ^{N} défini par l’annulation des N − p dernières coordonnées, on a pour tout i un isomorphisme U_{i} ≃ B_{ℂ^{N}} dont la restriction à Y_{0} identifie Y_{0} ∩ U_{i} à ℂ^{p} ∩ B_{ℂ^{N}}, et qui est borné uniformément sur B_{ℂ^{N}}, ainsi que toutes ses dérivées.

On note π_{i} : U_{i} ⟶ Y_{0} ∩ U_{i} la projection déduite de la restriction à B_{ℂ^{N}} de la projection naturelle ℂ^{N} ⟶ ℂ^{p} par l’isomorphisme précédent.

Pour tous i et j dans I, on définit une fonction g_{ij} holomorphe et partout non nulle sur U_{i} ∩ U_{j} par la formule

l_{i} = g_{ij}l_{j}.

1rappelons que si (e_{1}, …, e_{n}) est une base d’un espace hermitien E, sa matrice de Gram est la matrice (< e_{i}, e_{j} >)_{1≤i,j≤n}; c’est aussi la matrice dans la base canonique de ℂ^{n} de l’application f^{∗}f, où f : ℂ^{n} ⟶ E est l’application ℂ-linéaire canoniquement définie par (e_{1}, …, e_{n}).

De la condition (b) on déduit l’encadrement

e^{−2ϵ} ≤ |g_{ij}| ≤ e^{2ϵ}  (3.1.8)

en tout point de U_{i} ∩ U_{j}.

Pour alléger les notations, notons

\underline{h}_{i}^{(t)} ∈ M_{e_{t,i},1}(Γ(U_{i}, ℑ_{Y_{0}}^{t}))

le vecteur colonne dont les coordonnées sont les h_{ik}^{(t)}. Si Y_{0} ∩ U_{i} ∩ U_{j} est non vide on note e_{t} = e_{t,i} = e_{t,j} et on définit une matrice de changement de base

\underline{P}_{ij} ∈ M_{e_{t},e_{t}}(Γ(Y_{0} ∩ U_{i} ∩ U_{j}, O_{Y_{0}}))^{×}

par la formule

J_{t}\underline{h}_{i}^{(t)} = \underline{P}_{ij}J_{t}\underline{h}_{j}^{(t)}.  (3.1.9)

L’hypothèse (c) et la proposition 1.2.5 impliquent qu’en tout point de Y_{0} ∩ U_{i} ∩ U_{j}, les valeurs caractéristiques de la matrice \underline{P}_{ij} sont toutes dans l’intervalle [e^{−2ϵ}, e^{2ϵ}].

Clairement les g_{ij} et les \underline{P}_{ij} vérifient une relation de cocycle : g_{ik} = g_{ij}g_{jk} et \underline{P}_{ik} = \underline{P}_{ij}\underline{P}_{jk} sur Y_{0} ∩ U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}. Remarquons aussi que par définition des \underline{P}_{ij}, la fonction \underline{h}_{i}^{(t)} − (\underline{P}_{ij} ∘ π_{j})\underline{h}_{j}^{(t)}, définie sur U_{i} ∩ U_{j} et à valeurs dans M_{e_{t},1}(ℂ), s’annule à l’ordre t + 1 le long de Y_{0}. D’autre part par (d) et (f), les dérivées à tout ordre de cette fonction sont uniformément bornées sur U_{i} ∩ U_{j}, d’où l’on déduit l’existence d’une constante C_{1} telle que pour tout x dans U_{i} ∩ U_{j} on ait

∥\underline{h}_{i}^{(t)}(x) − \underline{P}_{ij}(π_{j}(x))\underline{h}_{j}^{(t)}(x)∥ ≤ C_{1}dist(x, Y_{0})^{t+1}  (3.1.10)

où ∥.∥ est la norme usuelle sur M_{e_{t},1}(ℂ) = ℂ^{e_{t}}. De la même façon il existe des constantes C_{2} et C_{3} telles que pour tout x dans U_{i} on ait

∥\underline{h}_{i}^{(t)}(x)∥ ≤ C_{2}dist(x, Y_{0})^{t}  (3.1.11)

et

dist(x, π_{i}(x)) ≤ C_{3}dist(x, Y_{0}).  (3.1.12)

Remarquons aussi que, par (b), la différentielle de g_{ij} est unifomément bornée sur U_{i} ∩ U_{j}. Appliquant (3.1.8), (3.1.12) et l’inégalité des accroissements finis, on trouve, pour tout n assez grand et pour tout x dans U_{i} ∩ U_{j} :

g_{ij}(x)^{n} − g_{ij}(π_{i}(x))^{n} ≤ C_{4}e^{3nϵ}dist(x, Y_{0})  (3.1.13)

pour une constante C_{4} convenable.

Enfin, par les méthodes usuelles de partition de l’unité, on construit un voisinage U de Y dans X et, pour tout i, une fonction φ_{i} réelle positive C^{∞} sur X à support compact K_{i} ⊂ U_{i}, de telle sorte que la somme ∑_{i∈I} φ_{i} soit identiquement égale à 1 dans U.

Soit maintenant s ∈ Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}). Pour tout i ∈ I, il existe e_{t} fonctions (où l’on a posé e_{t} = e_{t,i}) f̃_{i,1}, …, f̃_{i,e_{t}} holomorphes sur Y_{0} ∩ U_{i} telles que, si l’on note

˜\underline{f}_{i} ∈ M_{1,e_{t}}(Γ(Y_{0} ∩ U_{i}, O_{Y_{0}}))

le vecteur ligne dont les coordonnées sont les f̃_{i,k}, on ait

s|_{Y_{0}∩U_{i}} = ˜ \underline{f}_{i}J_{t}\underline{h}_{i}^{(t)}l_{i}^{⊗n}.  (3.1.14)

On définit alors \underline{f}_{i} sur U_{i} par la formule \underline{f}_{i}(x) = ˜ \underline{f}_{i}(π_{i}(x)) et on pose

v = ∑_{i∈I} φ_{i}\underline{f}_{i}\underline{h}_{i}^{(t)}l_{i}^{⊗n}.  (3.1.15)

Soit maintenant x un point de U. Par définition, U est contenu dans la réunion des supports K_{i} des φ_{i}. Soit donc i_{0} ∈ I tel que x ∈ K_{i_{0}}. Puisque la somme des φ_{i} vaut identiquement 1 sur U, on a ∑_{i∈I} \overline{∂}φ_{i} = 0 sur U et on peut écrire

\begin{aligned}\overline{∂}v(x) & = ∑_{i∈I} \overline{∂}φ_{i}.\underline{f}_{i}\underline{h}_{i}^{(t)}l_{i}^{⊗n}(x) \\ & = ∑_{i∈I} \overline{∂}φ_{i}.(\underline{f}_{i}\underline{h}_{i}^{(t)}l_{i}^{⊗n} − \underline{f}_{i_{0}} \underline{h}_{i_{0}}^{(t)}l_{i_{0}}^{⊗n})(x). \end{aligned}  (3.1.16)

Par ailleurs, pour tout i on a

\begin{aligned}˜\underline{f}_{i}J_{t}\underline{h}_{i}^{(t)}l_{i}^{⊗n} = s & = ˜ \underline{f}_{i_{0}}J_{t}\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}l_{i_{0}}^{⊗n} \\ & = ˜ \underline{f}_{i_{0}} \underline{P}_{i_{0}i}J_{t}\underline{h}_{i}^{(t)}g_{i_{0}i}^{n}l_{i}^{⊗n} \end{aligned}

sur Y_{0} ∩ U_{i_{0}} ∩ U_{i}, soit

˜\underline{f}_{i} = g_{i_{0}i}^{n} ˜\underline{f}_{i_{0}} \underline{P}_{i_{0}i}

ou encore

\underline{f}_{i}(x) = (g_{i_{0}i}^{n} ˜\underline{f}_{i_{0}} \underline{P}_{i_{0}i})(π_{i}(x))

si x ∈ U_{i_{0}} ∩ U_{i}. On trouve alors

\begin{aligned}(\underline{f}_{i}\underline{h}_{i}^{(t)} & l_{i}^{⊗n} − \underline{f}_{i_{0}} \underline{h}_{i_{0}}^{(t)}l_{i_{0}}^{⊗n})(x) \\ & = g_{i_{0}i}(π_{i}(x))^{n} ˜\underline{f}_{i_{0}}(π_{i}(x))\underline{P}_{i_{0}i}(π_{i}(x))\underline{h}_{i}^{(t)}(x)l_{i}^{⊗n}(x) − \underline{f}_{i_{0}}(x)\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}(x)l_{i_{0}}^{⊗n}(x) \\ & = ˜ \underline{f}_{i_{0}}(π_{i}(x))\underline{P}_{i_{0}i}(π_{i}(x))\underline{h}_{i}^{(t)}(x) (\frac{g_{ii_{0}}(x)}{g_{ii_{0}}(π_{i}(x))})^{n} l_{i_{0}}^{⊗n}(x) − ˜ \underline{f}_{i_{0}}(π_{i_{0}}(x))\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}(x)l_{i_{0}}^{⊗n}(x) \\ & = −(α_{1}(x) + α_{2}(x) + α_{3}(x))l_{i_{0}}^{⊗n}(x) \end{aligned} (3.1.17)

avec

α_{1}(x) = ( ˜\underline{f}_{i_{0}}(π_{i_{0}}(x)) − ˜ \underline{f}_{i_{0}}(π_{i}(x)))\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}(x),  (3.1.18)

α_{2}(x) = ˜ \underline{f}_{i_{0}}(π_{i}(x))\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}(x) (1 − (\frac{g_{ii_{0}}(x)}{g_{ii_{0}}(π_{i}(x))})^{n})  (3.1.19)

et

α_{3}(x) = ˜ \underline{f}_{i_{0}}(π_{i}(x))) (\frac{g_{ii_{0}}(x)}{g_{ii_{0}}(π_{i}(x))})^{n} (\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}(x) − \underline{P}_{i_{0}i}(π_{i}(x))\underline{h}_{i}^{(t)}(x)) .  (3.1.20)

On se propose de majorer ces trois quantités. On a d’abord

∥ ˜\underline{f}_{i_{0}}(π_{i_{0}}(x)) − ˜ \underline{f}_{i_{0}}(π_{i}(x))∥ ≤ ∥d ˜\underline{f}_{i_{0}}∥_{L^{∞}(Y_{0}∩U_{i_{0}})}dist(π_{i_{0}}(x), π_{i}(x))
≤ ∥d ˜\underline{f}_{i_{0}}∥_{L^{∞}(Y_{0}∩U_{i_{0}})}(dist(π_{i_{0}}(x), x) + dist(x, π_{i}(x)))
≤ 2C_{3}∥d ˜\underline{f}_{i_{0}}∥_{L^{∞}(Y_{0}∩U_{i_{0}})}dist(x, Y_{0})

par (3.1.12). Par ailleurs sur Y_{0} ∩ U_{i_{0}} on a

s = ˜ \underline{f}_{i_{0}}J_{t}\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}l_{i_{0}}^{⊗n}

ce qui par (b) et (c) implique en tout point l’encadrement

e^{−(n+1)ϵ}∥s∥ ≤ ∥ ˜\underline{f}_{i_{0}}∥ ≤ e^{(n+1)ϵ}∥s∥,  (3.1.21)

et

∇s = d ˜\underline{f}_{i_{0}}J_{t}\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}l_{i_{0}}^{⊗n} + ˜ \underline{f}_{i_{0}}∇J_{t}\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}l_{i_{0}}^{⊗n} + n ˜\underline{f}_{i_{0}}J_{t}\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}l_{i_{0}}^{⊗n−1}∇l_{i_{0}},

ce qui, par (b), (c), (d), (f) et (3.1.21) implique

∥d ˜\underline{f}_{i_{0}}∥_{L^{∞}(Y_{0}∩U_{i_{0}})} ≤ e^{(n+1)ϵ}(∥∇s∥_{L^{∞}(Y_{0}∩U_{i_{0}})} + ∥ ˜\underline{f}_{i_{0}}∇J_{t}\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}l_{i_{0}}^{⊗n}∥_{L^{∞}(Y_{0}∩U_{i_{0}})}
+ n∥ ˜\underline{f}_{i_{0}}J_{t}\underline{h}_{i_{0}}^{(t)}l_{i_{0}}^{⊗n−1}∇l_{i_{0}}∥_{L^{∞}(Y_{0}∩U_{i_{0}})})
≤ C_{5}e^{3nϵ}(∥s∥_{L^{∞}(Y_{0}∩U_{i_{0}})} + ∥∇s∥_{L^{∞}(Y_{0}∩U_{i_{0}})})

où C_{5} est une constante ne dépendant que des \underline{h}_{i}^{(t)}, des l_{i} et de leurs dérivées. Combinant tout ceci à (3.1.11) et à la proposition 3.1.5, on trouve

∥α_{1}∥(x) ≤ C_{6}e^{4nϵ}∥s∥_{L^{2}(Y_{0})}dist(x, Y_{0})^{t+1}

pour tout x dans U_{i} ∩ U_{i_{0}}, où C_{6} est une constante ne dépendant pas de n ni de s. Ceci est la première majoration souhaitée.

Remarquons ensuite que par (3.1.8) et par (3.1.13) on a

|1 − (\frac{g_{ii_{0}}(x)}{g_{ii_{0}}(π_{i}(x))})^{n}| ≤ C_{7}e^{5nϵ}dist(x, Y_{0})

pour tout x dans U_{i} ∩ U_{i_{0}}. Joint à (3.1.11), à (3.1.21) et à la proposition 3.1.5 (appliquée avec t = 0), ceci implique

∥α_{2}∥(x) ≤ C_{8}e^{6nϵ}∥s∥_{L^{2}(Y_{0})}dist(x, Y_{0})^{t+1}.

Enfin, par (3.1.8), (3.1.10), (3.1.21) et la proposition 3.1.5, on a aussi

∥α_{3}∥(x) ≤ C_{9}e^{6nϵ}∥s∥_{L^{2}(Y_{0})}dist(x, Y_{0})^{t+1}.

En injectant ces trois majorations dans (3.1.17) puis dans (3.1.16), et en utilisant (b) et la finitude de I, on en déduit une constante C, indépendante de n et de s, telle que

∥\overline{∂}v∥(x) ≤ Ce^{8nϵ}∥s∥_{L^{2}(Y_{0})}dist(x, Y_{0})^{t+1}  (3.1.22)

pour tout x dans la réunion des U_{i}. Puisque par construction \overline{∂}v est nulle hors de cette réunion, la majoration (3.1.22) est en fait valable pour tout x dans X.

Grâce à la proposition 3.1.9, on en déduit l’existence d’une section u de classe C^{∞} de L^{⊗n} sur X vérifiant les conditions suivantes :

– u est nulle à l’ordre t + 1 le long de Y_{0} (donc J_{t}u = 0)

– \overline{∂}u = \overline{∂}v sur X (i.e. v − u est holomorphe)

– ∥u∥_{L^{2}(X)} ≤ C′e^{8nϵ}∥s∥_{L^{2}(Y_{0})} où C′ est une constante ne dépendant pas de n.

D’autre part, en injectant (b), (d) et (3.1.21) dans (3.1.15) et en utilisant la proposition 3.1.5 (avec t = 0), on trouve une constante C′′ (ne dépendant pas de n) telle qu’on ait

∥v∥_{L^{2}(X)} ≤ C′′e^{2nϵ}∥s∥_{L^{∞}(Y_{0})} ≤ C′′e^{3nϵ}∥s∥_{L^{2}(Y_{0})}

pour n assez grand. Enfin, puisque les \underline{h}_{i}^{(t)} s’annulent à l’ordre t le long de Y_{0} on a

J_{t}v = ∑_{i∈I} J_{t}(φ_{i}\underline{f}_{i}\underline{h}_{i}^{(t)}l_{i}^{⊗n}) = ∑_{i∈I} φ_{i}\underline{f}_{i}J_{t}\underline{h}_{i}^{(t)}l_{i}^{⊗n} = s

et, quitte à remplacer ϵ par ϵ/12 et à supposer n assez grand, on peut conclure la démonstration du théorème en posant

S = v − u.
□

3.1.2 Comparaison de normes

On commence par énoncer un lemme.

Lemme 3.1.11 Soient

f : E ⟶ F

une application ℂ-linéaire entre deux espaces hermitiens et E′ un sous-espace de E. Supposons que l’application restreinte f|_{E′} : E′ ⟶ F soit surjective (ce qui implique a fortiori que f est surjective). Soient m ≤ M deux réels strictement positifs. Alors

i. la plus grande valeur caractéristique de f est inférieure ou égale à M si et seulement

si pour tout x dans E on a ∥f(x)∥ ≤ M∥x∥; ii. la plus petite valeur caractéristique non nulle de f|_{E′} est supérieure ou égale à m si et

seulement si pour tout y dans F il existe x′ dans E′ tel que y = f(x′) et ∥x′∥ ≤ \frac{1}{m}∥y∥; iii. la plus grande valeur caractéristique (resp. la plus petite valeur caractéristique non

nulle) de f est supérieure ou égale à la plus grande valeur caractéristique (resp. la plus petite valeur caractéristique non nulle) de f|_{E′}.

Démonstration : Les deux premiers points résultent directement des définitions et le troisième est une conséquence directe des deux premiers. □

Ainsi, sous l’hypothèse que f|_{E′} est surjective, pour borner simultanément les valeurs caractéristiques non nulles de f et de f|_{E′}, il suffit de majorer celles de f et de minorer celles de f|_{E′}.

On reprend maintenant les hypothèses et notations introduites dans l’énoncé du théorème 3.1.10 : X est une variété projective complexe lisse munie d’une métrique kählérienne et d’un fibré en droites hermitien positif (L, ∥.∥), Y un sous-schéma fermé de X lisse avec multiplicité, Y_{0} = Y^{réd} le sous-schéma réduit (lisse) sous-jacent et ℜ le nilradical de O_{Y}. Rappelons qu’on a pour tout t une identification canonique de faisceaux de O_{Y_{0}}-modules localement libres

\begin{aligned}ℜ^{t}/ℜ^{t+1} & = (ℑ_{Y_{0}}^{t} + ℑ_{Y})/(ℑ_{Y_{0}}^{t+1} + ℑ_{Y}) \\ & = ℑ_{Y_{0}}^{t}/(ℑ_{Y_{0}}^{t+1} + ℑ_{Y_{0}}^{t} ∩ ℑ_{Y}) \end{aligned}

d’où l’on déduit par passage aux sections globales des applications de restriction

R_{t} : Γ(X, (ℑ_{Y_{0}}^{t} + ℑ_{Y})L^{⊗n}) ⟶ Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}})  (3.1.23)

et de jet

J_{t} : Γ(X, ℑ_{Y_{0}}^{t}L^{⊗n}) ⟶ Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}})  (3.1.24)

qui sont surjectives pour n assez grand. En outre, J_{t} s’obtient en composant R_{t} avec l’injection naturelle de Γ(X, ℑ_{Y_{0}}^{t}L^{⊗n}) dans Γ(X, (ℑ_{Y_{0}}^{t} + ℑ_{Y})L^{⊗n}). Ces espaces sont tous munis de structures hermitiennes au moyen des normes L^{2}.

Lemme 3.1.12 Il existe une constante C > 0 telle que, pour tout entier t ≥ 0 et tout entier n assez grand, l’application R_{t} soit de norme inférieure à Cn^{t+N}.

Démonstration : En relevant localement des bases de l’espace tangent à X au voisinage de points de Y_{0}, et en les étendant de façon C^{∞} à X tout entier, on construit des champs de vecteurs ξ_{11}, …, ξ_{1t}, …, ξ_{m1}, …, ξ_{mt} de classe C^{∞} définis globalement sur X tels que, pour tout s ∈ Γ(X, (ℑ_{Y_{0}}^{t} + ℑ_{Y})L^{⊗n}) et pour tout y ∈ Y_{0} on ait

∥R_{t}s∥(y) ≤ ∑_{i=1}^{m} ∥∇_{ξ_{i1}} … ∇_{ξ_{it}}s∥(y).

Après utilisation de la proposition 3.1.5 et intégration sur Y_{0}, on obtient le résultat souhaité. □

Considérons maintenant la filtration décroissante finie du ℂ-espace vectoriel Γ(Y, L^{⊗n}|_{Y}) donnée par les

F il^{t}Γ(Y, L^{⊗n}|_{Y}) = Γ(Y, ℜ^{t}L^{⊗n}|_{Y}).

Passant aux sections globales dans la suite exacte courte de faisceaux de O_{Y} -modules

0 ⟶ ℜ^{t}L^{⊗n}|_{Y} ⟶ ℜ^{t+1}L^{⊗n}|_{Y} ⟶ (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}} ⟶ 0

et utilisant l’amplitude de L, on obtient, si n est assez grand, un isomorphisme naturel

Γ(Y, ℜ^{t}L^{⊗n}|_{Y})/Γ(Y, ℜ^{t+1}L^{⊗n}|_{Y}) = Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}).  (3.1.25)

Supposons donc que n soit assez grand pour que cette identification soit valable et, en outre, que l’application naturelle de restriction

restr : Γ(X, L^{⊗n}) ⟶ Γ(Y, L^{⊗n}|_{Y})

soit surjective, de telle sorte qu’on puisse munir Γ(Y, L^{⊗n}|_{Y}) de la métrique quotient de la métrique L^{2} sur Γ(X, L^{⊗n}). On s’intéresse alors aux trois métriques sur Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}) définies comme suit :

– d’une part, la métrique ∥.∥_{gr}, obtenue en considérant par (3.1.25) que Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1})⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}) est le gradué associé à la filtration de Γ(Y, L^{⊗n}|_{Y}), et donc muni de la métrique de sous-quotient correspondant ;

– d’autre part, la métrique ∥.∥_{L^{2}(Y_{0})} associée à la structure hermitienne sur le fibré vectoriel (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}} héritée de la structure kählérienne sur X (suivant la discussion qui précède le théorème 3.1.10) ;

– enfin, la métrique ∥.∥_{q(J_{t})} obtenue par passage au quotient par J_{t} de la métrique L^{2}(X) sur Γ(X, ℑ_{Y_{0}}^{t}L^{⊗n}) ⊂ Γ(X, L^{⊗n}).

Remarque 3.1.13 On pourrait encore considérer une quatrième métrique, définie par passage au quotient de l’application naturelle

Γ(Y_{0}, S^{t}N_{Y_{0}} ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}) ⟶ Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}),

où N_{Y_{0}} = ℑ_{Y_{0}}/ℑ_{Y_{0}}^{2} ⊂ Ω_{X}^{1}|_{Y_{0}} est muni de la métrique définie par la structure kählérienne et Γ(Y_{0}, S^{t}N_{Y_{0}} ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}) de la métrique L^{2}. Cependant, nous ne nous servirons pas de cette métrique dans la suite du texte.

Notons

φ_{n} : (Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}), ∥.∥_{gr}) ⟶ (Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}), ∥.∥_{L^{2}(Y_{0})}),

ψ_{n} : (Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}), ∥.∥_{q(J_{t})}) ⟶ (Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}), ∥.∥_{L^{2}(Y_{0})})

et

χ_{n} : (Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}), ∥.∥_{gr}) ⟶ (Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}), ∥.∥_{q(J_{t})})

les applications linéaires entre espaces hermitiens qui coïncident avec l’identité sur les espaces vectoriels sous-jacents, et fixons un réel ϵ strictement positif.

Proposition 3.1.14 Avec ces notations, lorsque n est assez grand, les valeurs caractéristiques des applications φ_{n}, ψ_{n} et χ_{n} sont toutes dans l’intervalle [e^{−nϵ}, e^{nϵ}].

Démonstration : Par transitivité des normes de sous-quotient, si n est assez grand, la métrique ∥.∥_{gr} sur Γ(Y_{0}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Y_{0}}) s’identifie à la métrique ∥.∥_{q(R_{t})} obtenue par passage au quotient par R_{t} (cf. (3.1.23)) de la métrique L^{2}(X) sur Γ(X, (ℑ_{Y_{0}}^{t} + ℑ_{Y})L^{⊗n}) ⊂ Γ(X, L^{⊗n}). Les valeurs caractéristiques de φ_{n} et de ψ_{n} sont donc exactement les valeurs caractéristiques non nulles de R_{t} et de J_{t}, respectivement. Pour encadrer ces dernières il suffit, par le lemme 3.1.11, de majorer celles de R_{t}, ce qui est fait dans le lemme 3.1.12 et de minorer celles de J_{t}, ce qui constitue exactement le résultat du théorème 3.1.10.

Enfin, l’assertion sur les valeurs caractéristiques de χ_{n} résulte de celles sur φ_{n} et ψ_{n} en remarquant que χ_{n} = (ψ_{n})^{−1} ∘ φ_{n} et en remplaçant ϵ par ϵ/2. □

3.1.3 Hauteur d’un sous-schéma lisse avec multiplicité et hauteur du cycle associé

Soient O_{K} l’anneau des entiers d’un corps de nombres K, π : X → Spec O_{K} une prévariété arithmétique kählérienne^{2}, \overline{L} un fibré en droites hermitien positif^{3} sur X. On va d’abord donner ici sous la forme d’un lemme une variante du théorème 8 de [27]^{4}.

Lemme 3.1.15 (Théorème de Hilbert-Samuel tordu pour les pré-variétés arithmétiques) Soit F un faisceau cohérent sur X, localement libre sur la fibre générique X_{K} et muni d’une métrique hermitienne C^{∞} invariante sous l’action de la conjugaison complexe. Si F n’est pas le faisceau nul, notons p + 1 la dimension du support |F| de F (avec p ≥ −1) et

[F] = ∑_{Z=\overline{\{z\}}∈Ass_{p+1}(F)} lg_{O_{X ,z}}(F_{z}).[Z] ∈ Z_{p+1}X

le cycle de dimension maximale associé à F. Alors pour n tendant vers l’infini on a le développement asymptotique

d̂eg(Γ(X, F ⊗ L^{⊗n}), ∥.∥_{L^{2}(X)}) = (ĉ_{1}(\overline{L})^{p+1}.[F])\frac{n^{p+1}}{(p + 1)!} + O(n^{p} log n).

Démonstration : La preuve utilisera des arguments similaires à ceux de la remarque 2.3.10 ; on renvoie à nouveau à [EGA] IV §3 pour la théorie des cycles premiers associés et de la décomposition primaire, ainsi qu’à [Bourbaki] AC ch. IV ou à [41] §6 pour la version affine de cette théorie. Notons

Ass(F) = {Z_{1}, …, Z_{r+s}}

2i.e. un schéma projectif sur Spec O_{K} de fibre générique lisse dont l’ensemble des points complexes est muni d’une structure kählérienne invariante sous l’action de la conjugaison complexe (déf. 1.4.3 et 1.4.4).

3i.e. un fibré en droites ample muni d’une métrique hermitienne C^{∞} de courbure positive invariante sous l’action de la conjugaison complexe (déf 1.4.6).

4à propos de ce théorème de Hilbert-Samuel arithmétique on pourra aussi consulter par exemple [1], [8] ou [57] ; on trouvera aussi une généralisation du théorème au cas singulier dans [68], mais nous n’en aurons pas l’utilité ici.

l’ensemble des cycles premiers associés à F. On supposera que Z_{1}, …, Z_{r} sont maximaux et que Z_{r+1}, …, Z_{r+s} sont immergés. Considérons une décomposition irredondante réduite de F, c’est-à-dire ([EGA] IV 3.2.5 et 3.2.6) la donnée de quotients F_{i} de F (1 ≤ i ≤ r + s) tels que pour tout i on ait

Ass(F_{i}) = {Z_{i}}

et que l’homomorphisme naturel

f : F ⟶ ⨁_{i=1}^{r+s} F_{i}  (3.1.26)

soit injectif. Rappelons aussi ([EGA] IV 3.2.6) que si Z_{i} est une composante maximale de |F|, i.e. si Z_{i} n’est pas immergée, alors F_{i} ne dépend pas du choix de la décomposition primaire ; plus précisément, notant z_{i} le point générique de Z_{i} et i_{z_{i}} l’injection de z_{i} dans X, on a

F_{i} = Im(F ⟶ (i_{z_{i}})_{∗}(i_{z_{i}})^{∗}F)  (3.1.27)

pour i ≤ r. Par compatibilité de la formation des cycles premiers associés à la localisation, les cycles premiers horizontaux de F sont canoniquement en bijection avec les cycles premiers associés au faisceau F_{K} sur la fibre générique X_{K} qui, étant par hypothèse lisse, est réunion disjointe

X_{K} = ∐_{α=1}^{a}(X_{K})^{α}  (3.1.28)

de ses composantes connexes (X_{K})^{α} (qui sont sont des K-schémas projectifs intègres lisses). De (3.1.28) on déduit naturellement la décomposition en somme directe

F_{K} = ⨁_{α=1}^{a} F_{K}|_{(X_{K})^{α}}

et, puisque F_{K} est localement libre, ses cycles premiers associés sont les (X_{K})^{α} sur lesquels F_{K} n’est pas nul. Ainsi aucun d’entre eux n’est immergé, et il en est de même pour les cycles premiers horizontaux associés à F. Quitte à changer l’ordre des numérotations, on pourra donc supposer que les cycles premiers horizontaux de F sont Z_{1}, …, Z_{r′} avec r′ ≤ r, et que les cycles premiers associés à F_{K} sont les (X_{K})^{i} (1 ≤ i ≤ r′) avec

(X_{K})^{i} = (Z_{i})_{K}.

Remarquons alors que la décomposition

F_{K} = ⨁_{i=1}^{r′} F_{K}|_{(X_{K})^{i}} = ⨁_{i=1}^{r′} F_{K}|_{(Z_{i})_{K}}  (3.1.29)

est une décomposition irredondante de F_{K} et, puisque tous les cycles premiers associés à F_{K} sont maximaux, une telle décomposition est unique ; comparant avec la décomposition irredondante de F_{K} obtenue en localisant celle de F donnée par les F_{i}, on trouve

F_{K}|_{(Z_{i})_{K}} = (F_{i})_{K}

pour 1 ≤ i ≤ r′, d’où

(F_{i})_{K} = (F_{i})_{K}|_{(Z_{i})_{K}}.

Ainsi le noyau 𝔎_{i} de la surjection canonique

F_{i} ⟶ F_{i}|_{Z_{i}}

est génériquement nul ; mais on a aussi Ass(𝔎_{i}) ⊂ Ass(F_{i}) = {Z_{i}}, d’où 𝔎_{i} = 0, de telle sorte que

F_{i} = F_{i}|_{Z_{i}}

est naturellement muni d’une structure de O_{Z_{i}}-module.

Pour 1 ≤ i ≤ r′, munissons Z_{i} de sa structure de variété arithmétique kählérienne (cf. déf. 1.4.3 et 1.4.4 ; on rappelle que Z_{i} est plat sur Spec O_{K}) héritée de la structure de prévariété arithmétique kählérienne de X ; rappelons aussi que par hypothèse, le O_{Z_{i}}-module F_{i} = F_{i}|_{Z_{i}} est localement libre sur la fibre générique (Z_{i})_{K} (et de rang constant puisque (Z_{i})_{K} est intègre). Munissant F_{i} et L|_{Z_{i}} des métriques restreintes de celles de F et de L, on est alors dans les conditions d’application du théorème 8 de [27] : avec les définitions de [27], sections 2.1 et 2.5.1, Z_{i} est une variété arithmétique projective intègre et F_{i} un faisceau cohérent hermitien sur Z_{i} et, notant p_{i} + 1 ≥ 1 la dimension de Z_{i} et e_{i} ≥ 1 le rang de (F_{i})_{K}, on a pour n tendant vers l’infini

d̂eg(Γ(Z_{i}, F_{i} ⊗ L^{⊗n}), ∥.∥_{L^{2}(Z_{i})}) = e_{i}(ĉ_{1}(\overline{L})^{p_{i}+1}.[Z_{i}])\frac{n^{p_{i}+1}}{(p_{i} + 1)!} + O(n^{p_{i}} log n). (3.1.30)

Par ailleurs, pour i > r′, notant q_{i} le cardinal du corps résiduel du point fermé ℘_{i} de Spec O_{K} image de Z_{i}, on trouve, au moyen du théorème de Hilbert-Samuel (géométrique) :

d̂egΓ(X , F_{i} ⊗ L^{⊗n}) = \frac{1}{[K : ℚ]} log #Γ(X , F_{i} ⊗ L^{⊗n})

= \frac{1}{[K : ℚ]} lg_{O_{K,℘_{i}}} (Γ(X , F_{i} ⊗ L^{⊗n}) log q_{i}

= rg(F_{i})_{z_{i}}(ĉ_{1}(\overline{L})^{p_{i}+1}.[Z_{i}])\frac{n^{p_{i}+1}}{(p_{i} + 1)!} + O(n^{p_{i}})

(3.1.31)

où z_{i} est le point générique de Z_{i} et p_{i} + 1 ≥ 0 la dimension de Z_{i}.

Localisant sur la fibre générique l’homomorphisme f donné par (3.1.26), on retrouve la décomposition (3.1.29) de F_{K} ; en particulier, on voit que f_{K} est un isomorphisme. Remarquons aussi que, puisque les (Z_{i})_{K} (1 ≤ i ≤ r′) sont des composantes connexes deux à deux disjointes de X_{K}, pour tout plongement σ de K dans ℂ les r′ espaces hermitiens (Γ(Z_{i}, F_{i} ⊗ L^{⊗n})_{σ}, ∥.∥_{L^{2}(Z_{i,σ}(ℂ))}) forment une décompostion en somme directe orthogonale de (Γ(X , F ⊗ L^{⊗n})_{σ}, ∥.∥_{L^{2}(X_{σ}(ℂ))}) qui correspond à la décomposition donnée par f_{σ} :

(Γ(X , F ⊗ L^{⊗n})_{σ}, ∥.∥_{L^{2}(X_{σ}(ℂ))}) = ⨁_{1≤i≤r′}^{⊥}(Γ(Z_{i}, F_{i} ⊗ L^{⊗n})_{σ}, ∥.∥_{L^{2}(Z_{i,σ}(ℂ))}).  (3.1.32)

Notons K = ker f et C = coker f. Par la discussion qui précède, on a K_{K} = C_{K} = 0. En outre, pour 1 ≤ i ≤ r (i.e. lorsque Z_{i} n’est pas immergée), notons z_{i} le point générique de Z_{i}. Par (3.1.27) on a F_{z_{i}} = (F_{i})_{z_{i}} ; d’autre part, pour j ≠ i, 1 ≤ j ≤ r + s, F_{j} est supporté par la partie fermée Z_{j} de X qui ne contient pas z_{i}, d’où (F_{j})_{z_{i}} = 0. Ainsi l’homomorphisme localisé f_{z_{i}} est un isomorphisme et le support de K (resp. de C) ne contient aucun point générique d’un cycle associé maximal de F, donc a fortiori ne contient aucun point générique d’un cycle associé de dimension maximale p + 1. Autrement dit K et C sont supportés par des fermés génériquement vides et de dimension au plus p, de telle sorte que par le théorème de Hilbert-Samuel (géométrique) on a

d̂egK = O(n^{p}) et d̂egC = O(n^{p}).  (3.1.33)

Mettant ensemble (3.1.26), (3.1.30), (3.1.31), (3.1.32) et (3.1.33) on trouve

d̂eg(Γ(X , F ⊗ L^{⊗n}), ∥.∥_{L^{2}(X)}) = ∑_{1≤i≤r′} d̂eg(Γ(Z_{i}, F_{i} ⊗ L^{⊗n}), ∥.∥_{L^{2}(Z_{i})})

+ ∑_{r′<i≤r+s} d̂egΓ(X , F_{i} ⊗ L^{⊗n}) + O(n^{p})

= ∑_{1≤i≤r+s} rg(F_{i})_{z_{i}}(ĉ_{1}(\overline{L})^{p_{i}+1}.[Z_{i}])\frac{n^{p_{i}+1}}{(p_{i} + 1)!} + O(n^{p} log n).

Ne conservant dans cette dernière somme que les termes correspondant aux cycles de dimension maximale (i.e. tels que p_{i} = p) et intégrant les autres dans le O(n^{p} log n), on obtient le résultat souhaité. □

On peut maintenant énoncer le théorème. Comme précédemment on considère une prévariété arithmétique kählérienne X munie d’un fibré en droites hermitien positif ; on se donne alors un sous-schéma fermé Σ de X plat sur Spec O_{K} dont la fibre générique Σ_{K} est lisse avec multiplicité. Notons (Σ^{réd})^{(i)} (1 ≤ i ≤ f) les composantes irréductibles de Σ^{réd} ; on supposera (Σ^{réd})^{(i)} de dimension générique égale à p pour 1 ≤ i ≤ f′ et strictement inférieure à p pour f′ < i ≤ f. Par hypothèse le cône C_{Σ_{K}^{réd}}Σ_{K} est défini sur Σ_{K}^{réd} par un faisceau d’algèbres localement libres, dont le rang sur (Σ^{réd})^{(i)} sera noté e_{i}. Notons enfin [Σ] = ∑_{i=1}^{f′} e_{i}[(Σ^{réd})^{(i)}] ∈ Z_{p+1}(X) le cycle de dimension maximale associé à Σ.

Théorème 3.1.16 Sous ces hypothèses, lorsque n tend vers l’infini, on a

\begin{aligned}h^{(n)}(Σ) & = ∑_{i=1}^{f′} \frac{e_{i}}{(p + 1)!}(ĉ_{1}(\overline{L}^{⊗n})^{p+1}.[(Σ^{réd})^{(i)}]) + o(n^{p+1}) \\ & = \frac{n^{p+1}}{(p + 1)!}.h\overline{L}([Σ]) + o(n^{p+1}). \end{aligned}  (3.1.34)

Démonstration : Notons ℜ le nilradical de O_{Σ}. On a une filtration décroissante finie du O_{K}-module Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) donnée par les Γ(Σ, ℜ^{t}L^{⊗n}|_{Σ}). Par (3.1.25), si n est assez grand, les gradués associés admettent l’identification naturelle

Γ(Σ, ℜ^{t}L^{⊗n}|_{Σ})/Γ(Σ, ℜ^{t+1}L^{⊗n}|_{Σ}) = Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}}).

Quitte à supposer n encore plus grand, on peut supposer l’application de restriction

Γ(X , L^{⊗n}) ⟶ Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})

surjective, munir Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) des métriques quotient, et Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}}) des métriques de sous-quotient correspondantes, que nous noterons ∥.∥_{gr}. Alors, par définition des hauteurs de sous-schéma et par additivité du degré d’Arakelov, on a

h^{(n)}(Σ) = ∑_{t≥0} d̂eg(Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}}), ∥.∥_{gr}).  (3.1.35)

Par ailleurs, la restriction à Σ^{réd} des structures hermitiennes de X fait de Σ une prévariété arithmétique (au sens de la définition 1.4.3). En outre, pour tout plongement σ de K dans ℂ, par les constructions analogues à celles précédant l’énoncé du théorème 3.1.10 appliquées à X = X_{σ} et Y = Σ_{σ}, le fibré vectoriel ((ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}})_{σ} sur Σ_{σ}^{réd} dispose naturellement d’une métrique hermitienne. Ceci permet alors de munir Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1})⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}})_{σ} de la métrique ∥.∥_{L^{2}(Σ_{σ}^{réd})} obtenue par intégration sur Σ_{σ}^{réd}.

Notons

φ = φ_{n}^{(t)} : (Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}}), ∥.∥_{gr})
⟶ (Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}}), ∥.∥_{L^{2}(Σ^{réd})})

l’application entre O_{K}-modules hermitiens qui est égale à l’identité sur les O_{K}-modules sous-jacents. On a alors

d̂eg(Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}}), ∥.∥_{gr})

= d̂eg(Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}}), ∥.∥_{L^{2}(Σ^{réd})}) + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ} log ∥ ⋀^{max} φ_{σ}∥.

(3.1.36)

Par la proposition 3.1.14, pour tout ϵ > 0, il existe un entier n_{ϵ} tel que pour tout n > n_{ϵ} les valeurs caractéristiques de φ_{σ} soient toutes dans l’intervalle [e^{−nϵ}, e^{nϵ}]. On a alors

|log ∥ ⋀^{max} φ_{σ}∥| ≤ ϵ.n rg Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}}).

Par ailleurs, par le théorème de Hilbert-Samuel classique, rg Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}}) est un polynôme en n de degré (au plus) p. Ceci montre que

log ∥ ⋀^{max} φ_{σ}∥ =_{n→∞} o(n^{p+1}).  (3.1.37)

Appliquant le lemme 3.1.15 on trouve alors

d̂eg(Γ(Σ^{réd}, (ℜ^{t}/ℜ^{t+1}) ⊗ L^{⊗n}|_{Σ^{réd}}), ∥.∥_{L^{2}(Σ^{réd})})

=_{n→∞} ∑_{i=1}^{f′} \frac{e_{t,i}}{(p + 1)!}(ĉ_{1}(\overline{L}^{⊗n})^{p+1}.[(Σ^{réd})^{(i)}]) + o(n^{p+1})

où e_{t,i} est le rang du fibré vectoriel (ℜ^{t}/ℜ^{t+1})_{K} sur (Σ_{K}^{réd})^{(i)}. Combiné avec (3.1.35), (3.1.36) et (3.1.37), ceci termine la démonstration du théorème. □

3.2 Sous-schéma défini par l’annulation d’une section d’un fibré vectoriel transverse à la section nulle

En restreignant les hypothèses du théorème 3.1.16 on peut obtenir un meilleur contrôle du terme d’erreur o(n^{p+1}) dans la formule (3.1.34).

Pour ce faire, on utilisera le théorème d’extension L^{2} d’Ohsawa-Takegoshi-Manivel, au sujet duquel on pourra consulter [19] et [40], sous la forme suivante.

Lemme 3.2.1 Soient X une variété analytique complexe projective lisse de dimension N munie d’une forme de Kähler ω, (L, ∥.∥) un fibré en droites hermitien positif sur X, et Y une sous-variété de X définie par l’annulation d’une section globale s partout transverse à la section nulle d’un fibré vectoriel E de rang N − p sur X (ceci implique en particulier que Y est lisse de dimension p). Alors il existe une constante M > 0 telle que, pour tout entier n assez grand et pour toute section h ∈ Γ(Y, L^{⊗n}|_{Y}), il existe une section H ∈ Γ(X, L^{⊗n}) telle que

h = H|_{Y}

et

∥H∥_{L^{2}(X)} ≤ M∥h∥_{L^{2}(Y)}.

Démonstration : On cherche à se mettre dans les conditions d’application du théorème 1 de [40]. Choisissons une métrique hermitienne sur E. Notons P = Proj Sym E^{∨} le fibré en espace projectif des droites de E, π : P → X la projection naturelle et σ la section du fibré en droites tautologique O_{E^{∨}}(−1) définie par s au-dessus de l’ouvert π^{−1}(X ∖ Y) de P. Notons aussi K_{X} = det T X^{∨} et K_{Y} = det T Y^{∨} les fibrés en droites canoniques sur X et Y, respectivement. Le fibré O_{E^{∨}}(−1) étant muni des métriques héritées de E^{∨}, la forme c_{1}(O_{E^{∨}}(−1)) est négative sur les fibres de π, de telle sorte que, puisque ω est positive, quitte à multiplier ω par une constante (ce qui ne change pas la conclusion du lemme), on peut supposer

π^{∗}ω ≥ c_{1}(O_{E^{∨}}(−1)).

Par ailleurs, si α > 0 est un réel suffisamment petit, la forme απ^{∗}ω + c_{1}(O_{E^{∨}}(−1)) est négative sur les fibres de π, de telle sorte que pour tout entier n assez grand, par l’hypothèse de positivité sur L on a

\frac{1}{N − p}π^{∗}c_{1}(L^{⊗n} ⊗ K_{X}^{∨}) ≥ απ^{∗}ω + c_{1}(O_{E^{∨}}(−1)).

Enfin soit X′ le complémentaire dans X d’un diviseur ample transverse à Y. On peut alors appliquer le théorème 1 de [40] (avec X = X′ et L = L^{⊗n} ⊗ K_{X}^{∨}).

Soient donc h ∈ Γ(Y, L^{⊗n}|_{Y}) et g ∈ Γ(Y, K_{Y} ⊗ (det E)^{−1} ⊗ K_{X}^{−1} ⊗ L^{⊗n}|_{Y}) tel que

h = g ⊗ ∧^{N−p}ds

(comparer avec le paragraphe 1.2 de [40]). On a alors

∥g∥_{L^{2}(Y)} ≤ C_{1}∥h∥_{L^{2}(Y)}

avec C_{1} = (inf_{Y} ∥ ∧^{N−p} ds∥)^{−1}. Par le théorème 1 de [40] il existe une section H de L^{⊗n} holomorphe sur X′ telle que

∫_{X′} \frac{∥H∥^{2}}{∥σ∥^{2(N−p−1)}(1 + ∥σ∥^{2})^{2}} dμ_{X} ≤ M′ ∫_{Y ∩X′} ∥g∥^{2}dμ_{Y}

où M′ est une constante ne dépendant pas de n. Puisque X est normale, la section H se prolonge naturellement de X′ à X tout entière, et le lemme est démontré avec M = ∥σ∥_{L^{∞}(X)}^{N−p−1}(1 + ∥σ∥_{L^{∞}(X)}^{2})C_{1}\sqrt{M′}. □

Remarque 3.2.2 Il n’est pas vrai en général qu’une sous-variété lisse d’une variété lisse sur ℂ est le schéma des zéros d’une section d’un fibré vectoriel transverse à la section nulle. On va donner un contre-exemple reposant sur la notion de sous-canonicité, introduite par Serre (à ce sujet voir par exemple [4] section 4.(a)). Soient X un schéma et Y un sousschéma défini par l’annulation d’une section s d’un fibré vectoriel E sur X. Par définition le faisceau d’idéaux ℑ_{Y} définissant Y est l’image de l’application s : E^{∨} ⟶ O_{X}. On a donc une surjection E^{∨} ⟶ ℑ_{Y} dont la restriction à Y donne une surjection

E^{∨}|_{Y} ⟶^{s} ℑ_{Y} /ℑ_{Y}^{2} = N_{Y,X}^{∨}.

Dire que s est transverse à la section nulle signifie que cette dernière surjection est un isomorphisme. Faisons maintenant l’hypothèse supplémentaire que X et Y sont des variétés lisses sur un corps k. Sur Y on a la suite exacte de fibrés vectoriels

0 ⟶ N_{Y,X}^{∨} ⟶ (T_{X}^{∨})|_{Y} ⟶ T_{Y}^{∨} ⟶ 0,

de telle sorte que

K_{Y} = det T_{Y}^{∨} ≃ (det T_{X}^{∨}|_{Y}) ⊗ (det N_{Y,X}^{∨})^{−1}
≃ ((det T_{X}^{∨}) ⊗ (det E^{∨})^{−1}) |_{Y}

se prolonge en un fibré en droites sur X (on dit alors que Y est sous-canonique).

Considérons par exemple k = ℂ, X = ℙ^{3} et Y la cubique gauche, c’est-à-dire l’image du plongement de Veronese

ℙ^{1} ⟶ ℙ^{3}.

On a Y ≃ ℙ^{1} donc deg_{Y} K_{Y} = 2g_{Y} − 2 = −2. Or si K_{Y} se prolongeait en un fibré en droites L sur X, deg_{Y} K_{Y} = deg_{Y} L|_{Y} = (c_{1}(L).[Y]) serait multiple de deg[Y] = 3. Ainsi Y n’est pas sous-canonique donc, a fortiori, la cubique gauche dans ℙ^{3} n’est pas le schéma des zéros d’une section globale d’un fibré vectoriel de rang 2.

Revenons maintenant au calcul de hauteurs de sous-schémas. On supposera que X est une pré-variété arithmétique de dimension relative N sur Spec O_{K} munie de métriques kählériennes et d’un fibré en droites hermitien positif \overline{L}. Soit Σ un sous-schéma réduit de X, plat sur Spec O_{K}, dont la fibre générique Σ_{K} est définie par l’annulation d’une section globale s partout transverse à la section nulle d’un fibré vectoriel E de rang N − p sur X_{K}.

Proposition 3.2.3 Sous ces hypothèses, pour tout entier n assez grand, on a l’encadrement

p/4.\frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{p!}n^{p} log n + O(n^{p}) ≤

h^{(n)}(Σ) − \frac{n^{p+1}}{(p + 1)!}.h\overline{L}([Σ])

≤ (N + p/4)\frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{p!}n^{p} log n + O(n^{p}).

où h\overline{L}([Σ]) = (ĉ_{1}(\overline{L})^{p+1}.[Σ]) et deg(L_{K}|_{Σ_{K}}) = (c_{1}(L_{K})^{p}.[Σ_{K}]).

Démonstration : Pour tout plongement σ de K dans ℂ, on dispose de deux métriques sur Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{σ}.

– D’une part, la restriction à Σ des structures hermitiennes de X fait de Σ une prévariété arithmétique (au sens de la définition 1.4.3), et on peut munir Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{σ} de la métrique ∥.∥_{L^{2}(Σ_{σ})}.

– D’autre part, si n est assez grand, l’application de restriction

Γ(X , L^{⊗n}) ⟶ Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})

est surjective, et on peut munir Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{σ} de la métrique ∥.∥_{q,σ} obtenue par passage au quotient de la métrique ∥.∥_{L^{2}(X_{σ})} sur Γ(X , L^{⊗n})_{σ}.

Notons

φ : (Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{q}) ⟶ (Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{L^{2}(Σ)})

l’application entre O_{K}-modules hermitiens qui est égale à l’identité sur les O_{K}-modules sous-jacents.

Par définition des hauteurs de sous-schémas, on a

h^{(n)}(Σ) = d̂eg_{n}(Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{q})

= d̂eg_{n}(Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{L^{2}(Σ)}) + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ} log ∥ ⋀^{max} φ_{σ}∥.

Par le théorème 8 de [27] (ou par le lemme 3.1.15) on a

d̂eg_{n}(Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{L^{2}(Σ)}) =_{n→∞} \frac{n^{p+1}}{(p + 1)!}.h\overline{L}([Σ]) + \frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{4(p − 1)!}n^{p} log n + O(n^{p}).

Par le lemme 3.1.12 appliqué avec t = 0, il existe une constante C telle que, pour tout entier n assez grand, les valeurs caractéristiques de φ_{σ} soient toutes inférieures à Cn^{N}. Puisque le rang de Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) est un polynôme de terme principal \frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{p!}n^{p}, on trouve bien

\frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ} log ∥ ⋀^{max} φ_{σ}∥ ≤ N.\frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{p!}n^{p} log n + O(n^{p})

ce qui démontre l’une des inégalités cherchées.

Par ailleurs, par le lemme 3.2.1, il existe une constante M telle que, pour tout entier n assez grand, les valeurs caractéristiques non nulles de φ_{σ} soient toutes supérieures à M. Comme précédemment ceci implique

\frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ} log ∥ ⋀^{max} φ_{σ}∥ ≥ O(n^{p}),

ce qui démontre l’autre inégalité. □

Réunion de deux sous-espaces linéaires d’un espace projectif

4.1 Préliminaires

4.1.1 Rappels sur les nombres de Bernoulli et la formule sommatoire d’Euler-Maclaurin

Pour un exposé plus complet de tout ce qui est traité dans ce paragraphe, on pourra consulter [Bourbaki] FVR ch. VI.

On définit une suite de polynômes à coefficients rationnels, appelés polynômes de Bernoulli, par la relation de récurrence suivante : B_{0} est le polynôme constant égal à 1, et pour tout n ≥ 1, B_{n−1} étant connu, B_{n} est l’unique polynôme vérifiant

B_{n}′ = nB_{n−1}  (4.1.1)

et

∫_{0}^{1} B_{n} = 0.  (4.1.2)

On vérifie aisément qu’alors, pour tout n, le polynôme B_{n} est de degré n et de coefficient dominant égal à 1. Par exemple, on a

B_{0}(X) = 1,  B_{1}(X) = X − \frac{1}{2},  B_{2}(X) = X^{2} − X + \frac{1}{6}

B_{3}(X) = X^{3} − \frac{3}{2}X^{2} + \frac{1}{2}X, B_{4}(X) = X^{4} − 2X^{3} + X^{2} − \frac{1}{30}.

On définit le n-ième nombre de Bernoulli comme le terme constant du n-ième polynôme de Bernoulli :

b_{n} = B_{n}(0) ∈ ℚ.

Alors, on déduit de (4.1.1) l’égalité

B_{n}(X) = ∑_{m=0}^{n} \binom{n}{m}b_{m}X^{n−m},  (4.1.3)

valable pour tout n, et la condition (4.1.2) se traduit par la relation

b_{n} = −\frac{1}{n + 1} ∑_{k=0}^{n−1} \binom{n + 1}{k}b_{k}  (4.1.4)

qui permet de calculer les nombres de Bernoulli par récurrence.

On remarquera que les polynômes C_{n}(X) = (−1)^{n}B_{n}(1 − X) vérifient les mêmes conditions de récurrence que les polynômes de Bernoulli. Ces deux suites de polynômes sont donc égales ; notamment, pour tout n on a

B_{n}(0) = (−1)^{n}B_{n}(1).

Par ailleurs, la condition (4.1.2) implique qu’on doit avoir

B_{n}(0) = B_{n}(1)  (pour tout n ≥ 2).  (4.1.5)

Ceci implique que b_{n} = B_{n}(0) est nul pour n impair supérieur ou égal à 3.

Soit maintenant f une fonction de classe C^{∞} sur l’intervalle [0, 1]. La relation (4.1.1) permet d’effectuer des intégrations par parties successives pour calculer l’intégrale ∫_{0}^{1} f. On trouve en effet

∫_{0}^{1} f = ∫_{0}^{1} B_{0}f

= [B_{1}f]_{0}^{1} − ∫_{0}^{1} B_{1}f′

= [B_{1}f − \frac{1}{2}B_{2}f′]_{0}^{1} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} B_{2}f′′

= …

soit, pour tout entier m ≥ 1 (en utilisant l’annulation des nombres de Bernoulli d’indice impair)

∫_{0}^{1} f = \frac{1}{2}(f(0) + f(1)) − ∑_{k=1}^{m} \frac{b_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k−1)}(1) − f^{(2k−1)}(0)) − \frac{1}{(2m + 1)!} ∫_{0}^{1} B_{2m+1}f^{(2m+1)}.

Pour tout entier n ≥ 2 notons désormais B̃_{n} l’unique fonction réelle 1-périodique égale à B_{n} sur l’intervalle [0, 1] (remarquons que B̃_{n} est bien définie et continue par (4.1.5)). Soient alors μ < ν deux entiers relatifs et f une fonction C^{∞} sur l’intervalle [μ, ν]. En sommant les égalités obtenues par application du calcul d’intégrales précédent aux translatées de f, on trouve (formule sommatoire d’Euler-Maclaurin) :

\begin{matrix}∑_{j=μ}^{ν} f(j) = ∫_{μ}^{ν} f(t) & dt + \frac{1}{2}(f(μ) + f(ν)) + \\ + ∑_{k=1}^{m} \frac{b_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k−1)}(ν) − f^{(2k−1)}(μ)) + \frac{1}{(2m + 1)!} ∫_{μ}^{ν} { \atop B_{2m+1}}f^{(2m+1)}. \end{matrix} (4.1.6)

4.1.2 Un calcul de série

L’objet de ce paragraphe est d’établir le lemme suivant.

Lemme 4.1.1 Soient μ ≥ 0 et m > μ/2 deux entiers. Alors on a le développement asymptotique

∑_{j=1}^{n} j^{μ} log j =_{n→∞} \frac{1}{μ + 1}n^{μ+1} log n − \frac{1}{(μ + 1)^{2}} n^{μ+1} + \frac{1}{2}n^{μ} log n

+ ∑_{k=1}^{m} \frac{b_{2k}}{2k} (\binom{μ}{2k − 1}n^{μ−2k+1} log n − ∑_{d=1}^{2k−1} \frac{(−1)^{d}}{d} \binom{μ}{2k − 1 − d}n^{μ−2k+1})

− ζ′(−μ) + O(n^{μ−2m})

où ζ′(−μ) est la valeur en −μ du prolongement analytique de la dérivée de la fonction zêta de Riemann.

Remarque 4.1.2 On notera que le coefficient \binom{μ}{2k−1} est nul pour 2k − 1 > μ. Le développement asymptotique ne comporte donc pas de terme en n^{l} log n pour l < 0.

Remarque 4.1.3 De par ce lemme on verra apparaître les valeurs aux entiers négatifs de la dérivée de la fonction zêta dans les développements asymptotiques de hauteurs de sousespaces linéaires. Il pourra être intéressant de comparer comment ces nombres interviennent aussi dans le théorème de Riemann-Roch arithmétique de [27], via les calculs de [26] et [63]. Toutefois, on remarquera que seules figurent dans [27] les valeurs aux entiers impairs, alors qu’ici on pourra aussi voir apparaître les valeurs aux entiers pairs, comme le montrera le calcul de h^{(n)}(ℙ^{2}) donné dans l’exemple 4.2.7.

Démonstration : Pour tout nombre complexe s définissons une fonction

f_{s} : ℝ_{>0} ⟶ ℂ

par

f_{s}(x) = x^{s} log x = e^{s log x} log x.

On vérifie immédiatement que

∫_{1}^{x} f_{s} = \frac{1}{s + 1}x^{s+1} log x − \frac{1}{(s + 1)^{2}} x^{s+1} + \frac{1}{(s + 1)^{2}}  (4.1.7)

et, par la formule du binôme, que pour tout l

\frac{1}{l!}f_{s}^{(l)}(x) = \binom{s}{l}x^{s−l} log x − ∑_{d=1}^{l} \frac{(−1)^{d}}{d} \binom{s}{l − d}x^{s−l}.  (4.1.8)

En insérant (4.1.7) dans la formule sommatoire d’Euler-Maclaurin (4.1.6) on trouve

\begin{aligned}∑_{j=1}^{n} f_{s}(j) = \frac{1}{s + 1}n^{s+1} & log n − \frac{1}{(s + 1)^{2}} n^{s+1} + \frac{1}{(s + 1)^{2}} + \frac{1}{2}n^{s} log n + \\ & + ∑_{k=1}^{m} \frac{b_{2k}}{(2k)!}(f_{s}^{(2k−1)}(n) − f_{s}^{(2k−1)}(1)) + \frac{1}{(2m + 1)!} ∫_{1}^{n} { \atop B_{2m+1}}f_{s}^{(2m+1)} \end{aligned} (4.1.9)

ceci étant valable pour tout s.

Pour Re t > 1 on a

ζ(t) = ∑_{j≥1} j^{−t} = ∑_{j≥1} e^{−t log j}

et

ζ′(t) = − ∑_{j≥1} e^{−t log j} log j,

d’où pour Re s < −1

∑_{j≥1} f_{s}(j) = −ζ′(−s).

Ainsi, supposons Re s < −1 et faisons tendre n vers l’infini dans (4.1.9). Par (4.1.8), les termes f_{s}^{(l)}(n) tendent vers 0. En outre, la fontion { \atop B_{2m+1}} est continue et 1-périodique donc bornée, d’où l’on déduit, encore par (4.1.8), que l’intégrale ∫_{1}^{∞} { \atop B_{2m+1}}f_{s}^{(2m+1)} converge. On trouve alors finalement

−ζ′(−s) = \frac{1}{(s + 1)^{2}} − ∑_{k=1}^{m} \frac{b_{2k}}{(2k)!}f_{s}^{(2k−1)}(1) + \frac{1}{(2m + 1)!} ∫_{1}^{∞} { \atop B_{2m+1}}f_{s}^{(2m+1)}.  (4.1.10)

Remarquons (à nouveau par (4.1.8)) que l’intégrale ∫_{1}^{∞} { \atop B_{2m+1}}f_{s}^{(2m+1)} est encore convergente pour Re s < 2m, et qu’alors, par unicité du prolongement analytique, l’égalité (4.1.10) reste valable pour Re s < 2m.

On peut alors prendre s = μ et terminer la démonstration du lemme en injectant (4.1.8) et (4.1.10) dans (4.1.9) et en remarquant, grâce à (4.1.8) et à l’annulation de \binom{μ}{2m+1}, qu’on a bien

∫_{1}^{∞} { \atop B_{2m+1}}f_{μ}^{(2m+1)} − ∫_{1}^{n} { \atop B_{2m+1}}f_{μ}^{(2m+1)} = ∫_{n}^{∞} { \atop B_{2m+1}}f_{μ}^{(2m+1)} =_{n→∞} O(n^{μ−2m}).

□

Remarque 4.1.4 Pour μ = 0, le lemme 4.1.1 donne

∑_{j=1}^{n} log j =_{n→∞} n log n − n + \frac{1}{2} log n − ζ′(0) + O(n^{−1}).

En comparant ceci avec la formule de Stirling on retrouve la relation bien connue

ζ′(0) = −\frac{1}{2} log(2π).

4.2 Hauteurs schématiques d’un sous-espace linéaire

On se propose ici de donner un développement asymptotique des hauteurs schématiques d’un sous-espace linéaire d’un espace projectif. Pour ce faire, on commence (au premier paragraphe) par donner un tel développement asymptotique dans le cas particulier des hauteurs de l’espace projectif standard considéré comme sous-schéma de lui-même, c’est-à-dire pour le degré d’Arakelov des Γ(ℙ^{N}, O(n)) munis des métriques L^{2}. L’existence de ce développement asymptotique peut être établie essentiellement de deux façons. La première méthode consisterait à utiliser le théorème de Riemann-Roch arithmétique de [27] et à développer l’expression de la torsion analytique, suivant par exemple [7]. La deuxième méthode, celle qui sera utilisée ici, procède par un calcul élémentaire direct. Il s’agit essentiellement d’approfondir les formules obtenues dans [38] proposition 3.

4.2.1 Hauteurs de l’espace projectif standard considéré comme sous-schéma de lui-même

Notons ℙ^{N} l’espace projectif standard de dimension relative N sur ℤ muni de sa structure de variété arithmétique mesurée usuelle, et O(1) le fibré en droites universel sur ℙ^{N} muni des métriques standard. Plus précisément, ℙ^{N} est l’espace projectif des quotients localement libres de rang un du ℤ-fibré vectoriel hermitien libre \overline{ℤ^{N+1}}, dont la construction est donnée à la fin du paragraphe 1.4.2. Considérant ℙ^{N} comme sous-schéma de lui-même, on note

η_{N}^{(n)} = h^{(n)}(ℙ^{N})  (4.2.1)

sa n-ième hauteur schématique, relativement au fibré \overline{O(1)}.

Lemme 4.2.1 On a

2.η_{N}^{(n)} = \binom{n + N}{N}(log(n + N)! − log N!) − (N + 1)S

où

S = ∑_{j=1}^{n} \binom{n − j + N}{N} log j.

Démonstration : Par définition des hauteurs de sous-schémas, ℙ^{N} considéré comme sous-schéma de lui-même étant défini par le faisceau d’idéaux nul, on a

h^{(n)}(ℙ^{N}) = d̂eg(Γ(ℙ^{N}, O(n)), ∥.∥_{L^{2}}).

Par les résultats des paragraphes 1.3.1 et 1.4.2, Γ(ℙ^{N}, O(n)) s’identifie au ℤ-module libre des polynômes homogènes de degré n en les variables X_{0}, …, X_{N} et, après plongement de ℤ dans ℂ, les monômes X^{I} (pour |I| = n) forment une base orthogonale de Γ(ℙ^{N}, O(n))_{ℂ}. Par le lemme 1.3.2 on a alors

2.η_{N}^{(n)} = − ∑_{|I|=n} log ∥X^{I}∥^{2} = − ∑_{i_{0}+···+i_{N} =n} log \frac{i_{0}! … i_{N}!.N!}{(n + N)!}.

Remarquons que pour tout k ∈ {1, …, n} et pour tout l ∈ {0, …, N} le nombre de (N +1)- uplets (i_{0}, …, i_{N}) tels que i_{l} = k et i_{0} + ⋯ + i_{N} = n est égal à \binom{n−k+N−1}{N−1}, d’où

2.η_{N}^{(n)} = \binom{n + N}{N}(log(n + N)! − log N!) − (N + 1)S

avec

S = ∑_{k=1}^{n} \binom{n − k + N − 1}{N − 1} log k!.

En écrivant log k! = ∑_{j=1}^{k} log j et en utilisant la relation ∑_{k=j}^{n} \binom{n−k+N−1}{N−1} = \binom{n−j+N}{N}, on trouve l’expression souhaitée. □

Introduisons maintenant les nombres harmoniques

H_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

et les nombres de Stoll

σ_{N} = \frac{1}{2} ∑_{n=1}^{N} H_{n} = \frac{1}{2} ∑_{n=1}^{N} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \frac{1}{2} ∑_{k=1}^{N}(N + 1 − k)\frac{1}{k}
= \frac{N + 1}{2}H_{N} − \frac{N}{2}  (4.2.2)
= \frac{N + 1}{2}(H_{N+1} − 1).  (4.2.3)

Il est bien connu (voir p. ex. [11] lemme 3.3.1) qu’on a

σ_{N} = h\overline{O(1)}(ℙ^{N}).  (4.2.4)

Lemme 4.2.2 On a

∑_{μ=0}^{N} \frac{(−1)^{μ}}{μ + 1} \binom{N}{μ} = \frac{1}{N + 1}  (4.2.5)

et

∑_{μ=0}^{N} \frac{(−1)^{μ}}{(μ + 1)^{2}} \binom{N}{μ} = \frac{H_{N+1}}{N + 1}.  (4.2.6)

Démonstration (simplifiée par rapport à la preuve originale de l’auteur grâce à une remarque de C. Soulé) : La première somme peut aussi s’écrire

∫_{0}^{1}(1 − x)^{N}dx,

ce qui démontre (4.2.5).

De la même façon la deuxième somme vaut

∫_{0}^{1} \frac{1}{x} ∫_{0}^{x}(1 − y)^{N}dydx = \frac{1}{N + 1} ∫_{0}^{1} \frac{1 − (1 − x)^{N+1}}{x} dx

= \frac{1}{N + 1} ∫_{0}^{1} \frac{1 − t^{N+1}}{1 − t} dt

= \frac{1}{N + 1} ∫_{0}^{1}(1 + t + ⋯ + t^{N})dt

(où l’on a posé t = 1 − x), ce qui démontre (4.2.6). □ On peut alors énoncer le résultat suivant :

Proposition 4.2.3 Pour tout entier r > 0, les hauteurs schématiques de ℙ^{N} admettent un développement asymptotique

η_{N}^{(n)} =_{n→∞} a_{N+1}n^{N+1} + b_{N}n^{N} log n + a_{N}n^{N} + b_{N−1}n^{N−1} log n + ⋯ + b_{0} log n + a_{0} +
+ c_{−1}n^{−1} + c_{−2}n^{−2} + ⋯ + c_{−r}n^{−r} + O(n^{−r−1})

avec

a_{N+1} = \frac{σ_{N}}{(N + 1)!}  (4.2.7)
b_{N} = \frac{1}{4(N − 1)!}  (4.2.8)
a_{N} = \frac{1}{2N!}((N + 1)σ_{N} − log N! − \frac{N}{2} log 2π)  (4.2.9)

et plus généralement, pour 0 ≤ i ≤ N :

a_{i} ∈ ℚ + ℚ log N! + ℚζ′(0) + ⋯ + ℚζ′(−N + i)  (4.2.10)
b_{i} ∈ ℚ  (4.2.11)

et enfin, pour tout i > 0 :

c_{−i} ∈ ℚ.  (4.2.12)

Démonstration : Introduisons les nombres de Stirling de première espèce

s_{n,k} ∈ ℤ (n ≥ 0, 0 ≤ k ≤ n)

définis par la formule (cf. [2] §III.2)

\begin{aligned}[x]_{n} & = n!\binom{x}{n} = x(x − 1) … (x − n + 1) \\ & = ∑_{k=0}^{n} s_{n,k}x^{k}. \end{aligned}

En particulier on a

s_{n,0} = 0,  s_{n,1} = (−1)^{n−1}(n − 1)!,  (4.2.13)
s_{n,2} = (−1)^{n}(n − 1)!H_{n−1},  (4.2.14)

s_{n,n−1} = −\frac{n(n − 1)}{2}  (4.2.15)

et

s_{n,n} = 1.  (4.2.16)

Par le lemme 4.2.1 on a

2N!η_{N}^{(n)} = [n + N]_{N}(log(n + N)! − log N!) − (N + 1)!S  (4.2.17)

avec

N!S = ∑_{j=1}^{n}[n − j + N]_{N} log j

= ∑_{j=1}^{n} ∑_{λ=0}^{N} s_{N,λ}(n − j + N)^{λ} log j

= ∑_{λ=0}^{N} ∑_{μ=0}^{λ} ∑_{ν=0}^{λ−μ}(−1)^{μ}s_{N,λ} \frac{λ!}{μ!ν!(λ − μ − ν)!}N^{ν}n^{λ−μ−ν} ∑_{j=1}^{n} j^{μ} log j.

(4.2.18)

En utilisant le lemme 4.1.1 dans (4.2.18), en reportant cette expression dans (4.2.17) et en utilisant la formule de Stirling pour développer le terme log(n + N)! de (4.2.17), on obtient immédiatement (4.2.10), (4.2.11) et (4.2.12).

Pour obtenir (4.2.7), (4.2.8) et (4.2.9), il faut calculer explicitement les premiers termes du développement de (4.2.17), modulo O(n^{N−1} log n).

On a

n^{λ−μ−ν} ∑_{j=1}^{n} j^{μ} log j = O(n^{λ−ν+1} log n)

donc on peut ne conserver dans (4.2.18) que les termes

A : λ = N, ν = 0
B : λ = N, ν = 1

et

C : λ = N − 1, ν = 0,

autrement dit

N!S = A + B + C + O(n^{N−1} log n)

avec, compte tenu de (4.2.15) et (4.2.16) :

A = ∑_{μ=0}^{N}(−1)^{μ}\binom{N}{μ}n^{N−μ} ∑_{j=1}^{n} j^{μ} log j

= ∑_{μ=0}^{N}(−1)^{μ}\binom{N}{μ}n^{N−μ}(\frac{1}{μ + 1}n^{μ+1} log n − \frac{1}{(μ + 1)^{2}} n^{μ+1} + \frac{1}{2}n^{μ} log n)

− n^{N}ζ′(0) + O(n^{N−1} log n),

B = ∑_{μ=0}^{N−1}(−1)^{μ}\binom{N}{μ}N(N − μ)n^{N−μ−1} ∑_{j=1}^{n} j^{μ} log j

= ∑_{μ=0}^{N−1}(−1)^{μ}\binom{N}{μ}N(N − μ)n^{N−μ−1}(\frac{1}{μ + 1}n^{μ+1} log n − \frac{1}{(μ + 1)^{2}} n^{μ+1}) + O(n^{N−1} log n)

et

C = ∑_{μ=0}^{N−1}(−1)^{μ+1} \frac{N(N − 1)}{2}\binom{N − 1}{μ}n^{N−μ−1} ∑_{j=1}^{n} j^{μ} log j

= ∑_{μ=0}^{N−1}(−1)^{μ+1} \frac{N(N − 1)}{2}\binom{N − 1}{μ}n^{N−μ−1}(\frac{1}{μ + 1}n^{μ+1} log n − \frac{1}{(μ + 1)^{2}} n^{μ+1}) + O(n^{N−1} log n).

Ainsi on trouve

N!S = αn^{N+1} log n + βn^{N+1} + γn^{N} log n + δn^{N} + O(n^{N−1} log n)  (4.2.19)

avec, compte tenu du lemme 4.2.2 :

α = ∑_{μ=0}^{N} \frac{(−1)^{μ}}{μ + 1} \binom{N}{μ} = \frac{1}{N + 1}

β = − ∑_{μ=0}^{N} \frac{(−1)^{μ}}{(μ + 1)^{2}} \binom{N}{μ} = −\frac{1}{N + 1}H_{N+1}

γ = ∑_{μ=0}^{N−1} \frac{(−1)^{μ}}{μ + 1} \frac{N!}{μ!(n − μ − 1)!}(N − \frac{N − 1}{2}) = \frac{N + 1}{2}

et

\begin{aligned}δ & = −ζ′(0) − ∑_{μ=0}^{N−1} \frac{(−1)^{μ}}{(μ + 1)^{2}} \frac{N!}{μ!(N − μ − 1)!} \frac{N + 1}{2} \\ & = −ζ′(0) − \frac{N(N + 1)}{2} ∑_{μ=0}^{N−1} \frac{(−1)^{μ}}{(μ + 1)^{2}} \binom{N − 1}{μ} = \frac{1}{2} log 2π − \frac{N + 1}{2}H_{N}. \end{aligned}

Par ailleurs on a

[n + N]_{N} = n^{N} + \frac{N(N + 1)}{2}n^{N−1} + O(n^{N−2})

et

log(n + N)! = (n + N + \frac{1}{2}) log(n + N) − (n + N) + \frac{1}{2} log 2π + O(n^{−1})

avec

log(n + N) = log n + N.n^{−1} + O(n^{−2})

d’où

[n + N]_{N}(log(n + N)! − log N!) = ρn^{N+1} log n + σn^{N+1} +

+ τn^{N} log n + υn^{N} + O(n^{N−1} log n), (4.2.20)

avec

ρ = 1
σ = −1

τ = N + \frac{1}{2} + \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{N^{2} + 3N + 1}{2}

et

υ = −\frac{N(N + 1)}{2} + \frac{1}{2} log 2π − log N!.

En injectant (4.2.19) et (4.2.20) dans (4.2.17), on trouve bien, puisque ρ − (N + 1)α = 0, que le développement asymptotique de η_{N}^{(n)} ne comporte pas de terme en n^{N+1} log n, et que les coefficients suivants sont donnés par

a_{N+1} = \frac{1}{2N!}(σ − (N + 1)β) = \frac{1}{(N + 1)!}σ_{N}

(où l’on a utilisé (4.2.3)),

b_{N} = \frac{1}{2N!}(τ − (N + 1)γ) = \frac{1}{4(N − 1)!}

et (en utilisant (4.2.2))

a_{N} = \frac{1}{2N!}(υ − (N + 1)δ) = \frac{1}{2N!}((N + 1)σ_{N} − log N! − \frac{N}{2} log 2π),

ce qu’il fallait démontrer. □

Remarque 4.2.4 Considérant le terme λ = μ = N, ν = 0 de la somme (4.2.18), on voit que le terme ζ′(−N) apparaît avec un coefficient non nul (plus précisément, égal à (−1)^{N} \frac{N+1}{2.N!}) dans le terme constant du développement asymptotique de h^{(n)}(ℙ^{N}) en puissances de n et log n pour n tendant vers l’infini. Notons que les valeurs aux entiers pairs strictement négatifs de la dérivée de la fonction zêta sont reliées aux valeurs aux entiers impairs positifs de cette même fonction zêta par la formule suivante : pour N = 2k, on a

ζ′(−2k) = (−1)^{k} \frac{(2k)!}{π^{2k}2^{2k+1}} ζ(2k + 1).

On obtient cette égalité par exemple en dérivant l’équation fonctionnelle

ζ(s) = 2^{s}π^{s−1} sin \frac{πs}{2}Γ(1 − s)ζ(1 − s)

([59] § II 3.3, th. 3 ; voir aussi [50] ou [62]) de la fontion zêta et en l’évaluant en s = −2k.

4.2.2 Application : un calcul de torsion analytique

Soit E un fibré vectoriel hermitien sur ℙ^{N}(ℂ). Pour tout entier q notons

\overline{∂} : A^{0,q}(ℙ^{N}, E) ⟶ A^{0,q+1}(ℙ^{N}, E)

l’opérateur de Cauchy-Riemann usuel, \overline{∂}^{∗} son adjoint formel et

Δ_{q} = \overline{∂}\overline{∂}^{∗} + \overline{∂}^{∗}\overline{∂} : A^{0,q}(ℙ^{N}, E) ⟶ A^{0,q}(ℙ^{N}, E)

le laplacien associé. La fonction

ζ_{q}(s) = Tr(Δ_{q}^{−s}| ker(Δ_{q})^{⊥})

est définie pour Re s assez grande et admet un prolongement analytique holomorphe au voisinage de s = 0. Suivant [49] la torsion analytique de E est définie comme

T (ℙ^{N}(ℂ), E) = ∑_{q=0}^{N}(−1)^{q+1}qζ′_{q}(0).

Corollaire 4.2.5 Avec ces notations, la torsion analytique T (ℙ^{N}(ℂ), O(n)) admet pour n tendant vers l’infini un développement asymptotique à tout ordre r, de la forme

T (ℙ^{N}(ℂ), O(n)) = β_{N}n^{N} log n + α_{N}n^{N} + β_{N−1}n^{N−1} log n + ⋯ + β_{0} log n + α_{0} +
+ γ_{−1}n^{−1} + γ_{−2}n^{−2} + ⋯ + γ_{−r}n^{−r} + O(n^{−r−1})

avec

β_{N} = \frac{1}{2(N − 1)!}

α_{N} = −\frac{1}{2(N − 1)!} log 2π = \frac{1}{(N − 1)!}ζ′(0)

et plus généralement, pour 0 ≤ i ≤ N :

α_{i} ∈ ℚ + ℚζ′(0) + ⋯ + ℚζ′(−N + i)
β_{i} ∈ ℚ

et enfin, pour tout i > 0 :

γ_{−i} ∈ ℚ.

Démonstration : Notons (λ(O(n)), h_{Q}) le fibré déterminant de O(n) muni de la métrique de Quillen (cf. [6] et [27]). Par définition on a

h_{Q} = e^{T (ℙ^{N} (ℂ),O(n))}h_{L^{2}}

où h_{L^{2}} est la métrique hermitienne sur λ(O(n)) définie par le produit scalaire L^{2} relativement à la forme volume ω^{N}/N! sur ℙ^{N}(ℂ). Remarquons que cette forme volume diffère par un facteur 1/N! de celle fournie par la convention (1.1.7), de telle sorte qu’on trouve

h^{(n)}(ℙ^{N}) = d̂eg(λ(O(n)), h_{L^{2}})) − \frac{1}{2} rg(Γ(ℙ^{N}, O(n)) log N!

d’où

T (ℙ^{N}(ℂ), O(n)) = 2 ( h^{(n)}(ℙ^{N}) − d̂eg(λ(O(n)), h_{Q}) ) + \binom{n + N}{N} log N!.  (4.2.21)

Considérons les séries formelles suivantes :

\begin{aligned}\underline{Td}(X) = \frac{X}{1 − e^{−X}} & = ∑_{k≥0}(−1)^{k} \frac{b_{k}}{k!} X^{k} \\ & = 1 + \frac{1}{2}X + \frac{1}{12}X^{2} − \frac{1}{720}X^{4} + … \end{aligned}

où les b_{k} sont les nombres de Bernoulli,

\underline{I}_{N}(X) = (\frac{X}{1 − e^{−X}} )^{N+1} ∫_{0}^{1} \frac{ψ(t, X) − ψ(t, 0)}{t}dt

où ψ(t, X) = \frac{1}{tX} − \frac{e^{−tX}}{1−e^{−tX}} = − ∑_{k≥0} \frac{b_{k+1}}{(k+1)!}t^{k}X^{k} de telle sorte que

\underline{I}_{N}(X) = −\frac{1}{12}X − \frac{N + 1}{24}X^{2} + …,

et

\underline{R}(X) = ∑_{\begin{matrix}m≥1 \\ impair \end{matrix}}(2ζ′(−m) + (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m})ζ(−m))\frac{X^{m}}{m!} .

Suivant [26] et [27], à tout fibré vectoriel holomorphe E sur une variété complexe on attache une classe caractéristique R(E) dans la cohomologie paire de cette variété, définie uniquement par les conditions suivantes : R commute à l’image inverse, est additive dans les suites exactes courtes et, pour tout fibré en droites L, vérifie

R(L) = \underline{R}(c_{1}(L)).

Munissons le fibré tangent T ℙ^{N} de la métrique hermitienne héritée de la suite exacte courte

E_{N} : 0 ⟶ O ⟶ O(1)^{⊕(N+1)} ⟶ T ℙ^{N} ⟶ 0.

Par le théorème de Riemann-Roch arithmétique on a (cf. [27])

d̂eg(λ(O(n)), h_{Q})) = ((ĉh(\overline{O(n)})T̂d(T ℙ^{N}) − a(ch(O(n)_{ℂ})Td(T ℙ_{ℂ}^{N})R(T ℙ_{ℂ}^{N})) .[ℙ^{N}]) .

(4.2.22)

Notons x̂ = ĉ_{1}(\overline{O(1)}) et ω = ω_{F S} = c_{1}(∥.∥_{O(1)}). Par [26] § 2.2, utilisant la suite E_{N}, on trouve :

ĉh(\overline{O(n)}) = exp(nx̂),
T̂d(T ℙ^{N}) = \underline{Td}(x̂)^{N+1} + a(T̃d(E_{N})
= \underline{Td}(x̂)^{N+1} + a(\underline{I}_{N}(ω))

(où T̃d(E_{N}) est la classe caractéristique secondaire de Bott-Chern associée à E_{N} ; cf. [12]),

ch(O(n)_{ℂ}) = exp(nω),
Td(T ℙ_{ℂ}^{N}) = \underline{Td}(ω)^{N+1}

et

R(T ℙ_{ℂ}^{N}) = (N + 1)\underline{R}(ω).

Injectant tout ceci dans (4.2.22) puis dans (4.2.21), utilisant qu’on a

(x^{N+1}.[ℙ^{N}]) = σ_{N} ∈ ℚ

et, pour tout 0 ≤ k ≤ N,

(x^{N−k}a(ω^{k}).[ℙ^{N}]) = (a(ω^{N}).[ℙ^{N}]) = \frac{1}{2} ∈ ℚ,

on trouve le résultat souhaité ; remarquons notamment, d’une part, que d̂eg(λ(O(n)), h_{Q}) est un polynôme en n dont les deux termes de plus haut degré, provenant uniquement du produit ĉh(\overline{O(n)})T̂d(T ℙ^{N}), sont donnés par

((n^{N+1}/(N + 1)! + (N + 1)/2 . n^{N}/N!)x^{N+1}.[ℙ^{N}] = \frac{σ_{N}}{(N + 1)!}n^{N+1} + \frac{(N + 1)σ_{N}}{2.N!} n^{N},

compensant ainsi certains des termes donnés par (4.2.7) et (4.2.9) et, d’autre part, que le terme en log N! présent dans (4.2.21) compense exactement celui fourni par (4.2.17). □

Exemple 4.2.6 Pour N = 1 on a

h^{(n)}(ℙ^{1}) = −\frac{1}{2} ∑_{i=0}^{n} log \frac{i!(n − i)!}{(n + 1)!}

=_{n→∞} \frac{1}{4}n^{2} + \frac{1}{4}n log n + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}ζ′(0)) n

+ \frac{1}{3} log n + (\frac{13}{24} + \frac{1}{2}ζ′(0) − ζ′(−1)) + O(n^{−1}),

la différence entre h^{(n)}(ℙ^{1}) et l’expression donnée ci-dessus prenant les valeurs suivantes :

pour n = 1 :  0, 1549979 …
n = 10 : 0, 0200684 …
n = 100 : 0, 0020753 …
n = 1000 : 0, 0002082 ….

Par ailleurs, par le théorème de Riemann-Roch arithmétique, on a, avec les notations de la démonstration du corollaire :

d̂eg(λ(O_{ℙ^{1}}(n)), h_{Q})) = (((1 + nx̂ + \frac{n^{2}}{2} x^{2})((1 + \frac{1}{2}x̂ + \frac{1}{12}x^{2})^{2} + a(−\frac{1}{12}ω))
− a(2.(2ζ′(−1) + ζ(−1))ω)) .[ℙ^{1}])

= \frac{n^{2}}{4} + \frac{n}{2} + \frac{1}{4} − 2ζ′(−1)

d’où l’on déduit

T (ℙ^{1}(ℂ), O(n)) =_{n→∞} \frac{1}{2}n log n + ζ′(0).n + \frac{2}{3} log n + (\frac{7}{12} + ζ′(0) + 2ζ′(−1)) + O(n^{−1}).

Exemple 4.2.7 Pour N = 2 on a

h^{(n)}(ℙ^{2}) = −\frac{1}{2} ∑_{i=0}^{n} ∑_{j=0}^{n−i} log \frac{2.i!j!(n − i − j)!}{(n + 2)!}

=_{n→∞} \frac{5}{24}n^{3} + \frac{1}{4}n^{2} log n + (\frac{15}{16} − \frac{1}{4} log 2 + \frac{1}{2}ζ′(0)) n^{2}

+ \frac{7}{8}n log n + (\frac{85}{48} − \frac{3}{4} log 2 + \frac{3}{2}ζ′(0) − \frac{3}{2}ζ′(−1)) n

+ \frac{11}{16} log n + (\frac{27}{16} − \frac{1}{2} log 2 + ζ′(0) − \frac{9}{4}ζ′(−1) + \frac{3}{4}ζ′(−2))

+ O(n^{−1}),

la différence entre h^{(n)}(ℙ^{2}) et l’expression donnée ci-dessus prenant les valeurs suivantes :

pour n = 1 :  0, 2427951 …
n = 10 : 0, 0291442 …
n = 100 : 0, 0029666 …
n = 1000 : 0, 0002971 ….

Par ailleurs, par le théorème de Riemann-Roch arithmétique, on a

d̂eg(λ(O_{ℙ^{2}}(n)), h_{Q})) = (((1 + nx̂ + \frac{n^{2}}{2} x^{2} + \frac{n^{3}}{6} x^{3})((1 + \frac{1}{2}x̂ + \frac{1}{12}x^{2})^{3} + a((1 + \frac{3}{2}ω)(−\frac{1}{12}ω)))

− a((1 + nω)(1 + \frac{3}{2}ω).3.(2ζ′(−1) + ζ(−1))ω)) .[ℙ^{2}])

= \frac{5}{24}n^{3} + \frac{15}{16}n^{2} + (\frac{4}{3} − 3ζ′(−1)) n + (\frac{19}{32} − \frac{9}{2}ζ′(−1))

d’où l’on déduit

T (ℙ^{2}(ℂ), O(n)) = 2(h^{(n)}(ℙ^{2}) − d̂eg(λ(O_{ℙ^{2}}(n)), h_{Q}))) + \binom{n + 2}{2} log 2

=_{n→∞} \frac{1}{2}n^{2} log n + ζ′(0).n^{2} + \frac{7}{4}n log n

+ (\frac{7}{8} + 3ζ′(0) + 3ζ′(−1)) n + \frac{11}{8} log n

+ (\frac{35}{16} + 2ζ′(0) + \frac{9}{2}ζ′(−1) + \frac{3}{2}ζ′(−2)) + O(n^{−1}).

Le lecteur intéressé pourra aussi consulter [66] qui contient des calculs très proches de ceux effectués ici. Mieux, on pourra trouver dans [35] l’expression de la torsion analytique pour les fibrés vectoriels hermitiens sur les espaces symétriques en toute généralité.

4.2.3 Hauteurs d’un sous-espace linéaire d’un espace projectif

Soient \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien de rang N + 1, ℙ_{E} = Proj(Sym E) l’espace projectif associé à \overline{E} muni des structures à l’infini définies au paragraphe 1.4.2 et Λ un sous-espace linéaire de ℙ_{E} de codimension N − M. Par définition d’un sous-espace linéaire, il existe une suite exacte courte de O_{K}-fibrés vectoriels

0 ⟶ F ⟶ E ⟶ Q ⟶ 0

avec rg F = N − M, rg Q = M + 1 et telle que Λ soit défini par l’idéal homogène F. Sym E de Sym E. On a alors un isomorphisme naturel de schémas

Λ ⟶^{∼} ℙ_{Q}  (4.2.23)

et pour tout n > 0 un diagramme commutatif naturel

0 ⟶ F.S^{n−1}E ⟶  S^{n}E  ⟶  S^{n}Q  ⟶ 0
↓^{≃}  ^{φ_{n}}↓^{≃}  φ̃_{n}↓^{≃}
0 ⟶ Γ(ℙ_{E}, ℑ_{Λ}O(n)) ⟶ Γ(ℙ_{E}, O(n)) ⟶^{restr.} Γ(Λ, O(n)|_{Λ}) ⟶ 0.

Proposition 4.2.8 Sous ces hypothèses, on a

h^{(n)}(Λ) = η_{M}^{(n)} + \binom{n + M}{M + 1}d̂eg\overline{Q} + \frac{1}{2}\binom{n + M}{M} log \binom{n + N}{N} − \frac{1}{2}\binom{n + M}{M} log \binom{n + M}{M}

= η_{M}^{(n)} + \binom{n + M}{M + 1}d̂eg\overline{Q} + \frac{1}{2}\binom{n + M}{M} log \frac{(n + N) … (n + M + 1)}{N … (M + 1)}

où, conformément au paragraphe précédent, on a posé η_{M}^{(n)} = h^{(n)}(ℙ^{M}).

Démonstration : Quitte à remplacer K par une extension finie, on peut supposer que Q est libre (par [43] ch. 1 lemme 1.5, il suffit de montrer que tout idéal de O_{K} devient principal dans une extension convenable ; ceci peut se démontrer élémentairement, mais on peut aussi remarquer qu’il s’agit d’une propriété bien connue du corps de classes de Hilbert). Le choix d’une base de Q détermine alors un isomorphisme (non canonique)

q : O_{K}^{M+1} ⟶^{∼} Q.

Notons alors ψ_{n} l’isomorphisme naturel de Γ(ℙ^{M}, O(n)) sur S^{n}(O_{K}^{M+1}) et considérons l’application composée

\overline{Γ(ℙ^{M}, O(n))} ⟶^{ψ_{n}} S^{n}(\overline{O_{K}^{M+1}}) ⟶^{S^{n}q} S^{n}\overline{Q} \underrightarrow{φ̃_{n}} \overline{Γ(Λ, O(n)|_{Λ})}

(chacune de ces flèches étant un isomorphisme sur les O_{K}-modules sous-jacents), où l’on a muni \overline{Γ(ℙ^{M}, O(n))} des normes L^{2}(ℙ^{M}), S^{n}(\overline{O_{K}^{M+1}}) des normes puissance symétrique des normes standard, S^{n}\overline{Q} des normes puissance symétrique des normes quotient de celles de \overline{E} et \overline{Γ(Λ, O(n)_{Λ})} des normes quotient des normes L^{2}(ℙ_{E}) sur Γ(ℙ_{E}, O(n)). Par définition on a

d̂eg \overline{Γ(ℙ^{M}, O(n))} = η_{M}^{(n)}.

Par ailleurs, par le lemme 1.3.4, pour tout plongement σ de K dans ℂ, (ψ_{n})_{σ} est une similitude de rapport \binom{n+M}{M}^{1/2}, tandis que (φ̃_{n})_{σ} est obtenue par passage au quotient de

(φ_{n})_{σ} qui est une similtude de rapport \binom{n+N}{N}^{−1/2}, donc est de même. On en déduit

h(⋀^{max} ψ_{n}) = \frac{1}{2}\binom{n + M}{M} log \binom{n + M}{M}

et

h(⋀^{max} φ̃_{n}) = −\frac{1}{2}\binom{n + M}{M} log \binom{n + N}{N}.

D’autre part le lemme 1.4.1 donne

h(⋀^{max} q) = d̂eg\overline{O_{K}^{M+1}} − d̂eg\overline{Q} = −d̂eg\overline{Q}

d’où, par le lemme 4.2.10 ci-après,

h(⋀^{max} S^{n}q) = −\binom{n + M}{M + 1}d̂eg\overline{Q}.

Une nouvelle utilisation du lemme 1.4.1 donne alors

d̂eg \overline{Γ(Λ, O(n)|_{Λ})} = d̂eg \overline{Γ(ℙ^{M}, O(n))} − h(⋀^{max} ψ_{n}) − h(⋀^{max} S^{n}q) − h(⋀^{max} φ̃_{n}),

ce qu’il fallait démontrer. □

Remarque 4.2.9 Par la proposition 4.2.3, le terme principal du développement asymptotique des hauteurs h^{(n)}(Λ) est donc

\frac{σ_{M} + d̂eg\overline{Q}}{(M + 1)!} n^{M+1}.

On retrouve ainsi, au moyen du théorème 3.1.16 (un sous-espace linéaire est évidemment génériquement lisse avec multiplicité ), le fait bien connu que la hauteur du cycle associé à Λ est

h\overline{O(1)}([Λ]) = σ_{M} + d̂eg\overline{Q}.

Lemme 4.2.10 Soient \overline{E} et \overline{F} deux O_{K}-fibrés vectoriels hermitiens de même rang M + 1 et φ : E_{K} →^{∼} F_{K} un isomorphisme de K-espaces vectoriels. Alors pour tout entier n on a

h(⋀^{max} S^{n}φ) = \binom{n + M}{M + 1}h(⋀^{max} φ).

Démonstration : Il suffit de montrer que pour toute place v (finie ou infinie) et pour tout K_{v}-isomorphisme ψ : E_{v} ⟶^{∼} F_{v} on a

∥ ⋀^{max} S^{n}ψ∥_{v} = ∥ ⋀^{max} ψ∥\binom{n+M}{M+1}_{v}.

Pour ce faire, au moyen de la théorie des diviseurs élémentaires (si v est finie) ou de la théorie des valeurs caractéristiques (si v est infinie), on se ramène au cas où E_{v} = F_{v} = K_{v}^{M+1} et où ψ est donnée par une matrice diagonale Diag(λ_{0}, …, λ_{M}). Alors S^{n}ψ est donnée par la matrice diagonale dont les termes sont les monômes de degré n en les λ_{i}. Si l’on fait le produit de tous ces monômes, chaque λ_{i} apparaît avec multiplicité \frac{n}{M+1} \binom{n+M}{M} = \binom{n+M}{M+1}, ce qu’il fallait démontrer. □

4.3 Hauteurs d’un sous-schéma réunion de deux sous-espaces linéaires

On commence par établir quelques lemmes qui s’inscrivent dans la lignée des résultats de la section 1.2.

Lemme 4.3.1 Soient E un espace hermitien et A un sous-espace de E. Pour tout entier n ≥ 1, la puissance symétrique S^{n}A s’identifie naturellement à un sous-espace de S^{n}E. Alors la projection orthogonale sur S^{n}A est la puissance symétrique n-ième de la projection orthogonale sur A :

p_{S^{n}A} = S^{n}p_{A}.

Démonstration : On a clairement S^{n}p_{A}(x) = x si x appartient à S^{n}A et S^{n}p_{A}(y) = 0 si y appartient à (A^{⊥}.S^{n−1}E) = ker p_{S^{n}A}, ce qu’il fallait démontrer. □

Lemme 4.3.2 Soient E un espace hermitien et A et B deux sous-espaces de E. Notons

μ_{1} ≤ ⋯ ≤ μ_{dim A}

les valeurs caractéristiques de la projection p_{B}|_{A} de A sur B, comptées avec leurs multiplicités. Alors, pour tout entier n ≥ 1, les valeurs caractéristiques (avec multiplicités) de la projection p_{S^{n}B}|_{S^{n}A} sont exactement les monômes de degré n en les μ_{j}.

Démonstration : Cela résulte du lemme précédent et du calcul des valeurs caractéristiques d’une puissance symétrique. □

Si m est un entier, on définit maintenant une série formelle P_{m} en m indéterminées par la formule suivante :

\begin{aligned}P_{m}(X_{1}, …, X_{m}) & = ∏_{(α_{1},...,α_{m})∈ℕ^{m}∖\{0\}}(1 − X_{1}^{α_{1}} … X_{m}^{α_{m}})^{−1} \\ & = ∑_{n_{1},...,n_{m}≥0} p_{m}(n_{1}, …, n_{m})X_{1}^{n_{1}} … X_{m}^{n_{m}} \end{aligned}  (4.3.1)

où p_{m}(n_{1}, …, n_{m}) est le nombre de décompositions du m-uplet (n_{1}, …, n_{m}) en somme de muplets d’entiers non tous nuls. Par exemple pour m = 1, p_{1}(n) est le nombre de partitions de l’entier n (cf. [32] ch. XIX). Remarquons aussi que si m′ > m on a P_{m′}(X_{1}, …, X_{m}, 0, …, 0) = P_{m}(X_{1}, …, X_{m}). On notera donc plus simplement P (X_{1}, …, X_{m}) cette quantité.

Soient alors E un espace hermitien et A et B deux sous-espaces de E. Notons r_{a}, r_{b}, s, t et λ_{1} < ⋯ < λ_{e} (avec multiplicités m_{1}, …, m_{e}) les invariants du triplet (E, A, B) et posons m = m_{1} + ⋯ + m_{e}. Pour tout entier n posons

d^{(n)} = d_{S^{n}A,S^{n}B},

la mesure d’orthogonalité des sous-espaces S^{n}A et S^{n}B de S^{n}E, comme définie par (1.2.4). Enfin soit ϵ un réel dans l’intervalle ouvert ]λ_{e}, 1[.

Proposition 4.3.3 Sous ces hypothèses, il existe des réels c_{0}, c_{1}, …, c_{t−1} tels qu’on ait le développement asymptotique

log d^{(n)} =_{n→∞} c_{t−1}n^{t−1} + ⋯ + c_{1}n + c_{0} + O(ϵ^{n})

(rappelons que t = dim A ∩ B). En outre on a

c_{t−1} = −\frac{1}{2.(t − 1)!} log P (\underbrace{λ_{1}^{2},..., λ_{1}^{2}}_{m_{1} fois}, …, \underbrace{λ_{e}^{2},..., λ_{e}^{2}}_{m_{e} fois}).

Démonstration : Par définition des invariants on a rg p_{B}|_{A} = rg p_{A}|_{B} = m+t. Notons ν_{1}, …, ν_{m+t} les valeurs caractéristiques non nulles de p_{B}|_{A} (ou de p_{A}|_{B}) comptées avec leurs multiplicités. Autrement dit

ν_{j} = λ_{i}  si  m_{1} + ⋯ + m_{i−1} < j ≤ m_{1} + ⋯ + m_{i}

et

ν_{j} = 1  si  m < j ≤ m + t.

Par le lemme précédent, les valeurs caractéristiques non nulles de p_{S^{n}A}|_{S^{n}B} sont les monômes en les ν_{j}. Par le corollaire 1.2.18, on trouve alors

log d^{(n)} = \frac{1}{2} ∑_{\begin{matrix}α_{1}+···+α_{m+t}=n \\ α_{1}+···+α_{m}>0 \end{matrix}} log(1 − (ν_{1}^{α_{1}} … ν_{m+t}^{α_{m+t}})^{2})

= \frac{1}{2} ∑_{0<α=α_{1}+···+α_{m}≤n} \binom{n − α + t − 1}{t − 1} log(1 − (ν_{1}^{α_{1}} … ν_{m}^{α_{m}})^{2})

= S_{n} − E_{n}

avec

S_{n} = \frac{1}{2} ∑_{α=α_{1}+···+α_{m}>0} \binom{n − α + t − 1}{t − 1} log(1 − (ν_{1}^{α_{1}} … ν_{m}^{α_{m}})^{2})

et

E_{n} = \frac{1}{2} ∑_{α=α_{1}+···+α_{m}>n} \binom{n − α + t − 1}{t − 1} log(1 − (ν_{1}^{α_{1}} … ν_{m}^{α_{m}})^{2}).

Utilisant le fait que les log(1 − (ν_{1}^{α_{1}} … ν_{m}^{α_{m}})^{2}) décroissent en (λ_{e})^{α} on obtient l’estimation E_{n} = O(ϵ^{n}). On termine alors la démonstration on décomposant les coefficients binômiaux \binom{n−α+t−1}{t−1} intervenant dans l’expression de S_{n} suivant les puissances de n et en regroupant les termes de façon à exprimer S_{n} comme un polynôme en n. □

Théorème 4.3.4 Soient \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien de rang N + 1 et Λ_{1} (resp. Λ_{2}) un sous-espace linéaire de ℙ_{E} de codimension N − M_{1} (resp. N − M_{2}), donc de dimension générique M_{1} (resp. M_{2}). Notons M la dimension générique de Λ_{1} ∩ Λ_{2} (en convenant que le schéma vide est de dimension strictement négative). Notons aussi

0 ⟶ F_{1} ⟶ E ⟶ Q_{1} ⟶ 0 et 0 ⟶ F_{2} ⟶ E ⟶ Q_{2} ⟶ 0

les suites exactes courtes de O_{K}-modules projectifs définissant Λ_{1} et Λ_{2}. Alors il existe ϵ ∈]0, 1[ et des réels c_{0}, …, c_{M} tels qu’on ait le développement asymptotique

h^{(n)}(Λ_{1} ∪ Λ_{2}) + h^{(n)}(Λ_{1} ∩ Λ_{2}) − h^{(n)}(Λ_{1}) − h^{(n)}(Λ_{2}) =_{n→∞} c_{M}n^{M} + ⋯ + c_{0} + O(ϵ^{n}).

En particulier on a

c_{M} = −\frac{1}{2.M!.[K : ℚ]} ∑_{σ:K↪ℂ}log P (\underbrace{λ_{1,σ}^{2},..., λ_{1,σ}^{2}}_{m_{1,σ} fois}, …, \underbrace{λ_{e_{σ},σ}^{2},..., λ_{e_{σ},σ}^{2}}_{m_{eσ,σ} fois}),

où les λ_{i,σ} (avec multiplicités m_{i,σ}) sont les valeurs caractéristiques différentes de 0 et de 1 des projections p_{F_{1,σ}}|_{F_{2,σ}} dans E_{σ}. Enfin, pour tout entier n ≥ 1, on a h^{(n)}(Λ_{1} ∪ Λ_{2}) + h^{(n)}(Λ_{1} ∩ Λ_{2}) − h^{(n)}(Λ_{1}) − h^{(n)}(Λ_{2}) = 0 si et seulement si pour tout σ les sous-espaces linéaires Λ_{1,σ}(ℂ) et Λ_{2,σ}(ℂ) de ℙ_{E,σ}(ℂ) sont orthogonaux (au sens large).

Démonstration : Au moyen des structures hermitiennes on identifie Γ(Λ_{1}, O(n)|_{Λ_{1}})_{σ} et Γ(Λ_{2}, O(n)|_{Λ_{2}})_{σ} à des sous-espaces de Γ(ℙ_{E}, O(n))_{σ}, et Q_{1,σ} et Q_{2,σ} à des sous-espaces de E_{σ}. Puisque l’application naturelle S^{n}E_{σ} ⟶ Γ(ℙ_{E}, O(n))_{σ} est une similitude, les triplets

(Γ(ℙ_{E}, O(n))_{σ}, Γ(Λ_{1}, O(n)|_{Λ_{1}})_{σ}, Γ(Λ_{2}, O(n)|_{Λ_{2}})_{σ})

et

(S^{n}E_{σ}, S^{n}Q_{1,σ}, S^{n}Q_{2,σ})

ont mêmes invariants. Alors le théorème résulte de la proposition 2.3.8, du corollaire 1.2.20, de la proposition précédente, et du fait que (Λ_{1} ∩ Λ_{2})_{K} est le sous-espace linéaire de (ℙ_{E})_{K} défini par le sous-espace (F_{1}+F_{2})_{K} de E_{K}, de telle sorte que (Q_{1,σ}∩Q_{2,σ}) = (F_{1,σ}+F_{2,σ})^{⊥} ⊂ E_{σ} est bien de dimension M + 1. □

Rappelons que si X est une variété arithmétique et Σ un sous-schéma de la fibre générique X_{K}, on note \overline{Σ} l’adhérence schématique de Σ dans X. Alors :

Corollaire 4.3.5 Soient \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien de rang N + 1 et Λ_{1} (resp. Λ_{2}) un sous-espace linéaire de la fibre générique (ℙ_{E})_{K} de codimension N −M_{1} (resp. N −M_{2}), donc de dimension M_{1} (resp. M_{2}). Notons M la dimension du sous-espace linéaire Λ_{1} ∩ Λ_{2} de (ℙ_{E})_{K}. Notons aussi ℘_{1}, …, ℘_{r} les points fermés de Spec O_{K} images de composantes essentielles verticales de (\overline{Λ_{1}}) ∩ (\overline{Λ_{2}}). Pour i ∈ \{1, …, r\} notons q_{i} = #k(℘_{i}) le cardinal du corps résiduel en ℘_{i} et d_{i} la dimension de la fibre ((\overline{Λ_{1}}) ∩ (\overline{Λ_{2}}))_{℘_{i}}. Alors il existe un réel ϵ ∈]0, 1[, un polynôme Q de degré inférieur ou égal à M à coefficients réels et, pour tout i ∈ {1, …, r}, un polynôme numérique P_{i} de degré inférieur ou égal à d_{i} tels qu’on ait le développement asymptotique

h^{(n)}(Λ_{1} ∪ Λ_{2}) =_{n→∞} h^{(n)}(Λ_{1}) + h^{(n)}(Λ_{2})

− h^{(n)}(Λ_{1} ∩ Λ_{2}) + Q(n) + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{i=1}^{r} P_{i}(n) log q_{i} + O(ϵ^{n}).

Démonstration : Le plus grand sous-schéma plat de Σ = (\overline{Λ_{1}}) ∩ (\overline{Λ_{2}}) est

\begin{aligned}H = \overline{((\overline{Λ_{1}}) ∩ (\overline{Λ_{2}}))_{K}} & = \overline{(\overline{Λ_{1}})_{K} ∩ (\overline{Λ_{2}})_{K}} \\ & = \overline{Λ_{1} ∩ Λ_{2}}. \end{aligned}

Le corollaire se démontre alors en insérant dans le théorème la définition des hauteurs de sous-schémas de la fibre générique et en utilisant la remarque 2.3.10 relative à la décomposition du sous-schéma Σ de X comme réunion de son plus grand sous-schéma plat H et de sous-schémas primaires verticaux V_{i}. Avec ces notations et compte tenu de la remarque 2.3.10, le corollaire est vérifié en prenant Q(n) = c_{M}n^{M} + ⋯ + c_{0} le polynôme fourni par le théorème précédent, et P_{i} = P_{V_{i}} − P_{H_{∩}V_{i}} où P_{V_{i}} (resp. P_{H_{∩}V_{i}}) est le polynôme de Hilbert-Samuel de V_{i} (resp. H_{∩}V_{i}) relativement à O(1). □

Il convient d’essayer de donner une interprétation aux termes du développement asymptotique donné par le théorème. On peut considérer que le terme h^{(n)}(Λ_{1})+h^{(n)}(Λ_{2}) constitue d’une certaine façon le terme principal du développement asymptotique de h^{(n)}(Λ_{1} ∪ Λ_{2}) et que le terme −h^{(n)}(Λ_{1} ∩ Λ_{2}) est un terme correctif naturel. Les autres termes, quant à eux, peuvent s’interpréter comme mesurant une dégénérescence de l’intersection de Λ_{1} et Λ_{2}.

Plus précisément, avec les choix faits à la fin de la démonstration du corollaire, chaque terme \frac{1}{[K:ℚ]}P_{i}(n) log q_{i} traduit la présence de composantes essentielles de Σ = (\overline{Λ_{1}}) ∩ (\overline{Λ_{2}}) supportées par sa fibre au-dessus de ℘_{i}. Remarquons qu’a priori la seule borne dont on dispose sur la dimension d_{i} de Σ_{℘_{i}} est d_{i} ≤ max(M_{1}, M_{2}) (cette inégalité résulte de la platitude de \overline{Λ_{1}} et \overline{Λ_{2}}). Puisque par ailleurs, par les propositions 4.2.3 et 4.2.8, h^{(n)}(Λ_{1} ∩ Λ_{2}) est un O(n^{M+1}), il n’est pas exclu qu’un des termes de dégénérescence \frac{1}{[K:ℚ]}P_{i}(n) log q_{i} puisse apporter une contribution d’ordre égal ou supérieur à celle du terme correctif naturel −h^{(n)}(Λ_{1} ∩ Λ_{2}). Une condition suffisante pour cela est que parmi les composantes essentielles de Σ apparaissant aux places finies, il y en ait une qui ne soit pas immergée. Si en outre la hauteur (usuelle) h\overline{O(1)}([Λ_{1} ∩ Λ_{2}]) du cycle [Λ_{1} ∩ Λ_{2}] est non nulle, cette condition suffisante est aussi nécessaire.

Quant au terme Q(n), comme cela résulte des constructions, il traduit le défaut d’orthogonalité des sous-espaces linéaires Λ_{1,σ}(ℂ) et Λ_{2,σ}(ℂ) de ℙ_{E,σ}(ℂ). Il est tentant de vouloir attribuer à ce terme une signification géométrique analogue à celle des termes de dégénérescence précédents, c’est-à-dire de considérer ce défaut d’orthogonalité comme une dégénérescence de l’intersection de Λ_{1} et Λ_{2} aux places infinies. Plus précisément, il est frappant de remarquer que cette contribution archimédienne en O(n^{M}) est du même ordre de grandeur que celle qu’apporterait une composante essentielle immergée de (\overline{Λ_{1}}) ∩ (\overline{Λ_{2}}).

Voici un dernier corollaire qui constitue une généralisation (dans un cas singulier) du théorème 3.1.16.

Corollaire 4.3.6 Soient \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien et Λ_{1} et Λ_{2} deux sous-espaces linéaires de ℙ_{E}. Notons d + 1 la dimension (absolue) du sous-schéma réunion Λ_{1} ∪ Λ_{2} de ℙ_{E}. Notons [Λ_{1} ∪ Λ_{2}] le cycle de dimension maximale associé à Λ_{1} ∪ Λ_{2}, i.e.

[Λ_{1} ∪ Λ_{2}] = \{ \begin{matrix}[Λ_{1}] + [Λ_{2}] & si dim Λ_{1} = dim Λ_{2} = d + 1 et Λ_{1} ≠ Λ_{2}, \\ [Λ_{i}] & si dim Λ_{i} = d + 1 > dim Λ_{3−i}, \\ [Λ_{1}] & si Λ_{1} = Λ_{2}. \end{matrix}

Alors pour tout entier r ≥ 1 les hauteurs du sous-schéma Λ_{1} ∪ Λ_{2} admettent un développement asymptotique de la forme

h^{(n)}(Λ_{1} ∪ Λ_{2}) =_{n→∞} a_{d+1}n^{d+1} + b_{d}n^{d} log n + a_{d}n^{d} + b_{d−1}n^{d−1} log n + ⋯ + b_{0} log n + a_{0} +
+ c_{−1}n^{−1} + c_{−2}n^{−2} + ⋯ + c_{−r}n^{−r} + O(n^{−r−1})

avec en particulier

a_{d+1} = \frac{(ĉ_{1}(\overline{O(1)})^{d+1}.[Λ_{1} ∪ Λ_{2}])}{(d + 1)!} = \frac{h\overline{O(1)}([Λ_{1} ∪ Λ_{2}])}{(d + 1)!}.

Démonstration : Cela résulte directement du théorème, compte tenu des propositions 4.2.3 et 4.2.8. □

Sous-schéma de dimension générique nulle d’un espace projectif

Dans toute cette partie, on se donne K un corps de nombres, O_{K} l’anneau des entiers de K, \overline{E} un O_{K}-fibré hermitien localement libre de rang N + 1, ℙ_{E} = Proj Sym_{O_{K}}^{.} E l’espace projectif des quotients de E localement libres de rang 1, et \overline{O(1)} le faisceau en droites universel sur ℙ_{E} muni des métriques de Fubini-Study.

Notre objectif est de donner un développement asymptotique des hauteurs d’un sousschéma Σ de ℙ_{E}, plat de dimension relative nulle sur la base S = Spec O_{K}.

5.1 Résultats et définitions préliminaires

5.1.1 Décomposition du sous-schéma en réunion de sous-schémas dont le support est une section

Soit Σ un sous-schéma fermé de ℙ_{E}, plat de dimension relative 0 sur Spec O_{K}. Le schéma Σ est projectif et quasi-fini sur Spec O_{K}, donc fini ([EGA] III 4.4.2), donc affine ([EGA] II 6.1.4), i.e. Σ = Spec A où A = Γ(Σ, O_{Σ}). L’anneau A est fini et plat sur O_{K}. Le polynôme de Hilbert de Σ relativement à O(1) est alors constant, égal à la longueur

l = rg_{O_{K}}(A)

de Σ.

Fixons un plongement K ↪ \overline{K} de K dans sa clôture algébrique. Soient

p_{1}, …, p_{e} ∈ ℙ_{E}(\overline{K})

les points géométriques de la fibre générique de Σ. On supposera dans ce paragraphe que les points p_{1}, …, p_{e} sont définis sur K.

Algébriquement, les points p_{1}, …, p_{e} correspondent aux idéaux premiers (maximaux) 𝔐_{1}, …, 𝔐_{e} de A_{K}. Ainsi, pour tout i ∈ {1, …, e}, le localisé Σ_{p_{i}} est le spectre de l’anneau local A_{K,𝔐_{i}}, qui est une K-algèbre de dimension finie. Pour tout entier t, on définit la longueur (sur K) du t-ième jet de Σ en p_{i} comme étant l’entier

r_{t,p_{i}} = r_{t,p_{i}}(Σ) = dim_{K} 𝔐_{i}^{t}/𝔐_{i}^{t+1}.

En particulier r_{t,p_{i}}(Σ) = 0 si t est assez grand.

On définit la multiplicité de Σ en p_{i} comme étant l’entier

m_{p_{i}} = dim_{K} A_{K,𝔐_{i}} = ∑_{t} r_{t,p_{i}}.

Ainsi on a la relation

l = lg(Σ) = ∑_{i} m_{p_{i}} = ∑_{i,t} r_{t,p_{i}}.

Notons P_{1}, …, P_{e} les fermetures dans ℙ_{E} (ou, ce qui revient au même, dans Σ) de p_{1}, …, p_{e}, respectivement, et décrivons comment ceci se traduit algébriquement.

Comme tout anneau artinien, A_{K} se décompose en produit de ses localisés :

A_{K} = ∏_{i=1}^{e} A_{K,𝔐_{i}}

et, par hypothèse, pour tout i ∈ {1 … e}, le point p_{i} de la fibre générique de Σ est un schéma affine d’anneau A_{K}/𝔐_{i} ≃ K. Notons

℘_{i} = ker(A → A_{K}/𝔐_{i})

l’idéal premier de A relevant 𝔐_{i}, de telle sorte qu’on a des identifications naturelles

A_{K,𝔐_{i}} ≃ A_{℘_{i}}

et

K ≃ A_{K}/𝔐_{i} ≃ A_{℘_{i}}/℘_{i}A_{℘_{i}} = Frac(A/℘_{i}).

Alors la fermeture P_{i} de p_{i} dans Σ = Spec A est le sous-schéma fermé défini par ℘_{i}. Autrement dit, P_{i} est un schéma affine d’anneau A/℘_{i}; on a en outre un isomorphisme canonique A/℘_{i} ≃ O_{K} (ceci résulte du fait que A/℘_{i} est un sous-anneau de A_{℘_{i}}/℘_{i}A_{℘_{i}} ≃ K et est fini sur O_{K}). Ainsi P_{1}, …, P_{e} sont les images de sections Spec O_{K} ⟶ ℙ_{E}.

Le lemme suivant montre que ℘_{1}, …, ℘_{e} sont les idéaux premiers minimaux de A; autrement dit P_{1}, …, P_{e} sont les supports des composantes irréductibles de Σ, de telle sorte que le cycle associé à Σ est

[Σ] = ∑_{i} m_{p_{i}}.[P_{i}] ∈ Z_{1}(ℙ_{E}).

Lemme 5.1.1 Soient K un corps, R un anneau intègre noethérien de corps de fractions K, et A un anneau fini et plat sur R. Alors un idéal premier de A est minimal si et seulement s’il est au-dessus de l’idéal nul de R. Autrement dit, les idéaux premiers minimaux de A s’identifient naturellement aux idéaux premiers (maximaux) de l’anneau artinien A_{K}.

Démonstration : Soit i : R ⟶ A le morphisme canonique. Soit x ∈ R non nul. Comme R est intègre, la multiplication par x est injective dans R donc, puisque A est plat sur R, elle est injective dans A. Ceci implique que i est une injection. On peut alors appliquer le premier théorème de Cohen-Seidenberg ([41] th 9.3.ii, ou [55] ch III prn 2), qui implique que tout idéal premier de A au-dessus de l’idéal nul de R est minimal. Inversement, soit ℘ un idéal premier minimal de A. Alors ℘ est un idéal premier associé du A-module A ([41] th 6.5.iii), i.e. il existe a ∈ A non nul tel que ℘ = Ann_{A}(a). En particulier, si x ∈ ℘ ∩ R, la multiplication par x n’est pas injective sur A. Ceci implique x = 0, ce qu’il fallait démontrer. □

Enfin on notera Σ^{(i)} la fermeture dans Σ du localisé Σ_{p_{i}}. Le schéma Σ^{(i)} est fini et plat sur Spec O_{K} et son support est P_{i}.

Algébriquement, Σ^{(i)} est le sous-schéma fermé de Σ = Spec A défini par le noyau du morphisme

A ⟶ A_{K,𝔐_{i}} ≃ A_{℘_{i}}.

Autrement dit, Σ^{(i)} est un schéma affine d’anneau A^{(i)}, où A^{(i)} est l’image de A dans A_{℘_{i}}. On obtient ainsi une décomposition de Σ comme réunion schématique des Σ^{(i)} :

Σ = ⋃_{i=1...e} Σ^{(i)}.

5.1.2 Métrisation des cônes tangents

On fera dans ce paragraphe l’hypothèse supplémentaire que le support de Σ est l’image P d’une section de Spec O_{K} dans ℙ_{E} (par exemple, Σ est l’un des Σ^{(i)} introduits dans le paragraphe précédent).

Soient ℑ_{P,Σ} et ℑ_{P,ℙ_{E}} les faisceaux d’idéaux définissant P comme sous-schéma fermé de Σ et de ℙ_{E}, respectivement. Si t est assez grand, on a ℑ_{P,Σ}^{t} = 0.

Le schéma P étant affine d’anneau Γ(P, O_{P}) = Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}/ℑ_{P,ℙ_{E}}) = O_{K}, on confondra indifféremment faisceaux cohérents sur P et O_{K}-modules de type fini.

On définit les cônes tangents en P à Σ et à ℙ_{E} respectivement comme les P -schémas affines

C_{P} Σ = Spec ⨁_{t≥0} Γ(P, ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1})

et

C_{P} ℙ_{E} = Spec ⨁_{t≥0} Γ(P, ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t}/ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t+1}).

On utilisera le lemme suivant, qui est en fait une conséquence de la lissité des espaces projectifs le long de leurs sections.

Lemme 5.1.2 Soient S un schéma noethérien et E un fibré vectoriel sur S. Notons ℙ = Proj Sym_{O_{S}}^{.} E. Soient P l’image schématique d’une section S ⟶ ℙ et ℑ_{P,ℙ} le faisceau d’idéaux définissant P. Alors pour tout entier t, le S-faisceau ℑ_{P,ℙ}^{t}/ℑ_{P,ℙ}^{t+1} est localement libre, et on a un isomorphisme naturel

ℑ_{P,ℙ}^{t}/ℑ_{P,ℙ}^{t+1} = Sym_{O_{S}}^{t}ℑ_{P,ℙ}/ℑ_{P,ℙ}^{2}.

Démonstration : Le résultat à prouver étant local sur S, on peut supposer que E est le fibré trivial de rang N + 1. En recouvrant ℙ^{N} par des ouverts principaux, on se ramène au cas où P est l’image de la section nulle de l’espace affine 𝔸^{N}, et alors le résultat est évident. □

En outre, on remarquera que, par [EGA] IV.17.2.5.1, ℑ_{P,ℙ_{E}}/ℑ_{P,ℙ_{E}}^{2} s’identifie naturellement à Ω_{ℙ_{E}/O_{K}}^{1}|_{P}, la fibre en P du faisceau des différentielles de ℙ_{E}. Pour alléger les notations, on notera Ω le O_{K}-module

Ω = Γ(P, Ω_{ℙ_{E}/O_{K}}^{1}|_{P}).

Si σ est un plongement de K dans ℂ, Ω_{σ} est l’espace cotangent à la variété complexe (ℙ_{E})_{σ}(ℂ) en P_{σ}. Il peut donc être muni du produit scalaire hermitien défini par la structure kählérienne sur (ℙ_{E})_{σ}(ℂ). Ceci définit sur Ω une structure de O_{K}-module hermitien, noté \overline{Ω}.

Compte tenu du lemme précédent, on peut faire l’identification

ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t}/ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t+1} = Sym_{O_{K}}^{t}Ω,

et munir ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t}/ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t+1} des métriques puissance symétrique induites. On obtient ainsi un fibré

vectoriel hermitien \overline{ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t}/ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t+1}} sur P.

On munit alors ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1} des métriques quotient induites par la surjection

ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t}/ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t+1} ↠ ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1}.

Définition 5.1.3 Avec les conventions précédentes, la hauteur (normalisée) du cône tangent à Σ en P est

h(C_{P} Σ) = ∑_{t≥0} d̂eg\overline{Γ(P, ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1})}.

5.2 Énoncé du théorème

On revient maintenant à la situation générale : Σ est un sous-schéma fermé de ℙ_{E} plat de dimension relative nulle sur Spec O_{K}. Fixons un plongement K ↪ \overline{K} de K dans sa clôture algébrique. Soient

p_{1}, …, p_{e} ∈ ℙ_{E}(\overline{K})

les points géométriques de la fibre générique de Σ.

Il existe une extension finie L de K telle que les points p_{1}, …, p_{e} soient définis sur L. On peut alors utiliser les notations du paragraphe 5.1.1 pour le sous-schéma Σ_{O_{L}} de ℙ_{E,O_{L}} déduit de Σ par extension de l’anneau de base. Remarquons déjà que les entiers

m_{p_{i}} = m_{p_{i}}(Σ_{O_{L}}) = m_{p_{i}}(Σ_{O\overline{K}})

et

r_{t,p_{i}} = r_{t,p_{i}}(Σ_{O_{L}}) = r_{t,p_{i}}(Σ_{O\overline{K}})

ne dépendent pas du choix de L.

Le schéma Σ_{O_{L}} est réunion schématique

Σ_{O_{L}} = ⋃_{i=1...e} Σ_{O_{L}}^{(i)}

des fermetures des localisés de sa fibre générique. Les supports des Σ_{O_{L}}^{(i)} sont les composantes irréductibles P_{i} du support de Σ_{O_{L}}, qui sont donc par hypothèse les images de sections de Spec O_{L}.

On peut alors appliquer les constructions du paragraphe 5.1.2 et munir les cônes tangents C_{P_{i}}Σ_{O_{L}}^{(i)} de structures hermitiennes.

Remarque 5.2.1 On prendra bien garde à ne pas confondre C_{P_{i}}Σ_{O_{L}}^{(i)} avec le cône tangent C_{P_{i}}Σ_{O_{L}} de Σ_{O_{L}} le long de P_{i}. En effet, bien qu’ils coïncident sur la fibre générique, le premier est en général seulement un sous-schéma fermé du second.

On vérifie facilement que la quantité

h(C_{tot}Σ) = ∑_{i} h(C_{P_{i}}Σ_{O_{L}}^{(i)})

ne dépend pas du choix de L. On l’appelle hauteur (normalisée, sur K) du cône tangent total de Σ.

Notons enfin Σ̃_{O_{L}} = ∐_{i} Σ_{O_{L}}^{(i)} le schéma réunion disjointe des Σ_{O_{L}}^{(i)} et ν : Σ̃_{O_{L}} ⟶ Σ_{O_{L}} le morphisme naturel. On vérifie aisément que ν induit un isomorphisme naturel (Σ̃_{O_{L}})_{L} = Σ_{L} et, par ailleurs, que Σ̃_{O_{L}}^{réd} est la normalisation de Σ_{O_{L}}^{réd}. En particulier, O_{Σ_{O_{L}}} est naturellement un sous-faisceau d’anneaux de ν_{∗}OΣ̃_{O_{L}}, et ces deux objets sont égaux sur la fibre générique ; autrement dit, ν_{∗}OΣ̃_{O_{L}} /O_{Σ_{O_{L}}} est un faisceau de torsion sur Σ_{O_{L}}.

On vérifie aisément que le réel

ramif^{log} (Σ) = \frac{1}{[L : ℚ]} log #Γ(Σ_{O_{L}}, ν_{∗}OΣ̃_{O_{L}} /O_{Σ_{O_{L}}})

ne dépend pas du choix de L. On l’appellera ramification logarithmique normalisée de Σ (sur K).

On peut alors énoncer le Théorème 5.2.2 Soit Σ un sous-schéma fermé de ℙ_{E} plat de dimension relative nulle et de longueur l sur Spec O_{K}. Alors, avec les notations précédentes, les hauteurs (normalisées) du sous-schéma Σ admettent le développement asymptotique

h^{(n)}(Σ) =_{n→∞} a.n + b. log n + c + O(n^{−1})

où

a = h\overline{O(1)}([Σ]) = ∑_{i} m_{p_{i}}.h(p_{i}),

b = \frac{1}{2} ∑_{i,t}(N + t).r_{t,p_{i}} = \frac{l}{2}.N + \frac{1}{2} ∑_{i,t} t.r_{t,p_{i}}

et

c = h(C_{tot}Σ) − ramif^{log} (Σ) − \frac{l}{2} log N! − \frac{1}{2} ∑_{i,t} r_{t,p_{i}}. log t!.

Indiquons les grandes lignes de la démonstration du théorème. Les hauteurs de sousschémas étant invariantes par extension de l’anneau de base, on peut supposer que les points géométriques p_{1}, …, p_{e} de Σ sont définis sur K, de telle sorte que h(C_{tot}Σ) = ∑_{i} h(C_{P_{i}}Σ^{(i)}) et ramif^{log} (Σ) = \frac{1}{[K:ℚ]} log #Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ}).

Le morphisme

ν : Σ̃ = ∐_{i} Σ^{(i)} ⟶ Σ = ⋃_{i} Σ^{(i)}

induit un morphisme de O_{K}-modules

ψ_{n} : Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) ⟶ ⨁_{i} Γ(Σ^{(i)}, O(n)|_{Σ^{(i)}}) = Γ(Σ̃, ν^{∗}O(n))

obtenu en prenant la somme directe des morphismes de restriction.

Par construction, si l’on se restreint à la fibre générique, la réunion

Σ_{K} = ∐_{i=1...e}(Σ^{(i)})_{K} = ∐_{i=1...e} Σ_{p_{i}}

est disjointe, de telle sorte que le morphisme ψ_{n,K} est un isomorphisme de K-espaces vectoriels.

Par le lemme 1.4.1 on peut donc écrire

h^{(n)}(Σ) = d̂eg\overline{Γ(Σ, O(n)|_{Σ})}

= ∑_{i} d̂eg\overline{Γ(Σ^{(i)}, O(n)|_{Σ^{(i)}})} + \frac{1}{[K : ℚ]}(∑_{𝔭}log ∥ψ_{n}∥_{𝔭} + ∑_{σ} log ∥ψ_{n}∥_{σ}), (5.2.1)

où 𝔭 parcourt les idéaux premiers de O_{K} et σ parcourt les plongements de K dans ℂ. Compte tenu de la définition des hauteurs de sous-schémas, on a

d̂eg\overline{Γ(Σ^{(i)}, O(n)|_{Σ^{(i)}})} = h^{(n)}(Σ^{(i)}).

Ainsi, pour démontrer le théorème 5.2.2, il suffit, d’une part de savoir le démontrer pour les Σ^{(i)}, ou, plus généralement, de savoir démontrer le théorème sous l’hypothèse supplémentaire que le support de Σ est une section, ce qui fait l’objet de la proposition 5.2.3 ; d’autre part, de savoir estimer les normes de ψ_{n} (ou, en fait, certaines de leurs sommes) aux places finies et infinies, ce qui fait l’objet des propositions 5.2.4 et 5.2.5.

Proposition 5.2.3 Sous les hypothèses du théorème 5.2.2, si l’on suppose en outre que le support de Σ est une section P de Spec O_{K}, les hauteurs schématiques de Σ admettent le développement asymptotique

h^{(n)}(Σ) =_{n→∞} a.n + b. log n + c + O(n^{−1})

où a = h\overline{O(1)}([Σ]) = l.h\overline{O(1)}([P]),

b = \frac{1}{2} ∑_{t}(N + t).r_{t,P} = \frac{l}{2}.N + \frac{1}{2} ∑_{t} t.r_{t,P}

et

c = h(C_{P} Σ) − \frac{l}{2} log N! − \frac{1}{2} ∑_{t} r_{t,P} . log t!.

Proposition 5.2.4 Avec les notations introduites après l’énoncé du théorème 5.2.2, on a, pour tout idéal premier 𝔭 de O_{K} :

log ∥ψ_{n}∥_{𝔭} = − log #(ν_{∗}OΣ̃ / O_{Σ})_{𝔭}.

En particulier, cette quantité est nulle pour presque tout 𝔭.

Proposition 5.2.5 Avec les notations précédentes, il existe un réel ϵ < 1 tel que, pour tout σ, on ait

log ∥ψ_{n}∥_{σ} =_{n→∞} O(ϵ^{n}).

Compte tenu de (5.2.1), on vérifie bien que ces propositions impliquent le théorème 5.2.2. La démonstration de ces trois propositions fait l’objet des deux sections suivantes.

5.3 Cas où le support est une section

Le but de cette partie est de démontrer la proposition 5.2.3.

5.3.1 Filtration

On suppose ici que le support de Σ est un sous-schéma P, image d’une section de Spec O_{K} dans ℙ_{E}. Cette section détermine un sous-fibré F de E, localement libre de rang N, et tel que E/F soit localement libre de rang 1.

Si n est un entier assez grand, on munit les modules Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) et Γ(ℙ_{E}, O(n)) des filtrations

F il^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) = Γ(Σ, ℑ_{P}^{t} O(n)|_{Σ})

et

F il^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n)) = Γ(ℙ_{E}, ℑ_{P}^{t} O(n)).

Les gradués associés gr^{.} seront munis des métriques de sous-quotients (on remarquera que, par transitivité des métriques de sous-quotients lors du passage à des sous-quotients emboîtés, puisque le O_{K}-module Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) est déjà muni des métriques quotient de celles de Γ(ℙ_{E}, O(n)), on peut considérer indifféremment F il^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) comme un sous-quotient de Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) ou de Γ(ℙ_{E}, O(n))).

Avec les notations de la partie précédente, puisque le schéma Σ est affine et que le fibré O(1) est inversible, on a

r_{t}(Σ) = r_{t,P} (Σ) = rg_{O_{K}} gr^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ}).

Cette dernière quantité ne dépend donc pas de n.

Lemme 5.3.1 On a

h^{(n)}(Σ) = ∑_{t≥0} d̂eg (\overline{gr^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ})}) .

Démonstration : C’est une conséquence immédiate de la définition des hauteurs des sous-schémas, et de l’additivité du degré arakelovien. □

5.3.2 Un théorème de presque-isométrie

Pour tout t on a une surjection naturelle

gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n)) ↠ gr^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ}).

On note K_{t}(n) le noyau de cette surjection, et on munit gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))/K_{t}(n) des métriques quotient. Ainsi on a un isomorphisme de O_{K}-modules projectifs de type fini

β_{n,t} : gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))/K_{t}(n) ⟶^{∼} gr^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ})

qui n’est en général pas isométrique.

On a alors

d̂eg (\overline{gr^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ})})

= d̂eg (\overline{gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))/K_{t}(n)}) − \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ:K↪ℂ}log ∥ det β_{n,t}∥_{σ}. (5.3.1)

On se propose maintenant d’estimer ces ∥ det β_{n,t}∥_{σ}. Ayant fixé un plongement σ de K dans ℂ, on obtient un problème purement archimédien. On pourra donc supposer que E est un espace hermitien de dimension N + 1, que Σ est un sous-schéma fermé de l’espace projectif complexe ℙ_{E} dont le support est un point, et faire les constructions analogues à celles qui précèdent.

Théorème 5.3.2 Sous ces hypothèses, pour tout t fixé, on a quand n tend vers l’infini :

∥ det β_{n,t}∥ = 1 − O(n^{−1}).

Démonstration : Soient Δ l’orthogonal de F dans E (où F est l’hyperplan de E défini par P), et δ un générateur unitaire de Δ. D’après la proposition 1.3.5, l’espace A(n) = Γ(ℙ_{E}, O(n)) admet une décomposition en somme directe orthogonale

A(n) = ⨁_{0≤s≤n}^{⊥} A(n)_{s}

où A(n)_{s} est l’image de l’application composée

S^{s}F ⊗ Δ^{⊗n−s} ↪ S^{n}E ⟶^{∼} A(n).

En outre, l’égalité

F il^{t}A(n) = ⨁_{t≤s≤n}^{⊥} A(n)_{s}

induit des identifications naturelles isométriques valables pour tout n assez grand

Γ(ℙ_{E}, O(n))/Γ(ℙ_{E}, ℑ_{P}^{t+1}O(n)) = A(n)/F il^{t+1}A(n) = ⨁_{0≤s≤t}^{⊥} A(n)_{s}

et

A(n)_{s} = gr^{s}Γ(ℙ_{E}, O(n)).

On note

I_{Σ}(n) = Γ(ℙ_{E}, ℑ_{Σ}O(n)) ⊂ A(n).

Posons alors H_{0} = A(n) / ((F il^{t}A(n) ∩ I_{Σ}(n)) + F il^{t+1}A(n)) Y_{0} = F il^{t}A(n) / ((F il^{t}A(n) ∩ I_{Σ}(n)) + F il^{t+1}A(n)) Z_{0} = A(n) / F il^{t}A(n) = (F il^{t}A(n))^{⊥} T_{0} = (I_{Σ}(n) + F il^{t+1}A(n)) / ((F il^{t}A(n) ∩ I_{Σ}(n)) + F il^{t+1}A(n)).

On a ainsi par construction

H_{0} = Y_{0} ⊕^{⊥} Z_{0}

et

T_{0} ∩ Y_{0} = {0}.

En outre, on a des isomorphismes isométriques naturels

gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))/K_{t}(n) = Y_{0}

et

gr^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) = (Y_{0} + T_{0})/T_{0}.

Ainsi la quantité ∥ det β_{n,t}∥ à estimer est égale à la norme du déterminant de l’isomorphisme

Y_{0} ⟶^{∼} (Y_{0} + T_{0})/T_{0},

ou encore :

∥ det β_{n,t}∥ = d_{Y_{0},T_{0}}

où d_{Y_{0},T_{0}} est la norme du déterminant de l’isomorphisme

Y_{0} × T_{0} ⟶^{∼} Y_{0} + T_{0}

défini dans la section 1.2.2.

Soit d un entier (qu’on fera ensuite tendre vers l’infini). De la même façon que précédemment, posons

H_{1} = A(n + d) / ((F il^{t}A(n + d) ∩ I_{Σ}(n + d)) + F il^{t+1}A(n + d))

Y_{1} = F il^{t}A(n + d) / ((F il^{t}A(n + d) ∩ I_{Σ}(n + d)) + F il^{t+1}A(n + d))

Z_{1} = A(n + d) / F il^{t}A(n + d)

T_{1} = (I_{Σ}(n + d) + F il^{t+1}A(n + d)) / ((F il^{t}A(n + d) ∩ I_{Σ}(n + d)) + F il^{t+1}A(n + d)), et considérons l’application

φ : H_{0} ⟶ H_{1}

induite par l’application m_{δ^{⊗d}} de multiplication par δ^{⊗d} sur A(n).

L’application m_{δ^{⊗d}} envoie A(n) dans A(n + d), préserve les filtrations de ces espaces et envoie I_{Σ}(n) dans I_{Σ}(n + d). En outre, elle envoie bijectivement Γ(ℙ_{E}, O(n)/ℑ_{P}^{t+1}O(n)) sur Γ(ℙ_{E}, O(n + d)/ℑ_{P}^{t+1}O(n + d)). Ceci implique que φ est bijective, et vérifie : φ(Y_{0}) = Y_{1}, φ(Z_{0}) = Z_{1}, φ(T_{0}) = T_{1}.

L’espace Z_{0} est somme directe orthogonale

Z_{0} = ⨁_{0≤s≤t−1}^{⊥} A(n)_{s}

de sous-espaces caractéristiques de m_{δ^{⊗d}}, de valeurs caractéristiques associées

λ_{s} = (\frac{(n + N).(n + N − 1) … (n − s + 1)}{(n + d + N).(n + d + N − 1) … (n + d − s + 1)})^{1/2}

(cf. proposition 1.3.5). On remarque que la suite des λ_{s} est décroissante, de telle sorte qu’en posant

ζ_{φ} = λ_{t−1},

on a

∥φ(z_{0})∥ ≥ ζ_{φ}∥z_{0}∥

pour tout z_{0} ∈ Z_{0}.

Par ailleurs Y_{0} est un quotient de l’espace caractéristique A(n)_{t}, sur lequel m_{δ^{⊗d}} est une similitude de rapport λ_{t}. Ainsi, en posant

η_{φ} = λ_{t}, on a

∥φ(y_{0})∥ = η_{φ}∥y_{0}∥

pour tout y_{0} ∈ Y_{0}.

Les hypothèses de la proposition 1.2.28 sont toutes vérifiées, et l’on peut appliquer le corollaire 1.2.29 et l’estimation (1.3.2) qui donnent

1 ≥ ∥ det β_{n+d,t}∥ = d_{Y_{1},T_{1}} ≥ (1 − (1 + κ_{0}^{2} \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} )^{−1})^{1/2. min(dim Y_{1},dim T_{1})} = …

⋯ = (1 − (1 + κ_{0}^{2} \frac{λ_{t−1}^{2}}{λ_{t}^{2}} )^{−1})^{1/2. min(dim Y_{1},dim T_{1})} =_{d→∞} 1 − O(d^{−1})

ce qu’il fallait démontrer. □

Remarque 5.3.3 Compte tenu de la proposition 1.2.21, on obtient un résultat plus fin : pour t fixé, toutes les valeurs caractéristiques de β_{n,t} sont dans un intervalle de la forme [1 − O(n^{−1}), 1] lorsque n tend vers l’infini. Ainsi on peut considérer d’une certaine façon que β_{n,t} tend à devenir une isométrie.

On notera donc que, dans le cas particulier étudié ici, le théorème constitue une version considérablement renforcée de la proposition 3.1.14.

5.3.3 Conclusion

Il s’agit maintenant d’estimer le terme d̂eg\overline{gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))/K_{t}(n)} de la formule (5.3.1).

Proposition 5.3.4 On a

d̂eg\overline{gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))/K_{t}(n)}

= n.r_{t}.h\overline{O(1)}(P) + d̂eg\overline{Γ(P, ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1})} + \frac{r_{t}}{2} . log (\frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!}) ,

où \overline{ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1}}, considéré comme O_{K}-module métrisé, est la t-ième composante de l’algèbre du cône tangent à Σ en P, munie des métriques utilisées dans la définition 5.1.3, et où r_{t} est le rang de ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1}.

Démonstration : Notons \overline{Ω} le O_{K}-module hermitien

Ω = Ω_{ℙ_{E}/O_{K}}^{1}|_{P} = Γ(P, ℑ_{P,ℙ_{E}}/ℑ_{P,ℙ_{E}}^{2})

muni à l’infini des produits scalaires hermitiens définis par la métrique kählérienne sur le fibré cotangent de ℙ_{E}(ℂ), comme cela a été indiqué dans le paragraphe 5.1.2.

Le schéma P étant affine et canoniquement isomorphe à Spec O_{K}, on considérera indifféremment tous les objets en jeu soit comme des faisceaux cohérents sur P, soit comme des O_{K}-modules de type fini. On a alors des isomorphismes naturels valables pour tout entier n assez grand :

gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n)) = ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t}/ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t+1} ⊗ O(n)|_{P} = S^{t}Ω ⊗ O(n)|_{P}

et

gr^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) = ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1} ⊗ O(n)|_{P}

qui induisent un diagramme commutatif

0 ⟶ K_{t}(n) ⟶ gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n)) ⟶ gr^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) ⟶ 0
f↓^{≃}  ↓^{≃}
S^{t}Ω ⊗ O(n)|_{P} ⟶^{π} ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1} ⊗ O(n)|_{P} ⟶ 0

d’où un isomorphisme (non isométrique en général)

g : gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))/K_{t}(n) ⟶^{∼} ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1} ⊗ O(n)|_{P}

induit par f. On en déduit l’égalité

d̂eg\overline{gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))/K_{t}(n)}

= d̂eg\overline{Γ(P, ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1} ⊗ O(n))} + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ} log ∥ det g∥_{σ}

= r_{t}.d̂eg\overline{Γ(P, O(n))} + d̂eg\overline{Γ(P, ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1})} + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ} log ∥ det g∥_{σ}

= n.r_{t}.h\overline{O(1)}(P) + d̂eg\overline{Γ(P, ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1})} + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ} log ∥ det g∥_{σ}.

Pour terminer la démonstration de la proposition, il faut calculer les ∥ det g∥_{σ}. Fixons donc une place σ, et munissons tous les objets des structures hermitiennes associées.

Le point P définit un hyperplan F de E, et on a un isomorphisme de ℂ-espaces vectoriels

κ : T_{P,ℂ}^{∗}ℙ_{E} = Ω = I_{P,ℙ_{E}}/I_{P,ℙ_{E}}^{2} ≃ F ⊗ O(−1)|_{P} .

Le terme de gauche de cet isomorphisme est muni du produit scalaire défini par la métrique kählérienne, tandis que le terme de droite est muni du produit scalaire induit par celui de E et par la métrique de Fubini-Study.

Lemme 5.3.5 L’isomorphisme κ est une isométrie.

Démonstration : Quitte à choisir une base orthonormale de E, on peut supposer que ℙ_{E} est l’espace projectif standard ℙ^{N}. Par invariance du problème sous les transformations unitaires, on peut supposer que P est le point de coordonnées homogènes (1 : 0 : …: 0). Alors F ⊗ O(−1)|_{P} s’identifie à l’espace ℂ^{N} muni du produit scalaire canonique, tandis que, si l’on note (dz_{j})_{j} les coordonnés sur ℂ^{N}, le produit scalaire sur T_{P,ℂ}^{∗}ℙ_{E} est donné par la 2-forme i/2π. ∑_{j} dz_{j} ∧ \overline{dz_{j}}. Compte tenu des conventions (1.1.5) et (1.1.6), ces deux métriques sont égales. □

Lemme 5.3.6 L’isomorphisme

f : gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n)) ⟶^{∼} S^{t}Ω ⊗ O(n)|_{P}

est une similitude de rapport

(\frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!})^{1/2} .

Démonstration : On utilise la factorisation de f en

gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n)) ⟶^{∼} S^{t}F ⊗ O(n − t)|_{P} ⟶^{(S^{t}κ⊗1)^{−1}} S^{t}Ω ⊗ O(n)|_{P} .

Par la formule (1.3.1), la première flèche est une similitude de rapport (\frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!})^{1/2},

tandis que par le lemme précédent, S^{t}κ ⊗ 1 est une isométrie, ce qui donne le résultat. □

Terminons maintenant la démonstration de la proposition. La métrique sur ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1} ⊗ O(n)|_{P} étant la métrique quotient induite par π, on trouve que g est définie par passage au quotient de la similitude f. Ainsi g est une similitude de même rapport, et on a

log ∥ det g∥ = \frac{1}{2}. rg(g). log (\frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!}) = \frac{r_{t}}{2} . log (\frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!}) ,

ce qu’il fallait démontrer. □

On est maintenant en mesure de démontrer la proposition 5.2.3. En mettant bout à bout le lemme 5.3.1, la formule (5.3.1), le théorème 5.3.2 et la proposition 5.3.4, on trouve

h^{(n)}(Σ) = ∑_{t≥0} d̂eg (\overline{gr^{t}Γ(Σ, O(n)|_{Σ})})

= ∑_{t≥0} d̂eg (\overline{gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))/K_{t}(n)}) + O(n^{−1})

= ∑_{t≥0} (n.r_{t}.h\overline{O(1)}(P) +

+ d̂eg\overline{Γ(P, ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1})} + \frac{r_{t}}{2} . log (\frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!}) + O(n^{−1})).

En utilisant l’identité

log \frac{(n + N)!}{(n − t)!} =_{n→∞} (N + t). log n + O(n^{−1})

on trouve

h^{(n)}(Σ) = a.n + b. log n + c + O(n^{−1})

avec :

a = ∑_{t≥0} r_{t}.h\overline{O(1)}(P) = l.h\overline{O(1)}(P) = h\overline{O(1)}([Σ]),

b = \frac{1}{2} ∑_{t≥0} (N + t).r_{t} = \frac{l}{2}.N + \frac{1}{2} ∑_{t≥0} t.r_{t}

et

c = ∑_{t≥0} d̂eg\overline{Γ(P, ℑ_{P,Σ}^{t}/ℑ_{P,Σ}^{t+1})} − ∑_{t≥0} \frac{r_{t}}{2} log(N!t!)

= h(C_{P} Σ) − \frac{l}{2} log N! − \frac{1}{2} ∑_{t≥0} r_{t}. log t!.

Ceci démontre la proposition 5.2.3.

5.4 Déduction du cas général

5.4.1 Étude aux places non-archimédiennes

On se propose ici de démontrer la proposition 5.2.4. On reprend donc les notations du paragraphe 5.2 et on se donne 𝔭 un point fermé de Spec O_{K}.

Définition 5.4.1 On appelle anneau semi-local un anneau n’ayant qu’un nombre fini d’idéaux maximaux. Un schéma X sera dit semi-local si X est le spectre d’un anneau semi-local. Il revient au même de dire que X est affine et n’a qu’un nombre fini de points fermés.

Ainsi, tout schéma fini sur le spectre d’un anneau local est semi-local. En particulier, Σ_{𝔭} = Σ ⊗_{O_{K}} O_{K,𝔭} est semi-local.

Proposition 5.4.2 Soit X un schéma semi-local. Alors tout fibré en droites L sur X est trivial.

Démonstration : Notons x_{1}, …, x_{r} les points fermés de X. Par le théorème chinois, pour tout i, il existe f_{i} ∈ Γ(X, O_{X}) telle que pour tout j, on ait f_{i}(x_{j}) = δ_{ij} dans le corps résiduel de x_{j}. Par ailleurs, puisque X est affine, en tout point L est engendré par ses sections globales. Alors si l_{i} est une section globale de L engendrant L en x_{i}, l = x_{1}l_{1} + ⋯ + x_{r}l_{r} est une section globale de L l’engendrant en tout point. Ceci démontre que L = O_{X}.l est trivial. □

On est maintenant en mesure de prouver la proposition 5.2.4. Puisque Σ est affine sur Spec O_{K}, pour tout fibré en droites L sur Σ, on a un isomorphisme naturel

Γ(Σ, L)_{𝔭} = Γ(Σ_{𝔭}, L),

et il en est de même pour Σ̃. Soit maintenant l une section de Γ(Σ_{𝔭}, O(n)) qui trivialise O(n) sur Σ_{𝔭}. Alors ν^{∗}l trivialise ν^{∗}O(n) sur Σ̃, et le diagramme suivant est commutatif :

Γ(Σ_{𝔭}, O_{Σ_{𝔭}}) ⟶^{ψ_{0,𝔭}} Γ(Σ̃_{𝔭}, OΣ̃_{𝔭})
l↓^{≃}  _{ν^{∗}l}↓^{≃}
Γ(Σ_{𝔭}, O(n)) ⟶^{ψ_{n,𝔭}} Γ(Σ̃_{𝔭}, ν^{∗}O(n)).

Or ψ_{0,𝔭} s’identifie canoniquement à l’injection naturelle O_{Σ_{𝔭}} ⟶ ν_{∗}OΣ̃_{𝔭}. Ainsi ψ_{0,𝔭} et ψ_{n,𝔭} sont toutes deux injectives et ont des conoyaux isomorphes, de telle sorte que

∥ψ_{n}∥_{𝔭} = #(coker ψ_{n,𝔭})^{−1} = #(coker ψ_{0,𝔭})^{−1} = #(ν_{∗}OΣ̃ / O_{Σ})_{𝔭}^{−1},

ce qu’il fallait démontrer.

5.4.2 Étude aux places archimédiennes

On se propose ici de démontrer la proposition 5.2.5. En fait, le problème étant purement archimédien, on va démontrer le résultat suivant, un peu plus général :

Proposition 5.4.3 Soient E un espace hermitien de dimension N +1 et Σ un sous-schéma fermé de ℙ_{E} qui est réunion (disjointe) d’un nombre fini de sous-schémas Σ_{1}, …, Σ_{e} dont les supports respectifs sont des points p_{1}, …, p_{e} (ainsi Σ est de dimension 0). Pour tout entier n assez grand, munissons Γ(Σ, O(n)) ainsi que les Γ(Σ_{i}, O(n)) des normes quotient de la norme L^{2} sur Γ(ℙ_{E}, O(n)). Alors il existe un réel ϵ ∈ [0, 1[ tel que, pour tout n assez grand, la norme du déterminant de l’application naturelle

ψ_{n} : Γ(Σ, O(n)) ⟶ ∏_{1≤i≤e}^{⊥} Γ(Σ_{i}, O(n))

soit dans l’intervalle [1 − ϵ^{n}, 1].

Pour démontrer cette proposition, il nous faut établir quelques lemmes et résultats préliminaires. Pour tout i, notons F_{i} l’hyperplan de E représenté par p_{i} et Δ_{i} l’orthogonal de F_{i}. Choisissons un élément s_{i} de norme 1 dans Δ_{i}. Alors, grâce à l’isomorphisme naturel E ≃ Γ(ℙ_{E}, O(1)), on peut considérer s_{i} comme une section globale de O(1), de norme (N + 1)^{−1/2} (cf. lemme 1.3.4). On a alors ∥s_{i}∥(p_{i}) = 1 et ∥s_{i}∥(p) < 1 si p ≠ p_{i}. En outre, les p_{i} étant deux à deux distincts, on peut trouver des voisinages U_{i} de p_{i} (pour la topologie complexe) deux à deux disjoints. Il existe alors un réel η < 1 tel que, pour tout i, on ait ∥s_{i}∥(p) < η pour tout p ∉ U_{i}. Ceci implique que pour tout couple d’indices (i, j) avec i ≠ j, et pour tout p ∈ ℙ_{E}, on a

| < s_{i}, s_{j} >_{F S} (p)| < η.  (5.4.1)

Soit l la longueur de Σ. Notons ℑ_{p_{i}} le faisceau d’idéaux définissant p_{i} comme sousschéma fermé de ℙ_{E} et p_{i}^{<l>} le sous-schéma obtenu en épaississant p_{i} à l’ordre l, c’est-à-dire le sous-schéma fermé de ℙ_{E} défini par le faisceau d’idéaux ℑ_{p_{i}}^{l}. Alors pour tout i, Σ_{i} est un sous-schéma fermé de p_{i}^{<l>}.

Soit n un entier assez grand. La présence du produit scalaire L^{2} sur Γ(ℙ_{E}, O(n)) permet d’identifier Γ(Σ, O(n)) ainsi que les Γ(Σ_{i}, O(n)) et les Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) à des sous-espaces de Γ(ℙ_{E}, O(n)), plus précisément aux orthogonaux des noyaux des surjections correspondantes. En outre, par transitivité des normes quotient, cette identification fait de Γ(Σ_{i}, O(n)) un sous-espace de Γ(Σ, O(n)) et de Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)).

Si l’on note A(n) = Γ(ℙ_{E}, O(n)), conformément aux notations du paragraphe 1.3.2 on obtient pour tout i une filtration décroissante

F il_{i}^{t}A(n) = Γ(ℙ_{E}, ℑ_{p_{i}}^{t}O(n))

sur A(n) définie par l’ordre d’annulation en p_{i}, et pour chaque t, le gradué associé A(n)_{t,i} = F il_{i}^{t}A(n)/F il_{i}^{t+1}A(n) s’identifie canoniquement à l’image de l’application composée naturelle

S^{t}F_{i} ⊗ Δ_{i}^{⊗n−t} ⟶ S^{n}E ⟶^{∼} A(n).

Ceci implique notamment que, pour l ≥ 1,

Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) = F il_{i}^{l}A(n)^{⊥} = ⨁_{0≤k<l}^{⊥} A(n)_{k,i}

s’identifie canoniquement à l’image de l’application composée naturelle

S^{l−1}E ⊗ Δ_{i}^{⊗n−l+1} ⟶ S^{n}E ⟶^{∼} A(n).

Autrement dit, si on note

m_{s_{i}^{n−l+1}} : A(l − 1) ⟶ A(n)

l’application définie par la multiplication par s_{i}^{n−l+1} ∈ A(n − l + 1), on a

Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) = m_{s_{i}^{n−l+1}}(A(l − 1)).

Lemme 5.4.4 Si i ≠ j, il existe un réel ϵ < 1 tel que, si n est assez grand, en considérant Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) et Γ(p_{j}^{<l>}, O(n)) comme des sous-espaces de A(n), la norme de la projection orthogonale de Γ(p_{j}^{<l>}, O(n)) sur Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) vérifie la majoration suivante :

∥p_{Γ(p_{i}^{<l>},O(n))}|_{Γ(p_{j}^{<l>},O(n))}∥ ≤ ϵ^{n}.

Démonstration : Par la proposition 1.3.5 et par la remarque qui la suit, les A(l−1)_{k,i} pour 0 ≤ k < l sont les espaces caractéristiques de l’application de multiplication par s_{i}^{n−l+1}

m_{s_{i}^{n−l+1}} : Γ(p_{i}^{<l>}, O(l − 1)) ⟶ Γ(p_{i}^{<l>}, O(n))

et la plus petite des valeurs caractéristiques λ(n)_{k,i} associées vérifie une minoration de la forme

λ(n)_{l−1,i} >_{n→∞} c.n^{− \frac{1}{2} (N+l−1)}.

Ainsi il existe une constante c > 0 telle que si n est assez grand, tout élément

t_{i} ∈ Γ(p_{i}^{<l>}, O(n))

s’écrive de façon unique

t_{i} = s_{i}^{n−l+1}.u_{i}

pour u_{i} ∈ Γ(p_{i}^{<l>}, O(l − 1)), et on a

∥t_{i}∥ ≥ c.n^{− \frac{1}{2} (N+l−1)}∥u_{i}∥.

D’autre part, considérons

t_{j} = s_{j}^{n−l+1}.u_{j} ∈ Γ(p_{j}^{<l>}, O(n)).

Appliquant (5.4.1) et l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on trouve :

| < t_{i}, t_{j} > | = |∫_{ℙ_{E}} < t_{i}, t_{j} >_{F S} (p)dμ(p)|
= |∫_{ℙ_{E}} < u_{i}, u_{j} >_{F S} (p)(< s_{i}, s_{j} >_{F S} (p))^{n−l+1}dμ(p)|
≤ ∫_{ℙ_{E}} | < u_{i}, u_{j} >_{F S} (p)|.η^{n−l+1}dμ(p)
≤ ∥u_{i}∥.∥u_{j}∥.η^{n−l+1}.

Alors, pour tout choix de ϵ dans l’intervalle ]η, 1[, on a, grâce aux inégalités précédentes et si n est assez grand :

∥p_{Γ(p_{i}^{<l>},O(n))}|_{Γ(p_{j}^{<l>},O(n))}∥ = min_{\begin{matrix}t_{i}∈Γ(p_{i}^{<l>},O(n))∖\{0\} \\ t_{j}∈Γ(p_{j}^{<l>},O(n))∖\{0\} \end{matrix}} \frac{< t_{i}, t_{j} >}{∥t_{i}∥.∥t_{j}∥}

≤ min_{\begin{matrix}u_{i}∈Γ(p_{i}^{<l>},O(l))∖\{0\} \\ u_{j}∈Γ(p_{j}^{<l>},O(l))∖\{0\} \end{matrix}} \frac{∥u_{i}∥.∥u_{j}∥.η^{n−l+1}}{∥u_{i}∥.∥u_{j}∥.c^{2}.n^{−(N+l−1)}}

≤ ϵ^{n},

ce qu’il fallait démontrer. □

Lemme 5.4.5 Si i ≠ j, il existe un réel ϵ < 1 tel que, si n est assez grand, en considérant Γ(Σ_{i}, O(n)) et Γ(Σ_{j}, O(n)) comme des sous-espaces de A(n), la norme de la projection orthogonale de Γ(Σ_{j}, O(n)) sur Γ(Σ_{i}, O(n)) vérifie la majoration suivante :

∥p_{Γ(Σ_{i},O(n))}|_{Γ(Σ_{j},O(n))}∥ ≤ ϵ^{n}.

Démonstration : Puisque pour tout k, Γ(Σ_{k}, O(n)) est un sous-espace de Γ(p_{k}^{<l>}, O(n)), on a

∥p_{Γ(Σ_{i},O(n))}|_{Γ(Σ_{j},O(n))}∥ ≤ ∥p_{Γ(p_{i}^{<l>},O(n))}|_{Γ(p_{j}^{<l>},O(n))}∥.

On conclut alors en appliquant le lemme précédent. □

On est maintenant en mesure de démontrer la proposition. En posant H = Γ(Σ, O(n)) et H_{i} = Γ(Σ_{i}, O(n)), l’application ψ_{n} est égale à l’application

\begin{aligned}γ_{H_{1},...,H_{e}} : & H & ⟶ & H_{1} × ⋯ × H_{e} \\ & x & ⟼ & (p_{H_{1}}(x), …, p_{H_{e}}(x)) \end{aligned}

dont les composantes sont les projections orthogonales sur H_{1}, …, H_{e}. Par le lemme 1.2.22 et la proposition 1.2.4, la norme du déterminant de γ est égale à la quantité d_{H_{1},...,H_{e}} introduite au paragraphe 1.2.3. Alors l’encadrement souhaité sur d_{H_{1},...,H_{e}} est fourni directement par le corollaire 1.2.27 à partir du lemme précédent.

5.5 Applications

5.5.1 Hauteurs des matrices d’interpolation

Le but de cette partie est de résoudre une question posée par Michel Laurent dans [38] à propos du terme constant du développement asymptotique des hauteurs de matrices d’interpolation. On montre que ces hauteurs s’interprètent naturellement en termes de hauteurs de sous-schémas, auxquelles on peut alors appliquer le théorème 5.2.2. On donne ensuite diverses interprétations de ce terme constant en fonction de la géométrie des sous-schémas mis en jeu.

Soient K un corps de nombres et O_{K} l’anneau des entiers de K. Soient l et N deux entiers, et α_{μ} (1 ≤ μ ≤ l) des points de ℙ^{N}(K) deux à deux distincts. Notons Z l’adhérence de la réunion des α_{μ} dans ℙ_{O_{K}}^{N}. C’est un sous-schéma fermé, plat de dimension relative zéro sur Spec O_{K}, et de longueur l.

Pour tout μ ∈ {1, …, l}, choisissons des coordonnées homogènes

(α_{μ,0} : …: α_{μ,N})

de α_{μ}, à valeurs dans K. Pour tout entier n, ceci permet de définir une application d’évaluation

\begin{aligned}A_{n} : & K[X_{0}, …, X_{N}]_{n} & ⟶ & K^{l} \\ & P & ↦ & (P (α_{μ,0}, …, α_{μ,N}))_{1≤μ≤l} \end{aligned}

où K[X_{0}, …, X_{N}]_{n} est le K-espace vectoriel des polynômes homogènes de degré n en les variables X_{0}, …, X_{N}. Pour tout plongement σ de K dans ℂ, on identifie K[X_{0}, …, X_{N}]_{n} ⊗_{σ} ℂ au produit symétrique Sym^{n}(ℂ^{N+1}) au moyen de la base formée des monômes en X_{0}, …, X_{N}, et on le munit du produit scalaire hermitien puissance symétrique n-ième du produit scalaire hermitien standard sur ℂ^{N+1}. On munit aussi K^{l} ⊗_{σ} ℂ = ℂ^{l} du produit scalaire hermitien standard.

Dans [38] on définit la fonction de Hilbert-Samuel arithmétique f_{Z} de Z par la formule

f_{Z}(n) = h(A_{n})

où h(A_{n}) est la hauteur (normalisée) de l’application linéaire A_{n}, c’est-à-dire

h(A_{n}) = \frac{1}{[K : ℚ]}( ∑_{σ:K↪ℂ}log ∥ ⋀^{l} A_{n}∥_{σ} + ∑_{𝔭∈Spec O_{K}} log ∥ ⋀^{l} A_{n}∥_{𝔭})

(pour que ceci ait un sens il faut supposer que A_{n} est de rang maximal, ce qui est le cas dès que n est assez grand). Par la formule du produit, cette expression ne dépend bien que du sous-schéma Z, et pas des choix des coordonnées projectives des points.

Il est démontré dans [38] qu’il existe une constante, notée χ(O_{Z}) (par analogie avec le théorème de Hilbert-Samuel classique pour les courbes algébriques), telle que la fonction f_{Z} admette le développement asymptotique

f_{Z}(n) =_{n→∞} nh([Z]) + χ(O_{Z}) + o(1),

où h([Z]) = h\overline{O(1)}([Z]) = (ĉ_{1}(\overline{O(1)})^{N}.[Z]) est la hauteur du cycle associé à Z. Il y est demandé d’interpréter cette constante en fonction de la ramification de Z sur Spec O_{K}, notamment en fonction du faisceau des différentielles relatives Ω_{Z/ Spec O_{K}}. On se propose ici, dans un premier temps, de relier la fonction f_{Z} aux hauteurs du sous-schéma Z et, dans un second temps, de fournir l’interprétation souhaitée de ce terme constant χ(O_{Z}).

Proposition 5.5.1 Sous les hypothèses précédentes, on a, pour tout n assez grand :

f_{Z}(n) = h^{(n)}(Z) − \frac{l}{2} log \binom{N + n}{N},

où h^{(n)}(Z) est la hauteur du sous-schéma Z de l’espace projectif ℙ_{O_{K}}^{N} relativement au fibré O(n) muni de la métrique de Fubini-Study.

Démonstration : Notons \overline{E}_{n} le O_{K}-module hermitien Γ(ℙ_{O_{K}}^{N}, O(n)) muni des normes ∥.∥_{L^{2}(ℙ_{σ}^{N})}. Notons \overline{F}_{n} le O_{K}-module hermitien Sym^{n}(O_{K}^{N+1}) tel que, pour tout plongement σ : K ↪ ℂ, le ℂ-espace vectoriel Sym^{n}(O_{K}^{N+1})_{σ} = Sym^{n}(ℂ^{N+1}) soit muni de la norme puissance symétrique de la norme standard de ℂ^{N+1}. Notons enfin \overline{G} le O_{K}-module hermitien (O_{K})^{l} muni des normes standard. Soit

φ : E_{n} ⟶^{∼} F_{n}

l’isomorphisme de O_{K}-modules déterminé par la base X_{0}, …, X_{N} de Γ(ℙ_{O_{K}}^{N}, O(1)). Par définition, A_{n} définit une application K-linéaire

A_{n} : (F_{n})_{K} ⟶ G_{K}

qui s’insère dans un diagramme commutatif

(E_{n})_{K}  ⟶^{φ_{K}} (F_{n})_{K}
(restr_{n,Z})_{K} ↓  ↓^{A_{n}}
Γ(Z, O(n)|_{Z})_{K} ⟶^{∼} G_{K}

où restr_{n,Z} : Γ(ℙ_{O_{K}}^{N}, O(n)) ⟶ Γ(Z, O(n)|_{Z}) est l’application de restriction.

Notons J_{n} = F_{n} ∩ ker A_{n} et I_{n} = φ^{−1}(J_{n}). Si l’on munit F_{n}/J_{n} des normes quotient de celles de \overline{F}_{n}, et si l’on suppose n assez grand, A_{n} induit par passage au quotient un isomorphisme de K-espaces vectoriels

Ã_{n} : (F_{n}/J_{n})_{K} ⟶^{∼} G_{K}

d’où l’on déduit l’égalité

\begin{aligned}d̂eg\overline{F_{n}/J_{n}} & = h(Ã_{n}) + d̂eg\overline{G} \\ & = h(A_{n}). \end{aligned}  (5.5.1)

Par ailleurs, n étant toujours supposé assez grand, on a I_{n} = ker restr_{n,Z} et donc, par définition des hauteurs schématiques,

d̂eg\overline{E_{n}/I_{n}} = h^{(n)}(Z).  (5.5.2)

De (5.5.1) et (5.5.2) on déduit l’égalité

h(A_{n}) = h^{(n)}(Z) − h(⋀^{l} φ̃)

où, conformément à (1.4.2),

h(⋀^{l} φ̃) = \frac{1}{[K : ℚ]}( ∑_{σ:K↪ℂ}log ∥ ⋀^{l} φ̃∥_{σ} + ∑_{𝔭∈Spec O_{K}} log ∥ ⋀^{l} φ̃∥_{𝔭})

= \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ:K↪ℂ}log ∥ ⋀^{l} φ̃∥_{σ}

est la hauteur de l’isomorphisme φ̃: E_{n}/I_{n} ⟶^{∼} F_{n}/J_{n} induit de φ par passage au quotient. Or, pour tout plongement σ : K ↪ ℂ, le lemme 1.3.4 indique que φ_{σ} est une similitude de rapport \binom{n+N}{N}^{1/2}. Il en est donc de même pour φ̃_{σ}, et ceci termine la démonstration de la proposition. □

Corollaire 5.5.2 Sous les hypothèses précédentes, pour tout μ ∈ {1, …, l}, notons Z_{μ} l’adhérence schématique de α_{μ} dans ℙ_{O_{K}}^{N} (ou, ce qui revient au même, dans Z). Soient Z̃ le schéma réunion disjointe de Z_{1}, …, Z_{l}, et

ν : Z̃ ⟶ Z

le morphisme dont les composantes sont les inclusions naturelles. Alors on a

χ(O_{Z}) = −ramif^{log} (Z) = −\frac{1}{[K : ℚ]} log #Γ(Z, ν_{∗}OZ̃/O_{Z}).  (5.5.3)

Démonstration : On applique le théorème 5.2.2 avec Σ = Z. Dans la discussion précédant le théorème 5.2.2, on peut prendre L = K et Σ̃ = Z̃, de telle sorte que ramif^{log} (Z) = \frac{1}{[K:ℚ]} log #(ν_{∗}OZ̃/O_{Z}). Pour tout μ ∈ \{1, …, l\} on a l’égalité Σ^{(μ)} = P_{μ} = Z_{μ}, de telle sorte que le cône tangent C_{P_{μ}}Σ^{(μ)} s’identifie à Spec O_{K} et est muni des métriques triviales ; en particulier, on a h(C_{tot}Σ) = 0, r_{0,P_{μ}} = 1 et r_{t,P_{μ}} = 0 si t ≥ 1. On trouve donc

h^{(n)}(Z) =_{n→∞} nh([Z]) + \frac{lN}{2} log n − \frac{l}{2} log N! − \frac{1}{[K : ℚ]} log #(ν_{∗}OZ̃/O_{Z}).

Compte tenu de l’estimation

log \binom{N + n}{N} =_{n→∞} N log n − log N! + O(n^{−1}),

le corollaire se déduit en comparant le développement asymptotique précédent et celui donné à la proposition 5.5.1. □

Pour la suite, on rappelle quelques notions sur les réseaux et les discriminants, d’après [54], chapitres I et III.

Soient R un anneau de Dedekind et K le corps des fractions de R. Si M est un R-module de longueur finie, on sait (théorème de Jordan-Hölder) qu’il existe une filtration décroissante M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ ⋯ ⊃ M_{m} = 0 de M et une suite (𝔭_{1}, …, 𝔭_{m}) d’idéaux maximaux de R telles que, pour tout i, le quotient M_{i−1}/M_{i} soit isomorphe au R-module simple R/𝔭_{i} et que, à permutation près, la suite (𝔭_{1}, …, 𝔭_{m}) ne dépend pas du choix de la filtration. On définit alors la caractéristique d’Euler-Poincaré de M, notée χ_{R}(M), comme l’idéal

χ_{R}(M) = ∏_{i=1}^{m} 𝔭_{i},  (5.5.4)

de R, qui ne dépend pas des choix faits.

Si V est un K-espace vectoriel de dimension n, on appelle réseau (ou R-réseau) de V un sous-R-module X de V qui engendre V et est de type fini sur R. Si X et X′ sont deux réseaux de V, les puissances extérieures maximales ⋀^{n} X et ⋀^{n} X′ s’identifient naturellement à des réseaux du K-espace vectoriel de dimension un ⋀^{n} V. On définit la caractéristique d’Euler-Poincaré relative χ_{R}(X : X′) comme l’unique idéal fractionnaire vérifiant

⋀^{n} X′ = χ_{R}(X : X′) ⋀^{n} X.  (5.5.5)

En particulier, si X′ est inclus dans X, le R-module X/X′ est de longueur finie et on a χ_{R}(X : X′) = χ_{R}(X/X′).

Au moyen de la théorie des diviseurs élémentaires, on montre que si u est un Kautomorphisme de V, et si X est un réseau de V, on a

χ_{R}(X : uX) = (det u).  (5.5.6)

Supposons maintenant que V est muni d’une forme K-bilinéaire non dégénérée T. La forme T définit un isomorphisme K-linéaire de V sur son dual, d’où l’on déduit par (1.1.3) un isomorphisme de ⋀^{n} V sur son dual, ou, ce qui revient au même, un isomorphisme (que nous noterons encore T) entre K-espaces vectoriels de dimension un

T : ⋀^{n} V ⊗_{K} ⋀^{n} V ⟶^{∼} K.

Si X est un réseau de V, le discriminant

𝔡_{R}(X, T)

de X par rapport à T est par définition l’idéal fractionnaire de K image de ⋀^{n} X ⊗_{R} ⋀^{n} X par cet isomorphisme T.

Indiquons quelques propriétés du discriminant ([54], III §2, propositions 3, 4 et 5) :

Lemme 5.5.3 i. Si X est un R-module libre de base (e_{1}, …, e_{n}), on a

𝔡_{R}(X, T) = ( det_{1≤i,j≤n} T (e_{i}, e_{j})).

ii. Si X^{∨} est l’ensemble des y ∈ V tels que pour tout x ∈ X on ait T (x, y) ∈ R, alors

𝔡_{R}(X, T) = χ_{R}(X^{∨}, X).

iii. Si X et X′ sont deux réseaux de V, on a

𝔡_{R}(X′, T) = χ_{R}(X, X′)^{2}𝔡_{R}(X, T).

Plus loin dans le texte, on utilisera le résultat suivant :

Lemme 5.5.4 Soient T_{1} et T_{2} deux formes K-bilinéaires non dégénérées sur V. Il existe un unique automorphisme K-linéaire t de V tel que pour tous x et y dans V on ait T_{2}(x, y) = T_{1}(tx, y), et alors pour tout réseau X de V on a

𝔡_{R}(X, T_{2}) = (det t)𝔡_{R}(X, T_{1}).

Démonstration : Après localisation, c’est une conséquence directe du lemme 5.5.3.i.

Soit A une K-algèbre (commutative) de dimension finie. On appelle ordre (ou R-ordre) de A un sous-R-anneau de A qui est un réseau de A. On note tr_{A/K} l’application trace de A sur K, c’est-à-dire l’application K-linéaire de A dans K qui associe à tout élément a de A la trace de l’endomorphisme de multiplication par a dans A.

On dira que A est séparable si la forme K-bilinéaire trace

\begin{matrix}A × A & ⟶ & K \\ (x, y) & ↦ & tr_{A/K}(xy) \end{matrix}  (5.5.7)

est non-dégénérée. Si K est de caractéristique nulle, une telle K-algèbre A est séparable si et seulement si elle est réduite.

Sous ces hypothèses, si O est un ordre de A, on appelle discriminant de O, noté

𝔡_{R}(O),

le discriminant du réseau O de A relativement à la forme trace (5.5.7).

Remarque 5.5.5 Puisque l’application tr_{A/K} envoie O dans R, le discriminant 𝔡_{R}(O) est un idéal effectif de R.

Soient K′ est une extension séparable finie de K et R′ la fermeture intégrale de R dans K′. Si M est un R-module de longueur finie, on a clairement

χ_{R′}(M_{R′}) = χ_{R}(M)R′.

Si V est un K-espace vectoriel de dimension finie muni d’une forme K-bilinéaire T non dégénérée, notons T′ la forme K′-bilinéaire sur V_{K′} déduite de T par extension des scalaires. Pour tout R-réseau X de V, le R′-module X_{R′} s’identifie naturellement à un R′-réseau de V_{K′}, et on a

𝔡_{R′}(X_{R′}, T′) = 𝔡_{R}(X, T)R′.

De ceci et du fait que la trace d’une application linéaire est invariante par extension des scalaires, on déduit que si A est une K-algèbre finie séparable et O un R-ordre de A, O⊗_{R}R′ s’identifie naturellement à un R′-ordre de la K′-algèbre séparable A ⊗_{K} K′, et on a

𝔡_{R′}(O ⊗_{R} R′) = 𝔡_{R}(O)R′.  (5.5.8)

Notons désormais S = Spec R, et soit Σ un schéma fini et plat de longueur l sur S. On suppose que Σ est réunion schématique de sous-schémas fermés Σ^{(i)} (1 ≤ i ≤ l) qui sont des sections de S deux à deux distinctes. Notons Σ̃ le schéma réunion disjointe des Σ^{(i)} et ν : Σ̃ ⟶ Σ le morphisme naturel. Notons A la K-algèbre séparable

A = Γ(Z, O_{Z})_{K} = Γ(Z̃, OZ̃)_{K}.

On dispose de deux ordres de A :

O = Γ(Z, O_{Z})
Õ = Γ(Z̃, OZ̃) = Γ(Z, ν_{∗}OZ̃).

Proposition 5.5.6 Sous ces hypothèses, on a

𝔡_{R}(O) = χ_{R}(Õ/O)^{2}.

Démonstration : Notons p_{i} le point générique de Σ^{(i)}. On a un isomorphisme naturel d’évaluation entre K-algèbres séparables

\begin{aligned}ev : & A & ⟶^{∼} & K^{l} \\ & f & ↦ & (f(p_{μ}))_{μ∈\{1,...,l\}}. \end{aligned}

Du fait que Σ̃ est réunion disjointe de copies de Spec R, l’image de Õ par l’application ev est l’ordre canonique R^{l} de K^{l}, de R-base ϵ_{1}, …, ϵ_{l}, où les ϵ_{i} sont les idempotents de rang 1 de la K-algèbre K^{l}. Ceci implique que

𝔡_{R}(Õ) = ( det_{1≤i,j≤l} tr(ϵ_{i}ϵ_{j})) = ( det_{1≤i,j≤l} δ_{ij}) = (1)

et la proposition découle du lemme 5.5.3.iii. □

Dans le cas particulier où K est un corps de nombres et où R est un localisé de l’anneau des entiers O_{K} de K, on dispose naturellement d’une application norme, notée N, définie sur le groupe des idéaux fractionnaires de K et à valeurs dans ℚ_{+}^{∗}. Si M est un R-module de longueur finie, alors M est de cardinal fini et on a

#M = N(χ_{R}(M)).  (5.5.9)

Définition 5.5.7 Sous ces hypothèses, soit A une K-algèbre finie séparable et O un ordre de A. On définit le discriminant logarithmique normalisé de O, noté discr_{R}^{log} (O) (ou discr^{log} (O) s’il n’y a pas d’ambiguïté) comme le réel

discr^{log} (O) = \frac{1}{[K : ℚ]} log N(𝔡_{R}(O)).

Si K′ est une extension finie de K, et si R′ est la fermeture intégrale de R dans K′, pour tout idéal fractionnaire ℑ de R on a

N(ℑR′) = N(ℑ)^{[K′:K]}.

De ceci et de (5.5.8) on déduit que le discriminant logarithmique normalisé est invariant par extension des scalaires :

discr_{R′}^{log} (O ⊗_{R} R′) = discr_{R}^{log} (O).

Théorème 5.5.8 Soient \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien de rang N + 1 et Z un sousschéma réduit de ℙ_{E} plat de dimension relative zéro sur Spec O_{K}. On a alors

h^{(n)}(Z) =_{n→∞} n.h([Z]) + \frac{lg Z}{2} log \binom{N + n}{N} − \frac{1}{2} discr^{log} (O_{Z}) + O(n^{−1}).

Démonstration : C’est une conséquence immédiate du théorème 5.2.2, de la proposition 5.5.6 et de la formule (5.5.9). □

Corollaire 5.5.9 Sous les hypothèses de la proposition 5.5.1 et du corollaire 5.5.2, si Z est le sous-schéma associé à une matrice d’interpolation, la K-algèbre O_{Z} ⊗_{O_{K}} K est séparable, et on a

χ(O_{Z}) = −\frac{1}{2} discr^{log} (O_{Z}).

Démonstration : Cela découle du théorème précédent et de la proposition 5.5.1.

Sous les hypothèses du théorème précédent, si l’on suppose en outre que Z est localement intersection complète. il est possible, au moyen de la théorie des résidus et de la dualité de Grothendieck (cf. [30] et [16]), d’exprimer la valeur de la constante χ(O_{Z}) en fonction du module des différentielles relatives de Z sur O_{K}. Pour ce faire, on commence par démontrer un résultat local.

Soit R un anneau de valuation discrète d’idéal maximal 𝔪, de corps des fractions K et de corps résiduel k. Notons v la valuation normalisée de R et ϖ une uniformisante.

Posons S = Spec R, et soit Σ un schéma fini et plat de longueur l sur S. On suppose que Σ est local, est intersection complète, et est réunion schématique de sous-schémas fermés Σ^{(i)} (1 ≤ i ≤ l) qui sont des sections de S deux à deux distinctes (ceci implique notamment que les anneaux locaux R et O_{Σ} ont même corps résiduel). Notons Σ̃ le schéma réunion disjointe des Σ^{(i)}, et ν : Σ̃ ⟶ Σ le morphisme naturel.

Proposition 5.5.10 Sous ces hypothèses, on a

χ_{R}(Ω_{Σ/S}^{1}) = 𝔡(O_{Σ}) = χ_{R}(ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})^{2}.

Démonstration : La deuxième égalité n’est autre que la proposition 5.5.6. Montrons la première égalité. Puisque Σ est local et intersection complète, on peut supposer que Σ est le sous-schéma de l’espace affine 𝔸_{S}^{n} = Spec R[x_{1}, …, x_{n}] défini par un idéal I ⊂ (ϖ, x_{1}, …, x_{n})^{2} engendré par une suite régulière (f_{1}, …, f_{n}). On dispose sur Σ de la suite exacte conormale

I/I^{2} ⟶^{δ} Ω_{𝔸_{S}^{n}/S}^{1}|_{Σ} ⟶ Ω_{Σ/S}^{1} ⟶ 0.

Par hypothèse, I/I^{2} est un O_{Σ}-module libre de rang n, de base formée des classes résiduelles \overline{f_{1}}, …, \overline{f_{n}} de f_{1}, …, f_{n}. En outre, Ω_{𝔸_{S}^{n}/S}^{1}|_{Σ} est aussi un O_{Σ}-module libre de rang n, de base dx_{1}, …, dx_{n}. Dans ces bases, δ est l’application linéaire de matrice (∂f_{j}/∂x_{i})_{1≤i,j≤n}. Remarquons en particulier que δ est une application O_{Σ}-linéaire entre O_{Σ}-modules libres de même rang, donc, puisque par hypothèse O_{Σ} est un R-module libre de rang l, δ est aussi une application R-linéaire entre R-modules libres de même rang ; puisque son conoyau est de torsion, δ est injective.

Par un résultat bien connu (cf. [22], appendice A, lemme A.2.6 ou exemple A.2.3, appliqué pour l’anneau A = O_{Σ}), on a

lg_{O_{Σ}}(coker δ) = lg_{O_{Σ}}(coker ⋀_{O_{Σ}}^{n} δ).

Puisque R est de valuation discrète et que R et O_{Σ} ont même corps résiduel, un O_{Σ}-module M est de longueur finie si et seulement si il est de longueur finie en tant que R-module, et alors sa longueur sur R est égale à sa longueur sur O_{Σ} ; on a alors χ_{R}(M) = 𝔪^{lg M}. L’égalité précédente implique donc, en posant

ω = Hom_{O_{Σ}}(⋀_{O_{Σ}}^{n} I/I^{2}, ⋀_{O_{Σ}}^{n} Ω_{𝔸_{S}^{n}/S}^{1}|_{Σ}),

que

χ_{R}(Ω_{Σ/S}^{1}) = χ_{R}(ω/ ⋀_{O_{Σ}}^{n} δ).  (5.5.10)

Par [30] chapitre III §9 et proposition 8.2, ω est un faisceau dualisant pour le morphisme structural Σ ⟶ S, et on a un isomorphisme de dualité

φ : ω = Hom_{O_{Σ}}(O_{Σ}, ω) ⟶^{∼} Hom_{R}(O_{Σ}, R).

Pour tout R-anneau O, le R-module Hom_{R}(O, R) est naturellement muni d’une structure de O-module de la façon suivante : si f ∈ Hom_{R}(O, R) et x ∈ O, on définit xf ∈ Hom_{R}(O, R) par la formule (xf)(y) = f(xy) pour tout y ∈ O. Dans le cas particulier O = O_{Σ}, la fonctorialité de la dualité de Grothendieck implique que l’isomorphisme φ est compatible à cette structure de O_{Σ}-module, i.e. que φ est un isomorphisme de O_{Σ}-modules. Remarquons que ω est un O_{Σ}-module libre de rang un ; un générateur de ω est donné par l’élément α de ω = Hom_{O_{Σ}}(⋀_{O_{Σ}}^{n} I/I^{2}, ⋀_{O_{Σ}}^{n} Ω_{𝔸_{S}^{n}/S}^{1}|_{Σ}) qui envoie le générateur \overline{f_{1}} ∧ ⋯ ∧ \overline{f_{n}} de ⋀_{O_{Σ}}^{n} I/I^{2} sur le générateur dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} de ⋀_{O_{Σ}}^{n} Ω_{𝔸_{S}^{n}/S}^{1}|_{Σ}. Alors Hom_{R}(O_{Σ}, R) est un O_{Σ}-module libre de rang un, engendré par φ(α).

Par définition, ⋀_{O_{Σ}}^{n} δ est l’élément de ω = Hom_{O_{Σ}}(⋀_{O_{Σ}}^{n} I/I^{2}, ⋀_{O_{Σ}}^{n} Ω_{𝔸_{S}^{n}/S}^{1}|_{Σ}) qui envoie le générateur \overline{f_{1}} ∧ ⋯ ∧ \overline{f_{n}} de ⋀_{O_{Σ}}^{n} I/I^{2} sur l’élément df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{n} de ⋀_{O_{Σ}}^{n} Ω_{𝔸_{S}^{n}/S}^{1}|_{Σ}. Par la propriété (R6) des résidus, énoncée dans [30] chapitre III §9, et dont on pourra trouver une démonstration dans [16] appendice A (la preuve repose sur des calculs dûs à Tate et publiés dans [42], appendice), l’image de ⋀_{O_{Σ}}^{n} δ par φ est l’application trace de O_{Σ} sur R.

Notons qu’on a l’égalité

⋀_{O_{Σ}}^{n} δ = tα

avec

t = det_{1≤i,j≤n} ∂f_{j}/∂x_{i} ∈ O_{Σ}.

Ceci implique, d’une part, que

χ_{R}(ω/ ⋀_{O_{Σ}}^{n} δ) = χ_{R}(O_{Σ}/t),  (5.5.11)

et d’autre part, par O_{Σ}-linéarité de φ et par la propriété des résidus énoncée ci-dessus, que tr_{O_{Σ}/R} = tφ(α), i.e. pour tout x ∈ O_{Σ} on a

tr_{O_{Σ}/R}(x) = (φ(α))(tx).

On définit une forme K-bilinéaire T_{1} sur O_{Σ} ⊗_{R} K par la formule

T_{1}(x, y) = (φ(α))_{K}(xy)

pour x, y ∈ O_{Σ} ⊗_{R} K. Dire que φ(α) est un générateur du O_{Σ}-module Hom_{R}(O_{Σ}, R) signifie que le morphisme de O_{Σ}-modules

\begin{matrix}O_{Σ} & ⟶ & Hom_{R}(O_{Σ}, R) \\ x & ↦ & xφ(α) = (φ(α))(x .) \end{matrix}

est un isomorphisme, ou encore, que O_{Σ}, considéré comme un R-réseau de O_{Σ} ⊗_{R} K, est auto-dual pour T_{1}, soit, par le lemme 5.5.3.ii, que

𝔡_{R}(O_{Σ}, T_{1}) = (1).

Par abus de notation, notons encore t l’endomorphisme K-linéaire de multiplication par t dans le K-espace vectoriel O_{Σ} ⊗_{R} K, et soit T_{2} la forme bilinéaire trace sur O_{Σ} ⊗_{R} K. Alors pour tous x et y dans O_{Σ} ⊗_{R} K on a T_{2}(x, y) = T_{1}(tx, y), et du lemme 5.5.4 et de (5.5.6) on déduit

𝔡_{R}(O_{Σ}) = 𝔡_{R}(O_{Σ}, T_{2}) = (det_{K} t) = χ_{R}(O_{Σ}/tO_{Σ}).

La proposition découle alors de cette dernière égalité et de (5.5.10) et (5.5.11). □

Proposition 5.5.11 Soient R un anneau de Dedekind et Σ un schéma fini et plat sur S = Spec R. On suppose que Σ est séparable sur R et localement intersection complète. Alors on a

χ_{R}(Ω_{Σ/S}^{1}) = 𝔡_{R}(O_{Σ}).

Démonstration : Quitte à faire une extension séparable finie de la base, on peut supposer que Σ est est réunion de sections P_{1}, …, P_{l} de S. Notons ν : Σ̃ ⟶ Σ le morphisme de normalisation, où Σ̃ s’identifie au schéma réunion disjointe de P_{1}, …, P_{l}. Par la proposition 5.5.6, on a

𝔡_{R}(O_{Σ}) = χ_{R}(ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})^{2}.

Il suffit donc de montrer que

χ_{R}(Ω_{Σ/S}^{1}) = χ_{R}(ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})^{2}.

Pour ce faire, il suffit de montrer que pour tout point fermé x de Σ on a

χ_{R_{𝔭}}((Ω_{Σ/S}^{1})_{x}) = χ_{R_{𝔭}}((ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})_{x})^{2}  (5.5.12)

où 𝔭 est l’image de x dans S.

Par compatibilité de la formation du faisceau des différentielles relatives au changement de base, on a (Ω_{Σ/S}^{1})_{x} = Ω_{Σ_{x}/S_{𝔭}}^{1}. Par ailleurs, notons Σ̃^{[x]} le schéma réunion disjointe des

composantes de Σ qui passent par x. C’est un sous-schéma (ouvert et fermé) de Σ̃, et on a clairement

(ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})_{x} = (ν_{∗}O_{(Σ̃^{[x]})}/O_{Σ})_{x} = ν_{∗}O_{(Σ̃^{[x]}),𝔭}/O_{Σ,x}.

Enfin (Σ̃^{[x]})_{𝔭} s’identifie naturellement à la normalisation Σ̃_{x} de Σ_{x}, et la formule (5.5.12) n’est alors autre que la proposition 5.5.10. □

Corollaire 5.5.12 Soient K un corps de nombres, \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien de rang N + 1 et Z un sous-schéma de ℙ_{E} plat de dimension relative zéro sur Spec O_{K}. Supposons Z réduit et localement intersection complète. Alors on a

h^{(n)}(Z) =_{n→∞} n.h([Z]) + \frac{lg Z}{2} log \binom{N + n}{N} − \frac{1}{2.[K : ℚ]} log #(Ω_{Z/O_{K}}^{1}) + O(n^{−1}).

Démonstration : Cela résulte de la proposition précédente, du théorème 5.5.8 et de la définition de discr^{log} (O_{Z}). □

Remarque 5.5.13 On serait tenté de vouloir généraliser le résultat précédent en faisant l’hypothèse, a priori plus faible, que Z n’est pas localement intersection complète mais le devient après extension des scalaires à l’anneau des entiers d’une extension finie de K. Cependant, ceci n’apporte aucune généralité supplémentaire. En effet, si cette condition est vérifiée, alors, par ([EGA] IV 19.1.5 (ii)), c’est que Z lui-même est déjà localement intersection complète.

5.5.2 Cônes infinitésimaux

Soient S un schéma noethérien, E un O_{S}-module localement libre de rang N + 1, ℙ_{E} = Proj Sym_{O_{S}}^{.} E l’espace projectif des quotients de E localement libres de rang un, π : ℙ_{E} ⟶ S le morphisme structural, et O(1) le fibré en droites universel sur ℙ_{E}.

Soit P un sous-schéma fermé de ℙ_{E}, image d’une section

i_{P} : S ↪ ℙ_{E}.

Notons F l’ hyperplan de E représenté par P, i.e.

F = i_{P}^{∗} ker(π^{∗}E ↠ O(1)),

de telle sorte qu’on a une suite exacte courte de O_{S}-modules localement libres

0 ⟶ F ⟶ E ⟶ i_{P}^{∗} O(1) ⟶ 0,

et que dans la suite du texte on fera l’identification

i_{P}^{∗} O(1) = E/F.

Par construction, la surjection π^{∗}E ↠ O(1) envoie π^{∗}F ⊂ π^{∗}E dans ℑ_{P} O(1) ⊂ O(1), où ℑ_{P} est le faisceau d’idéaux définissant P comme sous-schéma de ℙ_{E}. La O_{S}-algèbre Sym^{.} E est munie de la filtration (F. Sym^{.} E)-adique, de telle sorte que pour tout t on a :

F il^{s} Sym^{t} E = F^{.s}.E^{.t−s} = Im(F^{⊗s} ⊗_{O_{S}} E^{⊗t−s} ⟶ Sym^{t} E), (0 ≤ s ≤ t).

En particulier, on a F il^{t} Sym^{t} E = Sym^{t} F. On déduit de ce qui précède une flèche naturelle π^{∗}(F il^{s} Sym^{t} E) ⟶ ℑ_{P}^{s} O(t) et, par adjonction, un morphisme de O_{S}-modules, dont on vérifie aisément que c’est un isomorphisme :

α_{s,t} : F il^{s} Sym^{t} E ⟶^{∼} π_{∗}(ℑ_{P}^{s} O(t))  (5.5.13)

(cet énoncé étant local sur S, on se ramène au cas où S = Spec R est affine, où ℙ_{E} est l’espace projectif standard sur R, et où P est le point de coordonnées homogènes (1 : 0 : …: 0), et on conclut au moyen d’un calcul explicite). Plus généralement, la collection des α_{.,.} fournit un isomorphisme de O_{S}-algèbres filtrées de Sym^{.} E sur ⨁_{t≥0} π_{∗}(O(t)), cette dernière étant munie de la filtration déterminée par l’ordre d’annulation en P.

Par ailleurs, pour tout O_{ℙ_{E}}-module quasi-cohérent M on a un diagramme commutatif naturel

\begin{matrix}π_{∗}M & ⟶^{cano} & π_{∗}(M/ℑ_{P} M) \\ ∥ & & ∥ \\ i_{P}^{∗} π^{∗}π_{∗}M & ⟶^{adj} & i_{P}^{∗} M, \end{matrix}  (5.5.14)

d’où, pour M = ℑ_{P}^{t} O(t), un morphisme naturel de O_{S}-modules, dont on vérifie aisément, à nouveau par un calcul local sur S, que c’est un isomorphisme :

β_{t} : π_{∗}(ℑ_{P}^{t} O(t)) ⟶^{∼} i_{P}^{∗} (ℑ_{P}^{t} O(t)).  (5.5.15)

Ainsi on déduit de (5.5.13), (5.5.14) et (5.5.15) l’identification naturelle

Sym^{t} F = π_{∗}(ℑ_{P}^{t} /ℑ_{P}^{t+1}) ⊗_{O_{S}} i_{P}^{∗} O(t).  (5.5.16)

Soit maintenant Σ un sous-schéma fermé de ℙ_{E} défini par un faisceau d’idéaux ℑ_{Σ}. Notons

I_{Σ} = ⨁_{t≥0} π_{∗}(ℑ_{Σ}O(t)) ⊂ ⨁_{t≥0} π_{∗}(O(t)) = Sym^{.} E

l’idéal homogène saturé définissant Σ.

Compte tenu de (5.5.16), on définit aussi un idéal homogène J_{Σ} de la O_{S}-algèbre Sym^{.} F comme suit : pour tout t, la composante homogène de degré t de J_{Σ} est

\begin{aligned}(J_{Σ})_{t} & = π_{∗} (\frac{ℑ_{Σ} ∩ ℑ_{P}^{t}}{ℑ_{Σ} ∩ ℑ_{P}^{t+1}} ) ⊗_{O_{S}} i_{P}^{∗} O(t) \\ & ⊂ π_{∗} (\frac{ℑ_{P}^{t}}{ℑ_{P}^{t+1}} ) ⊗_{O_{S}} i_{P}^{∗} O(t) = Sym^{t} F. \end{aligned}  (5.5.17)

Définition 5.5.14 Avec ces notations, on appelle cône tangent plongé de Σ en P le sousschéma fermé K_{P} Σ de ℙ_{E} défini par l’idéal homogène (J_{Σ}. Sym^{.} E) de Sym^{.} E.

Plus généralement :

Définition 5.5.15 Soit 𝔎 un sous-schéma fermé de ℙ_{E}.

On dira que 𝔎 est un cône de sommet P si l’idéal homogène saturé de Sym^{.} E définissant 𝔎 est engendré par des éléments (homogènes) de la sous-O_{S}-algèbre Sym^{.} F de Sym^{.} E.

On dira qu’un cône 𝔎 de sommet P est infinitésimal si son support est égal à P.

Si 𝔎 est un cône de sommet P et I l’idéal homogène saturé de Sym^{.} E définissant 𝔎 comme sous-schéma fermé de ℙ_{E}, on dira que l’idéal homogène J = I ∩Sym^{.} F de Sym^{.} F est l’idéal associé à 𝔎 (ou, inversement, que 𝔎 est le cône associé à J). On a alors I = (J. Sym^{.} E). Ainsi si Σ est un sous-schéma fermé de ℙ_{E} (on ne suppose pas que Σ est un cône), l’idéal J_{Σ} de Sym^{.} F défini par (5.5.17) est l’idéal associé au cône tangent plongé K_{P} Σ.

Remarque 5.5.16 Un idéal homogène J de Sym^{.} F définit un sous-schéma fermé de ℙ_{F} = Proj Sym^{.} F dont l’image inverse par la projection naturelle (ℙ_{E} ∖{P }) ⟶ ℙ_{F} est la trace sur (ℙ_{E} ∖ {P }) du cône 𝔎 associé à J. Cependant l’adhérence de cette image inverse est en général seulement un sous-schéma fermé de 𝔎 : si l’idéal J de Sym^{.} F n’est pas saturé, il se peut que P apparaisse dans 𝔎 avec une multiplicité plus grande. En revanche, on vérifie (au moyen d’un calcul local sur S) que l’idéal (J. Sym^{.} E) de Sym^{.} E est toujours saturé.

Remarque 5.5.17 Supposons qu’il existe un sous-O_{S}-module inversible L de E qui fournisse un scindage

E = F ⊕ L  (5.5.18)

(c’est le cas par exemple dès que S est affine). Cette donnée détermine un isomorphisme φ du cône tangent (usuel) à ℙ_{E} en P, C_{P} ℙ_{E} = Spec Sym^{.}(F ⊗ L^{∨}), sur l’ouvert D(L) de ℙ_{E} dont les points représentent les hyperplans de E supplémentaires de L; cet isomorphisme φ envoie la section nulle de C_{P} ℙ_{E} sur P. Alors si C est un sous-schéma fermé de C_{P} ℙ_{E} défini par un idéal homogène J̃ = ⨁_{t≥0}(J̃)_{t} de Sym^{.}(F ⊗L^{∨}), le cône 𝔎 associé à l’idéal homogène J = ⨁_{t≥0}(J̃)_{t} ⊗ L^{⊗t} de Sym^{.} F est l’adhérence dans ℙ_{E} de φ(C). En particulier, si Σ est un sous-schéma fermé de ℙ_{E} contenant P, le cône tangent C_{P} Σ s’identifie naturellement au sous-schéma fermé de C_{P} ℙ_{E} défini par l’idéal homogène ⨁_{t≥0} π_{∗}((ℑ_{Σ} ∩ ℑ_{P}^{t})/(ℑ_{Σ} ∩ ℑ_{P}^{t+1})) de ⨁_{t≥0} π_{∗}(ℑ_{P}^{t} /ℑ_{P}^{t+1}) = Sym^{.}(F ⊗ L^{∨}) et on a

K_{P} Σ = \overline{φ(C_{P} Σ)}.

En particulier, si le support de Σ est égal à P, le cône tangent plongé K_{P} Σ est infinitésimal et les schémas C_{P} Σ et K_{P} Σ sont isomorphes ; cependant on prendra garde au fait qu’en général, cet isomorphisme dépend du choix du scindage (5.5.18).

Revenons maintenant à la situation générale (on ne suppose pas F facteur direct de E).

Lemme 5.5.18 Soit C un sous-schéma fermé de C_{P} ℙ_{E} = Spec Sym^{.}(F ⊗ (E/F)^{∨}) défini par un idéal homogène J̃ de Sym^{.}(F ⊗(E/F)^{∨}). Alors il existe un unique sous-schéma fermé 𝔎 de ℙ_{E} qui soit un cône de sommet P et dont le cône tangent (usuel) C_{P} 𝔎, considéré comme sous-schéma fermé de C_{P} ℙ_{E}, soit égal à C.

Démonstration : Notons (J̃)_{t} = J̃ ∩ Sym^{t}(F ⊗ (E/F)^{∨}), de telle sorte que, par hypothèse, on a J̃ = ⨁_{t≥0}(J̃)_{t}. Posons alors J = ⨁_{t≥0}(J̃)_{t} ⊗ (E/F)^{⊗t} ⊂ Sym^{.} F, et soit 𝔎 ⊂ ℙ_{E} le cône associé à J. Le fait que 𝔎 vérifie les conditions demandées et est unique pour cette propriété peut se démontrer localement sur S; ainsi on peut supposer que S est affine et que F est facteur direct de E. Alors le lemme résulte de la remarque 5.5.17 et du fait que le cône tangent (usuel) à C en l’origine s’identifie à C lui-même. □

On en déduit immédiatement :

Proposition 5.5.19 Si Σ est un sous-schéma fermé de ℙ_{E}, K_{P} Σ est l’unique sous-schéma fermé de ℙ_{E} qui soit un cône de sommet P et dont le cône tangent en P soit égal à celui de Σ.

On aboutit enfin à la caractérisation suivante des cônes :

Proposition 5.5.20 Soit 𝔎 un sous-schéma fermé de ℙ_{E}, défini par l’idéal homogène saturé I_{𝔎} = ⨁_{t≥0} π_{∗}(ℑ_{𝔎}O(t)) de Sym^{.} E = ⨁_{t≥0} π_{∗}(O(t)). Notons encore J_{𝔎} l’idéal de Sym^{.} F associé au cône tangent plongé K_{P} 𝔎, comme défini par (5.5.17). Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :

i. le sous-schéma 𝔎 de ℙ_{E} est un cône de sommet P ; ii. les sous-schémas 𝔎 et K_{P} 𝔎 de ℙ_{E} sont égaux ; iii. on a J_{𝔎} = I_{𝔎} ∩ Sym^{.} F.

Démonstration : L’équivalence de i et ii résulte de la proposition 5.5.19, et ii implique iii par définition. Remarquons ensuite que, pour tout sous-schéma 𝔎 de ℙ_{E}, on a une flèche naturelle

ψ : I_{𝔎} ∩ Sym^{.} F ⟶ J_{𝔎}

dont la composante homogène de degré t est donnée par le diagramme commutatif

I_{𝔎} ∩ Sym^{t} F ⟶^{ψ_{t}}  (J_{𝔎})_{t}
∥  ∥
π_{∗}((ℑ_{𝔎} ∩ ℑ_{P}^{t})O(t)) ⟶^{cano} π_{∗} ((\frac{ℑ_{𝔎}∩ℑ_{P}^{t}}{ℑ_{𝔎}∩ℑ_{P}^{t+1}}) ⊗_{O_{ℙ_{E}}} O(t)) .

Le noyau de ψ_{t} est

ker ψ_{t} = π_{∗}((ℑ_{𝔎} ∩ ℑ_{P}^{t+1})O(t)) ⊂ π_{∗}(ℑ_{P}^{t+1}O(t)) = 0.

Ainsi ψ est toujours injective, et il s’agit de montrer que si ψ est surjective, 𝔎 est un cône. Pour ce faire, on peut supposer que S est affine d’anneau O_{S} et que F admet un supplémentaire trivial dans E, engendré par un élément T ∈ E :

E = F ⊕ O_{S}.T.

Soit x ∈ I_{𝔎} homogène de degré n. On peut alors écrire

x = ∑_{m=0}^{n} x_{m}.T^{n−m}

avec x_{m} ∈ Sym^{m} F. Supposons qu’on ait montré x_{m} ∈ I_{𝔎} pour m < m_{0}. Alors

x′ = x − ∑_{m<m_{0}} x_{m}.T^{n−m} = ∑_{m=m_{0}}^{n} x_{m}.T^{n−m}

appartient à I_{𝔎} et x′.T^{−(n−m_{0})} définit une section de (ℑ_{𝔎} ∩ ℑ_{P}^{m_{0}})O(m_{0}) sur l’ouvert D(T) de ℙ_{E}, ouvert qui contient P. Par construction, l’image de cette section dans (J_{𝔎})_{m_{0}} = π_{∗}(((ℑ_{𝔎}∩ℑ_{P}^{m_{0}})/(ℑ_{𝔎}∩ℑ_{P}^{m_{0}+1}))⊗O(m_{0})) est égale à x_{m_{0}} et, par surjectivité de ψ, ceci implique x_{m_{0}} ∈ I_{𝔎}. Ainsi, par récurrence sur m, tous les x_{m} appartiennent à I_{𝔎}, ce qui signifie bien que I_{𝔎} est engendré par son intersection avec Sym^{.} F, et montre que iii implique i. □

On va maintenant donner un complément au théorème 5.3.2. On suppose S = Spec ℂ et on se donne un espace vectoriel hermitien E de dimension N +1. Le fibré en droites universel O(1) sur ℙ_{E} est muni des métriques quotient de la surjection π^{∗}E ↠ O(1), et pour tout n le ℂ-espace vectoriel Γ(ℙ_{E}, O(n)) est muni des métriques L^{2} relativement à la forme volume canonique. On se donne P l’image d’une section i_{P} : Spec ℂ ↪ ℙ_{E}, et 𝔎 un sous-schéma fermé de ℙ_{E} contenant P. Si n est assez grand, l’application de restriction Γ(ℙ_{E}, O(n)) ⟶ Γ(𝔎, O(n)|_{𝔎}) est surjective, et on munit Γ(𝔎, O(n)|_{𝔎}) des métriques quotient.

On munit Γ(ℙ_{E}, O(n)) et Γ(𝔎, O(n)|_{𝔎}) des filtrations données par l’ordre d’annulation en P

F il^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n)) = Γ(ℙ_{E}, ℑ_{P}^{t} O(n))

et

F il^{t}Γ(𝔎, O(n)|_{𝔎}) = Γ(𝔎, ℑ_{P}^{t} O(n)|_{𝔎})

et on munit les gradués associés des métriques de sous-quotient.

Pour tout t, on a alors une surjection naturelle

b_{n,t} : gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n)) ↠ gr^{t}Γ(𝔎, O(n)|_{𝔎}),

et :

Proposition 5.5.21 Sous ces hypothèses, si 𝔎 est un cône de sommet P, l’application linéaire b_{n,t} est une isométrie partielle.

Démonstration : Notons F l’hyperplan de E défini par P et Δ l’orthogonal de F dans E. Au moyen de la structure hermitienne, on peut identifier gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n)) à un sous-espace vectoriel de Γ(ℙ_{E}, O(n)). Ceci fournit une décomposition

Γ(ℙ_{E}, O(n)) = ⨁_{t}^{⊥} gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))

dont l’image par la similitude du lemme 1.3.4 est la décomposition

Sym^{n} E = ⨁_{t}^{⊥} Δ^{⊗(n−t)}. Sym^{t} F

de Sym^{n} E. L’hypothèse que 𝔎 est un cône signifie que le noyau K_{n} de l’application de restriction Γ(ℙ_{E}, O(n)) ⟶ Γ(𝔎, O(n)|_{𝔎}) est compatible à cette décomposition, i.e.

K_{n} = ⨁_{t}^{⊥}(K_{n} ∩ gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))).

Ceci implique que la métrique sur gr^{t}Γ(𝔎, O(n)|_{𝔎}) considéré comme sous-quotient du quotient Γ(𝔎, O(n)|_{𝔎}) de Γ(ℙ_{E}, O(n)) est égale à sa métrique en tant que quotient du sousquotient gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n)) de Γ(ℙ_{E}, O(n)), ce qu’il fallait démontrer. □

On revient maintenant aux hauteurs de sous-schémas. On a S = Spec O_{K}, on se donne \overline{E} un O_{K}-module hermitien localement libre de rang N + 1, et on munit ℙ_{E} des structures hermitiennes définies au début de ce chapitre.

En remplaçant le théorème de presque-isométrie partielle 5.3.2 par la proposition 5.5.21 dans la démonstration de la proposition 5.2.3 (et en utilisant le fait que la propriété pour un sous-schéma de ℙ_{E} d’être un cône est conservée par changement de base), on trouve :

Corollaire 5.5.22 Soit 𝔎 un sous-schéma fermé de ℙ_{E} plat de dimension relative zéro sur Spec O_{K}. On suppose que 𝔎 est un cône infinitésimal de sommet P. Alors, avec les notations du théorème 5.2.2, pour tout entier n tel que l’application naturelle de restriction

Γ(ℙ_{E}, O(n)) ⟶ Γ(𝔎, O(n)|_{𝔎})

soit surjective, la n-ième hauteur schématique de 𝔎 est donnée par la formule suivante :

h^{(n)}(𝔎) = n.h([𝔎]) + ∑_{t≥0} \frac{r_{t}}{2} . log (\frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!}) + h(C_{P} 𝔎).

Ceci peut encore s’écrire de la façon suivante :

Corollaire 5.5.23 Sous les hypothèses du corollaire précédent, notons J ⊂ Sym^{.} F l’idéal associé au cône 𝔎. Alors on a

h^{(n)}(𝔎) = n. rg(S^{.}F/J).h(P) + ∑_{t≥0} \frac{rg(S^{t}F/J_{t})}{2}. log (\frac{(n + N)!}{(N + t)!(n − t)!}) + ∑_{t≥0} d̂eg\overline{(S^{t}F/J_{t})}.

Démonstration : Ceci résulte du corollaire précédent et du lemme 5.3.6 appliqué avec n = t. □

Remarquons que l’isomorphisme de F ⊗(E/F)^{∨} sur l’espace cotangent T_{P} ℙ_{E}^{∗} permet de décrire un cône 𝔎 comme le sous-schéma défini par l’idéal formé des fonctions dont les jets s’annulent suivant une certaine sous-algèbre de Sym^{.} T_{P} ℙ_{E}. Ainsi les corollaires précédents permettent de calculer exactement les hauteurs de 𝔎 en termes de cette sous-algèbre.

Enfin, il convient de signaler le résultat suivant :

Proposition 5.5.24 Soit Σ un sous-schéma fermé de ℙ_{E} plat de dimension relative zéro sur Spec O_{K} et de support égal à P. Notons K_{P} Σ le cône tangent plongé de Σ. Alors on a

h^{(n)}(Σ) =_{n→∞} h^{(n)}(K_{P} Σ) + O(n^{−1}).

Démonstration : Cela résulte du théorème 5.2.2 (ou, plus simplement, de la proposition 5.2.3), et du fait que Σ et K_{P} Σ ont même cône tangent (usuel) en P, comme l’affirme la proposition 5.5.19. □

Annexe à la partie II : bilan et comparaison des cas arithmétique et géométrique

On va rassembler ici les résultats disparates obtenus dans les divers cas particuliers étudiés dans la partie II de cette thèse. On va notamment essayer de leur trouver une structure commune susceptible de relever d’un énoncé conjectural plus général, un tel énoncé étant d’autant plus intéressant qu’il s’avérerait être l’analogue arithmétique d’un résultat bien connu dans la situation géométrique correspondante.

A.1 La situation géométrique

Le principe de la géométrie d’Arakelov est de développer une théorie de l’intersection pour les variétés définies sur l’anneau des entiers d’un corps de nombres analogue à celle dont on dispose pour les variétés fibrées sur une courbe complète définie sur un corps ; le rôle des constructions hermitiennes effectuées aux places infinies dans le cadre arithmétique est de fournir un analogue de l’hypothèse de complétude du cas géométrique.

On se propose ici de procéder en sens inverse. Soient donc k un corps, S une courbe lisse projective sur k, π : X ⟶ S un morphisme projectif dominant et L un fibré en droites sur X ample relativement à π. Par analogie avec la définition d’une pré-variété arithmétique, on supposera que la fibre de X au-dessus du point générique de S est lisse ; cependant, il apparaîtra clairement dans la suite qu’on ne se sert nulle part de cette hypothèse.

Pour le problème qui nous intéresse, la situation géométrique est en un sens beaucoup plus simple que dans le cas arithmétique. En effet, alors que dans le cas arithmétique il ne semble pas y avoir de moyen naturel de munir un sous-schéma fermé général d’une prévariété arithmétique de structures hermitiennes, dans le cas géométrique en revanche, un sous-schéma fermé de X est automatiquement projectif sur S.

On va maintenant décrire le problème géométrique analogue au problème arithmétique du calcul des hauteurs d’un sous-schéma. La principale référence dont on se servira ici est [22], notamment les chapitres 15 et 18. La courbe S étant lisse, le groupe de Grothendieck K_{∘}S des faisceaux cohérents sur S est naturellement isomorphe au groupe de Grothendieck K^{∘}S des fibrés vectoriels sur S. On dispose en outre d’un homomorphisme d’anneaux

ch : K^{∘}S ⟶ A(S),

appelé caractère de Chern, à valeurs dans l’anneau de Chow de S. Si E est un fibré vectoriel sur S, on a

ch(E) = rg(E)[S] + c_{1}(E)

où rg(E) est le rang de E, [S] ∈ A_{1}(S) est la classe fondamentale de S et c_{1}(E) ∈ A_{0}(S) la première classe de Chern de E. On dispose enfin d’un morphisme naturel, noté ∫_{S}, de A_{0}(S) dans ℤ. Tout ceci permet de définir une application degré sur K_{∘}S, notée deg, comme l’application composée

deg : K_{∘}S ⟶^{∼} K^{∘}S ⟶^{ch} A(S) ⟶^{pr_{0}} A_{0}(S) \underrightarrow{∫_{S}} ℤ.

La question est alors la suivante : étant donné un sous-schéma fermé Σ de X, comment se comporte l’entier deg((π|_{Σ})_{∗}(L^{⊗n}|_{Σ})) lorsque n tend vers l’infini ?

On supposera ici Σ de dimension strictement positive, notée d + 1. On note [Σ] le cycle de dimension maximale associé à Σ. Autrement dit, si Σ_{1}, …, Σ_{e} sont les supports des composantes irréductibles de dimension d + 1 de Σ, on pose

[Σ] = ∑_{i} lg(O_{Σ,Σ_{i}})[Σ_{i}] ∈ Z_{d+1}Σ ⊂ Z_{d+1}X .

Notons enfin i_{Σ} l’inclusion de Σ dans X et K le corps des fonctions rationnelles sur S.

Théorème A.1.1 Sous ces hypothèses, il existe un polynôme numérique P de degré d + 1, P (X) = a_{d+1}X^{d+1} + a_{d}X^{d} + ⋯ + a_{0}, tel que pour tout entier n assez grand on ait

deg((π|_{Σ})_{∗}(L^{⊗n}|_{Σ})) = a_{d+1}n^{d+1} + a_{d}n^{d} + ⋯ + a_{0}.

Le coefficient de degré maximal de ce polynôme est

a_{d+1} = \frac{(c_{1}(L)^{d+1}.[Σ])}{(d + 1)!}  (A.1.1)

où l’on a noté (c_{1}(L)^{d+1}.[Σ]) l’image naturelle dans ℤ de c_{1}(L)^{d+1} ∩ [Σ] ∈ A_{0}(X) par ∫_{X}. Le coefficient sous-dominant de ce polynôme est

a_{d} = \frac{1}{d!} ((c_{1}(L)^{d}.Td(Σ)_{d}) + (g − 1)(c_{1}(L_{K})^{d}.[Σ]_{K}))  (A.1.2)

où g est le genre de S et Td(Σ)_{d} la composante d-dimensionnelle de la classe de Todd généralisée de Σ, définie dans [22] § 18.3.

Démonstration : Remarquons d’abord que, par amplitude de L, pour n assez grand, la classe dans K_{∘}S de (π|_{Σ})_{∗}(L^{⊗n}|_{Σ}) coïncide avec l’image directe par π|_{Σ} de la classe de L^{⊗n}|_{Σ} dans K_{∘}Σ, telle que définie dans [22] §18.1. On applique alors le théorème 18.3 de [22] à X = Σ. Avec les notations de ce théorème, puisque S est une courbe lisse, pour tout α dans K^{∘}S on a

τ_{S}(α) = ch(α) ∩ Td(S)

où Td(S) = τ_{S}(O_{S}) = td(T_{S}) = [S] + \frac{1}{2}c_{1}(T_{S}) est la classe de Todd (usuelle) de S. En particulier on a ∫_{S} c_{1}(T_{S}) = 2 − 2g (cf. [22] ex. 15.2.1).

On a donc

deg((π|_{Σ})_{∗}(L^{⊗n}|_{Σ})) = ∫_{S} ch((π|_{Σ})_{∗}(L^{⊗n}|_{Σ}))_{0}

= ∫_{S}(Td(S)^{−1}τ_{S}((π|_{Σ})_{∗}(L^{⊗n}|_{Σ})))_{0}

= ∫_{S}(τ_{S}((π|_{Σ})_{∗}(L^{⊗n}|_{Σ})))_{0} − \frac{1}{2} ∫_{S} c_{1}(T_{S}) ∩ (τ_{S}((π|_{Σ})_{∗}(L^{⊗n}|_{Σ})))_{1}

(A.1.3)

avec

τ_{S}((π|_{Σ})_{∗}(L^{⊗n}|_{Σ})) = (π|_{Σ})_{∗}τ_{Σ}(L^{⊗n}|_{Σ})

= (π|_{Σ})_{∗}(ch(L)^{n} ∩ Td(Σ)) (A.1.4)

où Td(Σ) = τ_{Σ}(O_{Σ}) ∈ A(Σ)_{ℚ} est la classe de Todd (généralisée) de Σ. Par la propriété (5) du théorème 18.3 de [22] on a

Td(Σ) = Td(Σ)_{d+1} + Td(Σ)_{d} + ⋯ + Td(Σ)_{0}

avec pour tout i, Td(Σ)_{i} ∈ A_{i}(Σ)_{ℚ} et

Td(Σ)_{d+1} = [Σ] ∈ A_{d+1}(Σ).

Par ailleurs on a

ch(L)^{n} = 1 + ⋯ + \frac{n^{d}}{d!} c_{1}(L)^{d} + \frac{n^{d+1}}{(d + 1)!}c_{1}(L)^{d+1} + · · · .

Ainsi on trouve

(ch(L)^{n} ∩ Td(Σ))_{0} = r_{d+1}n^{d+1} + r_{d}n^{d} + ⋯ + r_{0} ∈ A_{0}(Σ)_{ℚ}

avec r_{i} = \frac{1}{i!}c_{1}(L)^{i} ∩ Td(Σ)_{i}, d’où notamment

r_{d+1} = \frac{1}{(d + 1)!}c_{1}(L)^{d+1} ∩ [Σ].

Par le même raisonnement

(ch(L)^{n} ∩ Td(Σ))_{1} = s_{d}n^{d} + ⋯ + s_{0} ∈ A_{1}(Σ)_{ℚ}

avec s_{i} = \frac{1}{i!}c_{1}(L)^{i} ∩ Td(Σ)_{i+1}, d’où notamment

s_{d} = \frac{1}{d!}c_{1}(L)^{d} ∩ [Σ]

de telle sorte que (π|_{Σ})_{∗}s_{d} = e_{d}[S] ∈ A_{1}(S)_{ℚ} avec

e_{d} = \frac{1}{d!}(c_{1}(L_{K})^{d}.[Σ]_{K}).

On conclut en injectant tout ceci dans (A.1.4) puis dans (A.1.3). □

Remarque A.1.2 On trouvera dans [34], théorème 4, un résultat un peu plus fin. On construit dans [34] une application Div définie sur K_{∘}S à valeurs dans le groupe de Picard de S, étendant naturellement l’application puissance extérieure maximale pour les fibrés vectoriels. Alors, avec les notations précédentes, pour n assez grand, l’élément Div((π|_{Σ})_{∗}(L^{⊗n}|_{Σ})) de Pic(S) dépend polynomialement de n.

A.2 Terme dominant du développement asymptotique des hauteurs de sous-schémas

Comparant les théorèmes et corollaire 3.1.16, 4.3.6, 5.2.2 et A.1.1, on est naturellement conduit à se poser la question suivante :

Question A.2.1 Soient K un corps de nombres d’anneau d’entiers O_{K}, X une pré-variété arithmétique mesurée sur Spec O_{K} munie d’un fibré en droites hermitien positif \overline{L}. Soit Σ un sous-schéma fermé de X de dimension (absolue) d + 1. Notons [Σ] ∈ Z_{d+1}X le cycle de dimension maximale associé à Σ, i.e.

[Σ] = ∑_{i} lg(O_{Σ,Σ_{i}})[Σ_{i}]

où Σ_{1}, …, Σ_{e} sont les supports des composantes irréductibles de dimension d + 1 de Σ. Est-il vrai que les hauteurs (normalisées) de Σ admettent pour n tendant vers l’infini le développement asymptotique

h^{(n)}(Σ) = a.n^{d+1} + o(n^{d+1})

avec a = \frac{(ĉ_{1}(\overline{L})^{d+1}.[Σ])}{(d+1)!} ?

Outre les cas déjà traités dans la partie II (dont le plus général est sans doute celui des sous-schémas lisses avec multiplicité), on dispose encore d’une classe importante de sousschémas pour lesquels la réponse à la question A.2.1 est positive : les sous-schémas intègres (éventuellement singuliers). On traite ici le cas où la variété ambiante est l’espace projectif, cependant le cas général ne semble pas devoir poser de réelle difficulté supplémentaire.

Théorème A.2.2 Soit Σ un sous-schéma fermé intègre de dimension d+1 de l’espace projectif standard ℙ^{N} sur Spec O_{K} qu’on munit du fibré en droites hermitien positif \overline{O(1)} usuel. Alors pour n tendant vers l’infini les hauteurs du sous-schéma Σ admettent le développement asymptotique

h^{(n)}(Σ) = \frac{(ĉ_{1}(\overline{L})^{d+1}.[Σ])}{(d + 1)!}n^{d+1} + o(n^{d+1}).

Démonstration : On dispose sur le O_{K}-module Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) de deux structures hermitiennes : la norme ∥.∥_{L^{2}(Σ)} obtenue par intégration de la métrique restreinte, et la norme ∥.∥_{q} obtenue par passage au quotient de la norme L^{2} sur ℙ^{N}. Par le théorème de Hilbert-Samuel arithmétique singulier de Zhang ([68] th. 1.4), le degré d’Arakelov du O_{K}-module hermitien (Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{L^{2}(Σ)}) admet un développement asymptotique dont le terme dominant est égal à celui énoncé dans le théorème. Raisonnant alors comme à la fin de la démonstration du théorème 3.1.16, on voit qu’il ne reste plus qu’à montrer que pour tout ϵ > 0, l’homomorphisme canonique entre les O_{K}-modules hermitiens (Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{q}) et (Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{L^{2}(Σ)}) admet toutes ses valeurs caractéristiques (pour tout plongement de K dans ℂ) dans l’intervalle [e^{−nϵ}, e^{nϵ}] pour n assez grand. On s’est ainsi ramené à un énoncé purement complexe. Alors, de la même façon que dans la preuve de la proposition 3.1.14, la majoration de ces valeurs caractéristiques est une conséquence de la proposition 3.1.5 (appliquée avec t = 0), tandis que la minoration résulte d’un énoncé de relèvement de sections de L^{⊗n} de Σ à ℙ^{N} avec contrôle des normes L^{2} ou, ce qui revient au même grâce à la proposition 3.1.5, avec contrôle des normes L^{∞}, grâce au lemme suivant. □

Lemme A.2.3 Soient ℙ^{N} l’espace projectif complexe standard muni du fibré en droites hermitien positif O(1), Σ un sous-schéma fermé intègre de ℙ^{N} et ϵ un réel strictement positif. Alors il existe un entier n_{0} tel que pour tout n ≥ n_{0} et pour toute section s ∈ Γ(Σ, L^{⊗n}|Σ), il existe S ∈ Γ(ℙ^{N}, L^{⊗n}) vérifiant s = S|_{Σ} et ∥S∥_{L^{∞}(ℙ^{N})} ≤ e^{nϵ}∥s∥_{L^{∞}(Σ)}.

Démonstration (suivant une méthode suggérée à l’auteur par J.-B. Bost) : Considérons l’espace affine 𝔸^{N+1}(ℂ) = ℂ^{N+1} comme le cône C sur ℙ^{N}(ℂ), ou encore comme l’espace total du fibré O(−1) dans lequel on aurait contracté la section nulle ( blow-down ) en un point. Par construction, la métrique de Fubini-Study sur les fibres de O(−1) induit la métrique standard sur ℂ^{N+1}. Notons C_{Σ} ⊂ 𝔸^{N+1} le cône sur Σ, c’est-à-dire le sousensemble analytique de C = ℂ^{N+1} défini par l’idéal homogène saturé I = ⨁_{n≥0} I_{n} de Σ dans ℂ[X_{0}, …, X_{N}] = ⨁_{n≥0} Γ(ℙ^{N}, O(n)). Notons Ω la boule unité de C = ℂ^{N+1} et Ω_{Σ} = Ω ∩ C_{Σ}. Ce sont des espaces de Stein. En outre Ω (resp. Ω_{Σ}) s’identifie naturellement au fibré en disque de O(−1) (resp. de O(−1)|_{Σ}) dans lequel la section nulle aurait été contractée en un point, et la frontière ∂Ω (resp. ∂Ω_{Σ}) s’identifie naturellement au fibré en cercle de O(−1) (resp. de O(−1)|_{Σ}). Notons O(Ω) et O(Ω_{Σ}) les anneaux des fonctions holomorphes sur Ω et sur Ω_{Σ}, respectivement ; ce sont des espaces de Fréchet pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts. Plus précisément, pour tout réel r ∈]0, 1[ notons K(r) la boule fermée de rayon r dans C, K_{Σ}(r) = K(r)∩C_{Σ}, et ∥.∥_{K(r)} et ∥.∥_{K_{Σ}(r)} les normes uniformes sur K(r) et sur K_{Σ}(r), respectivement. Alors, pour tout entier n, un élément de Γ(ℙ^{N}, O(n)) (resp. du quotient Γ(ℙ^{N}, O(n))/I_{n}) définit une fonction homogène de degré n sur Ω (resp. sur Ω_{Σ}), et O(Ω) (resp. O(Ω_{Σ})) est le complété de l’anneau ⨁_{n≥0} Γ(ℙ^{N}, O(n)) (resp. ⨁_{n≥0} Γ(ℙ^{N}, O(n))/I_{n}) relativement à la famille des normes ∥.∥_{K(r)} (resp. ∥.∥_{K_{Σ}(r)}) pour r ∈]0, 1[. Ainsi, par la version pour les espaces de Fréchet du théorème de Banach de l’application ouverte, l’application naturelle de restriction

O(Ω) ⟶ O(Ω_{Σ}),

qui est surjective puisque Ω est de Stein, est ouverte ; autrement dit, pour tout r ∈]0, 1[ il existe ρ ∈]0, 1[ et α > 0 tels que l’image de la boule unité de (O(Ω), ∥.∥_{K(r)}) par l’application de restriction contienne la boule de rayon α de (O(Ω_{Σ}), ∥.∥_{K_{Σ}(ρ)}), ou encore, pour toute s ∈ O(Ω_{Σ}), il existe S ∈ O(Ω) vérifiant s = S|_{Ω_{Σ}} et

∥S∥_{K(r)} ≤ α^{−1}∥s∥_{K_{Σ}(ρ)}.  (A.2.1)

Choisissons par exemple r = e^{−ϵ/2}. Soient n un entier et s ∈ Γ(Σ, O(n)|_{Σ}). Si n est assez grand, on a une identification naturelle Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) = Γ(ℙ^{N}, O(n))/I_{n} et s définit un élément de O(Ω_{Σ}) homogène d’ordre n. Notant ∥.∥_{L^{∞}(Σ)} la norme uniforme sur Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) on a donc

∥s∥_{K_{Σ}(ρ)} = ρ^{n}∥s∥_{L^{∞}(Σ)}.

Soit alors S′ ∈ O(Ω) relevant s et vérifiant la majoration (A.2.1). Par les estimations de Cauchy, si l’on note S la composante homogène de degré n de S′, on a ∥S∥_{K(r)} ≤ ∥S′∥_{K(r)}, donc a fortiori S vérifie aussi la majoration (A.2.1). Ainsi on a bien trouvé S ∈ Γ(ℙ^{N}, O(n)) relevant s et vérifiant

∥S∥_{L^{∞}(ℙ^{N})} = r^{−n}∥S∥_{K(r)} = e^{nϵ/2}∥S∥_{K(r)}
≤ α^{−1}e^{nϵ/2}∥s∥_{K_{Σ}(ρ)} = α^{−1}e^{nϵ/2}ρ^{n}∥s∥_{L^{∞}(Σ)}
≤ α^{−1}e^{nϵ/2}∥s∥_{L^{∞}(Σ)}

ce qu’il fallait démontrer. □

Formulons maintenant quelques remarques permettant d’effectuer certaines réductions dans l’énoncé de la quetion A.2.1.

D’abord, grâce à la remarque 2.3.10, on voit que pour répondre positivement à la question A.2.1 dans le cas général, il suffit de savoir le faire sous l’hypothèse supplémentaire que Σ est plat sur Spec O_{K}.

Ensuite, dans le cas kählérien, le terme principal du développement asymptotique de h^{(n)}(Σ) ne devrait pas dépendre de la pré-variété X dans laquelle Σ se plonge. Plus précisément :

Proposition A.2.4 Soient X une pré-variété arithmétique kählérienne sur Spec O_{K} et \overline{L} un fibré en droites hermitien positif sur X. Soit Y un sous-schéma fermé génériquement lisse de X. Munissons Y de la structure de pré-variété arithmétique kählérienne héritée de X. Si Σ est un sous-schéma fermé de Y (donc aussi de X) de dimension d + 1, pour tout entier n on notera h_{X}^{(n)}(Σ) et h_{Y}^{(n)}(Σ) les hauteurs de Σ relativement à (X , \overline{L}) et à (Y, \overline{L}|_{Y}), respectivement. Alors lorsque n tend vers l’infini on a

h_{Y}^{(n)}(Σ) = h_{X}^{(n)}(Σ) + o(n^{d+1}).

Démonstration : Supposons n assez grand, de telle sorte que toutes les applications de restriction que l’on aura à considérer soient surjectives. Notons ∥.∥_{L^{2}(X)} et ∥.∥_{L^{2}(Y)} les normes L^{2} de l’espace des sections de L^{⊗n} sur X et sur Y, respectivement, ∥.∥_{q(Σ,X)} et ∥.∥_{q(Σ,Y)} les normes sur Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) quotient respectivement des normes ∥.∥_{L^{2}(X)} et ∥.∥_{L^{2}(Y)}, et ∥.∥_{q(Y,X)} la norme sur Γ(Y, L^{⊗n}|_{Y}) quotient de ∥.∥_{L^{2}(X)}. Notons

φ_{n} : (Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{q(Σ,X)}) ⟶ (Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), ∥.∥_{q(Σ,Y)})

et

ψ_{n} : (Γ(Y, L^{⊗n}|_{Y}), ∥.∥_{q(Y,X)}) ⟶ (Γ(Y, L^{⊗n}|_{Y}), ∥.∥_{L^{2}(Y)})

les morphismes de O_{K}-modules hermitiens qui coïncident avec l’identité sur les O_{K}-modules sous-jacents. Par la proposition 3.1.14 (appliquée avec t = 0), pour tout ϵ > 0, les valeurs caractéristiques des ψ_{n,σ} restent dans l’intervalle [e^{−nϵ}, e^{nϵ}] si n est choisi assez grand. Par transitivité des normes quotient, ∥.∥_{q(Σ,X)} est la norme quotient de ∥.∥_{q(Y,X)} par l’application de restriction de Y à Σ, de telle sorte que φ_{n} est l’application déduite de ψ_{n} par passage au quotient par cette même application de restriction. Par le corollaire 1.2.6, les valeurs caractéristiques des φ_{n,σ} restent donc elles aussi dans l’intervalle [e^{−nϵ}, e^{nϵ}] quand n tend vers l’infini. D’autre part, puisque par le théorème de Hilbert-Samuel (géométrique) la dimension des ℂ-espaces vectoriels Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{σ} est (à partir d’un certain rang) un polynôme en n de degré d, ceci implique l’estimation

|log ∥ ⋀^{max} φ_{n}∥_{σ}| ≤ ϵn^{d+1}

pour n assez grand. Puisque par le lemme 1.4.1 on a

h_{Y}^{(n)}(Σ) − h_{X}^{(n)}(Σ) = \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ} log ∥ ⋀^{max} φ_{n}∥_{σ},

ceci termine la démonstration. □

Enfin, par des arguments analogues, on montre que le terme dominant du développement asymptotique des hauteurs d’un sous-schéma Σ d’une pré-variété arithmétique mesurée X ne dépend pas de la mesure sur X (ℂ). Ainsi dans l’étude de la question A.2.1, on ne perd pas de généralité en supposant X munie d’une structure kählérienne.

Indiquons maintenant quelques méthodes envisageables pour aborder la question A.2.1.

A.2.a. Une première approche serait de généraliser les méthodes du chapitre 3, visant au moyen d’un théorème de relèvement L^{2} de jets à se ramener au théorème de Hilbert-Samuel pour les variétés arithmétiques. La principale difficulté est que les faisceaux de jets qui apparaissent dans le cas général sont seulement des sous-quotients du fibré cotangent à X qui n’ont aucune raison a priori d’être localement libres sur la fibre générique. Peutêtre est-il envisageable d’approximer d’une certaine façon ces faisceaux cohérents par des fibrés vectoriels ; par exemple, en remarquant que ces faisceaux cohérents sont localement libres sur un ouvert du sous-schéma, et en procédant par une récurrence sur la dimension ? Remarquons que, puisqu’un sous-schéma de dimension générique nulle est automatiquement génériquement lisse avec multiplicité , une telle récurrence sur la dimension serait bien initiée, grâce au théorème 3.1.16.

Quoi qu’il en soit, on peut remarquer que la discussion précédente amène naturellement à généraliser la question A.2.1 sous la forme tordue suivante : étant donné un faisceau cohérent M sur le schéma réduit Σ^{réd}, supposant que M s’exprime comme sous-quotient d’un fibré vectoriel hermitien E sur Σ^{réd}, calculer le degré d’Arakelov de Γ(Σ^{réd}, M ⊗ L^{⊗n}) lorsque ce O_{K}-module est muni des métriques de sous-quotient héritées des métriques L^{2} sur Γ(Σ^{réd}, E ⊗ L^{⊗n}).

A.2.b. Une deuxième approche s’inspirerait directement de la démonstration donnée par Abbes et Bouche dans [1] du théorème de Hilbert-Samuel arithmétique. Pour simplifier on supposera que L est tres ample et admet une section globale s ∈ Γ(X , L) dont le diviseur associé Y rencontre proprement Σ (du moins, sur la fibre générique), et que X est muni des structures kählériennes définies par la forme de Chern de \overline{L}. On procède alors par récurrence sur la dimension de Σ_{K}. Si n est un entier assez grand, on a une suite exacte de O_{K}-modules

0 ⟶ Γ(Σ, L^{⊗n−1}|_{Σ}) ⟶^{s_{n}} Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) ⟶ Γ(Σ ∩ Y, L^{⊗n}|_{Σ∩Y}) ⟶ 0  (A.2.2)

où l’on a noté s_{n} l’application de multiplication par s de Γ(Σ, L^{⊗n−1}|_{Σ}) dans Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}), et où Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) est muni des métriques quotient des métriques L^{2} sur Γ(X , L^{⊗n}) ; on munit alors Γ(Σ∩Y, L^{⊗n}|_{Σ∩Y}) des métriques quotient de ces métriques par la suite exacte (A.2.2). Une observation fondamentale est que, par transitivité des métriques quotient, ces métriques sur Γ(Σ ∩ Y, L^{⊗n}|_{Σ∩Y}) sont aussi les métriques quotient des métriques L^{2} sur Γ(X , L^{⊗n}) ; autrement dit, ce sont les métriques servant à définir les hauteurs du sous-schéma Σ ∩ Y. Ainsi on a

d̂eg \overline{Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})} = h^{(n)}(Σ)

et

d̂eg \overline{Γ(Σ ∩ Y, L^{⊗n}|_{Σ∩Y})} = h^{(n)}(Σ ∩ Y).

On munit aussi Γ(Σ, L^{⊗n−1}|_{Σ}) des métriques quotient des métriques L^{2} sur Γ(X , L^{⊗n−1}), de telle sorte que par additivité du degré d’Arakelov dans les suites exactes courtes et par le lemme 1.4.1 on trouve

d̂eg \overline{Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})}−d̂eg \overline{Γ(Σ ∩ Y, L^{⊗n}|_{Σ∩Y})} = d̂eg \overline{Γ(Σ, L^{⊗n−1}|_{Σ})}+\frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ} log ∥ ⋀^{max} s_{n}∥_{σ}.

Autrement dit, si n_{0} est un entier suffisamment grand, il existe une constante C_{n_{0}} telle que pour tout n ≥ n_{0} on ait

h^{(n)}(Σ) = C_{n_{0}} + ∑_{n_{0}<k≤n} (h^{(n)}(Σ ∩ Y) + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ} log ∥ ⋀^{max} s_{n}∥_{σ}) .

Supposons la réponse à la question A.2.1 positive pour Σ ∩ Y, autrement dit, supposons qu’on ait le développement asymptotique

h^{(n)}(Σ ∩ Y) =_{n→∞} \frac{(ĉ_{1}(\overline{L})^{d}.[Σ ∩ Y])}{d!}n^{d} + o(n^{d}).

Alors répondre à la question A.2.1 pour Σ équivaut à résoudre le problème analytique suivant :

Question A.2.5 Soient X une variété projective complexe munie d’un fibré en droites hermitien positif très ample \overline{L}, Σ un sous-schéma fermé de X de dimension d et s une section globale de L dont le diviseur rencontre proprement Σ. Pour tout n assez grand, munissons les ℂ-espaces vectoriels Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) des normes quotient des normes L^{2} sur Γ(X, L^{⊗n}) et notons

s_{n} : Γ(Σ, L^{⊗n−1}|_{Σ}) ⟶ Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})

l’application de multiplication par s. Est-il vrai que, lorsque n tend vers l’infini, le rapport

\frac{log ∥ ⋀^{max} s_{n}∥}{n^{d}}

tend vers une limite finie égale à

− ∫_{X} log ∥s∥δ_{[Σ]}ω^{d}

où δ_{[Σ]}ω^{d} est le courant d’intégration (relativement à la forme volume héritée de la structure kählérienne) sur le cycle de dimension d associé à Σ ?

Remarquons qu’on sait répondre positivement à cette question (et donc aussi à la question A.2.1) lorsque Σ = X est le sous-schéma défini par le faisceau d’idéaux nul. Évidemment, grâce aux résultats d’extension L^{2} développés dans le chapitre 3 de cette thèse, il est facile de voir que ceci implique que la réponse à la question A.2.5 est encore positive lorsque Σ est supposé lisse avec multiplicité. On dispose d’au moins deux démonstrations de ce résultat dans le cas particulier Σ = X. La première, dans [1], th. 3.7, repose sur des méthodes de noyau de la chaleur. La seconde, dans [14], th. 13.13, utilise des techniques d’analyse microlocale. Il serait intéressant d’examiner si l’une de ces démonstrations n’est pas susceptible de se généraliser au cas d’un sous-schéma quelconque.

A.2.c. À défaut de pouvoir répondre entièrement à la question A.2.1, on serait déjà assez satisfait de montrer que le rapport

\frac{h^{(n)}(Σ)}{n^{d+1}}

tend vers une limite finie (sans chercher à interpréter cette limite en termes de théorie de l’intersection arithmétique). Il semble raisonnable de vouloir aborder ce problème au moyen d’arguments de théorie de la capacité, en généralisant les résultats de [51] et [52].

Si X est une variété projective sur Spec O_{K} équidimensionnelle et géométriquement réduite, si L un fibré en droites très ample sur X, et si l’on munit les Γ(X , L^{⊗n}) de métriques hermitiennes vérifiant certaines conditions de compatibilité, l’existence de la capacité sectionnelle démontrée dans [52] signifie que les \overline{Γ(X , L^{⊗n})} vérifient un théorème de Hilbert-Samuel analogue à celui conjecturé ici. Il serait intéressant de voir dans quelle mesure on peut généraliser les méthodes de [52], ou bien en s’affranchissant de l’hypothèse de réduction faite sur X, ou bien en ne considérant non plus seulement les O_{K}-modules Γ(X , L^{⊗n}), mais aussi des modules tordus Γ(X , M⊗L^{⊗n}) pour M un faisceau cohérent sur X suffisamment général.

A.3 Termes suivants

A.3.a. Les proposition 4.2.8, corollaire 4.3.6 et théorème 5.2.2 semblent indiquer que la généralisation suivante de la question A.2.1 devrait avoir une réponse positive :

Question A.3.1 Soit Σ un sous-schéma fermé de dimension d + 1 d’une pré-variété arithmétique mesurée X sur Spec O_{K} de dimension N + 1 munie d’un fibré en droites hermitien positif \overline{L}. Existe-t-il deux réels a et b tels que, pour n tendant vers l’infini, les hauteurs du sous-schéma Σ admettent le développement asymptotique suivant :

h^{(n)}(Σ) = a.n^{d+1} + b.n^{d} log n + o(n^{d} log n) ?

Ou, plus généralement, sous les mêmes hypothèses :

Question A.3.2 Les hauteurs de Σ admettent-elles un développement asymptotique de la forme

h^{(n)}(Σ) =_{n→∞} a_{d+1}n^{d+1} + b_{d}n^{d} log n + a_{d}n^{d} + b_{d−1}n^{d−1} log n + ⋯ + b_{0} log n + a_{0} +
+ c_{−1}n^{−1} + c_{−2}n^{−2} + ⋯ + c_{−r}n^{−r} + O(n^{−r−1})

à tout ordre r?

Il est raisonnable de conjecturer que la constante b introduite dans la question A.3.1 devrait pouvoir s’exprimer uniquement en fonction de la géométrie de Σ aux places à l’infini. La proposition 3.2.3 fournit un encadrement de cette constante b lorsque la fibre générique Σ_{K} est définie par l’annulation d’une section globale d’un fibré vectoriel sur X_{K} transverse à la section nulle. On a alors

d/4.\frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{d!} ≤ b ≤ (N + d/4)\frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{d!}.  (A.3.1)

Remarquons que la borne inférieure b = d/4.\frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{d!} est atteinte dans le cas où Σ est l’espace projectif standard considéré comme sous-schéma de lui-même (proposition 4.2.3) cependant que la borne supérieure b = (N + d/4)\frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{d!} n’a été atteinte dans les cas étudiés ici que sous l’hypothèse triviale N = d = 0. Par exemple, dans le cas où Σ est un sousespace linéaire de l’espace projectif, la proposition 4.2.8 donne b = (N/2−d/4)\frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{d!}. Il est possible que la démonstration de l’encadrement (A.3.1) donnée ici n’ait pas été optimale. Remarquons par exemple que la borne supérieure b ≤ (N + d/4)\frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{d!} a été établie au moyen du lemme 3.1.5, fournissant une borne sur la norme L^{∞} de la restriction d’une section globale de L à la sous-variété Σ en fonction de sa norme L^{2} sur la variété tout entière, puis en intégrant sur Σ cette borne sur la norme L^{∞} pour obtenir une borne sur la norme L^{2} de cette restriction. Peut-être ceci pourrait-il être amélioré, en établissant une variante du lemme 3.1.5 directement pour la norme L^{2} de la restriction, sans passer par la norme L^{∞}. Il est probable que ceci permette d’améliorer la borne supérieure sur b, sous la forme b ≤ (N − 3d/4)\frac{deg(L_{K}|_{Σ_{K}})}{d!}. Cependant, à ce jour, l’auteur n’envisage pas de méthode susceptible de permettre de calculer explicitement cette constante b en toute généralité.

A.3.b. On constate un autre phénomène remarquable lorsque l’on compare les termes constants donnés par les théorème 5.2.2 et corollaire 5.5.12 avec leurs analogues géométriques.

Soient S une courbe projective lisse sur un corps algébriquement clos k et Σ un k-schéma projectif réduit de dimension 1 muni d’un morphisme fini et plat π : Σ ⟶ S et d’un fibré en droites L ample relativement à π. On fera l’hypothèse que Σ est réunion de sous-schémas fermés Σ^{(i)} (i ∈ {1, …, l}) deux à deux distincts qui sont des courbes projectives lisses, images de sections

σ_{i} : S ⟶^{∼} Σ^{(i)} ⊂ Σ.

Notons

ν : Σ̃ ⟶ Σ

le morphisme de normalisation et π̃ = π ∘ ν : Σ̃ ⟶ S. Par [22] exemples 18.3.3 et 18.3.4.a on a

Td(Σ) = ν_{∗}Td(Σ̃) − ∑_{P ∈Σ(k)^{sing}} δ_{P} [P]

avec

δ_{P} = lg(ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})_{P} .

Appliquant alors les formules (A.1.3) et (A.1.4) à Σ et à Σ̃, on déduit de ce qui précède la relation

deg(π_{∗}(L^{⊗n})) = deg(π̃_{∗}(ν^{∗}L^{⊗n})) − ∑_{P} δ_{P} = deg(π̃_{∗}(ν^{∗}L^{⊗n})) − dim_{k} Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ}).

En outre, par les hypothèses faites précédemment, Σ̃ s’identifie à la réunion disjointe de l copies de S et on a

deg(π̃_{∗}(ν^{∗}L^{⊗n})) = ∑_{i=1}^{l} deg(σ_{i}^{∗}L^{⊗n}) = n ∑_{i=1}^{l} deg(σ_{i}^{∗}L) = n ∑_{i=1}^{l}(c_{1}(L).[Σ^{(i)}]),

d’où, finalement :

deg(π_{∗}(L^{⊗n})) = n.(c_{1}(L).[Σ]) − dim_{k} Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ}).  (A.3.2)

On remarquera que le terme constant de ce polynôme est l’analogue du terme de ramification fourni par le théorème 5.2.2. Plus précisément, par le théorème 5.2.2 (ou encore, par le théorème 5.5.8 et la discussion qui le précède), si Σ est un sous-schéma réduit de ℙ_{O_{K}}^{N} qui est réunion de l sections de Spec O_{K}, on a

h^{(n)}(Σ) =_{n→∞} n.h([Σ]) + \frac{l}{2} log \binom{N + n}{N} − \frac{1}{[K : ℚ]} log #Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ}) + O(n^{−1}).

(A.3.3)

Considérons maintenant la situation légèrement différente suivante. Soient S une courbe projective lisse sur un corps algébriquement clos k et Σ un k-schéma projectif réduit de dimension 1 muni d’un morphisme fini et plat π : Σ ⟶ S et d’un fibré en droites L ample relativement à π. On fera l’hypothèse que Σ est localement intersection complète. Alors, par [22], corollaire 18.3.1.b, on a

Td(Σ) = td(T_{Σ}) = [Σ] + \frac{1}{2}c_{1}(T_{Σ})

où conformément aux notations de [22], T_{Σ} est le fibré tangent virtuel de Σ. Injectant ceci dans le théorème A.1.1 (ou, directement, dans (A.1.3) et (A.1.4)) on trouve

deg(π_{∗}(L^{⊗n})) = n.(c_{1}(L).[Σ]) + \frac{1}{2}(c_{1}(T_{Σ}).[Σ]) − \frac{1}{2}(c_{1}(T_{S}).π_{∗}[Σ])

= n.(c_{1}(L).[Σ]) + \frac{1}{2}((c_{1}(T_{Σ}) − π^{∗}c_{1}(T_{S})).[Σ])

= n.(c_{1}(L).[Σ]) − \frac{1}{2}(c_{1}(T_{Σ/S}^{∨}).[Σ]).

(A.3.4)

À nouveau, le terme constant obtenu dans le cas géométrique est l’analogue du terme constant obtenu dans la situation arithmétique correspondante. En effet, par le corollaire 5.5.12, si Σ est un sous-schéma réduit de ℙ_{O_{K}}^{N} fini et plat sur Spec O_{K}, sous l’hypothèse que Σ est localement intersection complète on a

h^{(n)}(Σ) =_{n→∞} n.h([Σ]) + \frac{lg Σ}{2} log \binom{N + n}{N} − \frac{1}{2.[K : ℚ]} log #(Ω_{Σ/O_{K}}^{1}) + O(n^{−1}). (A.3.5)

Il est frappant que (A.3.2) et (A.3.4) présentent des termes constants analogues à ceux de (A.3.3) et (A.3.5) respectivement, alors que ces derniers présentent en outre un terme d’ordre logarithmique. On peut se demander si ce phénomène ne témoignerait pas, pour tout sous-schéma fermé Σ d’une variété arithmétique X, de l’existence d’une métrique naturelle sur les Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})_{σ} ou, du moins, sur leur puissance extérieure maximale, qui généraliserait la métrique de Quillen utilisée dans l’énoncé du théorème de Riemann-Roch arithmétique, de telle sorte que les termes logarithmiques (entre autres) proviennent de la différence entre cette métrique et celle utilisée dans la définition des hauteurs de sous-schémas. Remarquons cependant que, compte tenu de l’expression du terme logarithmique donnée dans le théorème 5.2.2, il est peu vraisemblable qu’une telle métrique se comporte continûment dans les familles plates de sous-schémas.

A.3.c. Une dernière question naturelle est la suivante, motivée par les proposition 2.3.8 et théorème 4.3.4.

Question A.3.3 Soient Y_{1} et Y_{2} deux sous-schémas d’une variété analytique complexe projective X munie d’une forme volume et d’un fibré en droites hermitien positif \overline{L}. Comment le réel

d^{(n)} = d_{Γ(Y_{1},L^{⊗n}|_{Y_{1}}),Γ(Y_{2},L^{⊗n}|_{Y_{2}})}

mesurant l’orthogonalité des quotients Γ(Y_{1}, L^{⊗n}|_{Y_{1}}) et Γ(Y_{2}, L^{⊗n}|_{Y_{2}}) de Γ(X, L^{⊗n}) se comporte-t-il lorsque n tend vers l’infini ? En particulier, si l’on note M la dimension de l’intersection Y_{1} ∩ Y_{2}, le rapport

\frac{log d^{(n)}}{n^{M}}

tend-il vers une limite finie, calculable en fonction de la géométrie de Y_{1} et Y_{2} au voisinage de Y_{1} ∩ Y_{2} ?

Supposons qu’on dispose, en réponse à la question A.3.3, de l’estimation (relativement faible) suivante :

log d^{(n)} =_{n→∞} O(n^{max(dim Y_{1},dim Y_{2})}).  (A.3.6)

Soient alors Σ_{1} et Σ_{2} deux sous-schémas d’une pré-variété arithmétique mesurée munie d’un fibré en droites hermitien positif. Alors, compte tenu de la proposition 2.3.8 et de l’estimation (A.3.6), pour que la réponse à la question A.2.1 soit positive pour le sousschéma Σ_{1} ∪ Σ_{2}, il suffirait qu’elle le soit pour chacun des sous-schémas Σ_{1}, Σ_{2} et Σ_{1} ∩ Σ_{2}. Ainsi, au moyen d’une récurrence sur la dimension, une réponse du type (A.3.6) à la question A.3.3 permettrait, dans l’étude de la question A.2.1, de se ramener au cas des sous-schémas de support irréductible.

Troisième partie

Deux exemples d’utilisation de méthodes arakeloviennes en théorie de l’approximation diophantienne Une preuve du théorème des six exponentielles par la méthode des pentes

6.1 Introduction

On se propose ici de donner une démonstration par la méthode des pentes (voir le paragraphe 1.4.1, ainsi que [9] appendice A) du résultat suivant :

Théorème 6.1.1 Soient a_{1}, a_{2} deux nombres complexes linéairement indépendants sur ℚ et b_{1}, b_{2}, b_{3} trois nombres complexes linéairement indépendants sur ℚ. Alors l’un au moins des six nombres

exp(a_{i}b_{j}) (1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3)

est transcendant.

Une démonstration similaire à la nôtre a été obtenue indépendamment par É. Gaudron dans [23], annexe à la partie 2. On pourra aussi trouver une démonstration élémentaire du théorème 6.1.1, reposant sur la construction d’une fonction auxiliaire, dans [64]. Le lecteur pourra consulter [65] pour obtenir de nombreuses généralisations de ce théorème, ainsi que des compléments historiques.

6.2 Choix des fibrés hermitiens

Pour démontrer le théorème 6.1.1, on raisonne par l’absurde en supposant que le corps

K = ℚ((e^{a_{i}b_{j}})_{1≤i≤2,1≤j≤3})

est algébrique. On note O_{K} l’anneau des entiers de K.

Les nombres complexes a_{1} et a_{2} étant linéairement indépendants sur ℚ, les fonctions f_{1}(z) = exp(a_{1}z) et f_{2}(z) = exp(a_{2}z) sont algébriquement indépendantes.

On choisit deux entiers r et s et on pose

E = O_{K}^{r^{2}}  et  F = O_{K}^{s^{3}}

qu’on munit des métriques hermitiennes naturelles.

On définit une application K-linéaire φ de E_{K} dans F_{K} comme suit : en identifiant E_{K} au K-espace vectoriel des polynômes en f_{1} et f_{2} de degré strictement inférieur à r par rapport à chaque variable, φ est l’évaluation d’un tel polynôme en les s^{3} points de la forme β_{1}b_{1} + β_{2}b_{2} + β_{3}b_{3} pour 0 ≤ β_{1}, β_{2}, β_{3} < s (ces points sont tous distincts puisque b_{1}, b_{2} et b_{3} sont linéairement indépendants sur ℚ). Autrement dit, pour [p_{α_{1},α_{2}}]_{0≤α_{1},α_{2}<r} ∈ E_{K}, on a :

\begin{aligned}φ([p_{α_{1},α_{2}}]_{α_{1},α_{2}<r}) & = [( ∑_{α_{1},α_{2}<r} p_{α_{1},α_{2}}f_{1}^{α_{1}}f_{2}^{α_{2}})(β_{1}b_{1} + β_{2}b_{2} + β_{3}b_{3})]_{β_{1},β_{2},β_{3}<s} \\ & = [ ∑_{α_{1},α_{2}<r} p_{α_{1},α_{2}} ∏_{1≤i≤2,1≤j≤3}(e^{a_{i}b_{j}})^{α_{i}β_{j}}]_{β_{1},β_{2},β_{3}<s} \\ & ∈ K^{s^{3}} = F_{K}. \end{aligned}  (6.2.1)

Lemme 6.2.1 Il existe une constante λ telle que, si s ≥ λr^{2/3}, l’application φ est injective.

Démonstration : Notons a = max(|a_{1}|, |a_{2}|) et b = max(|b_{1}|, |b_{2}|, |b_{3}|). Par le lemme de Tijdeman ([61], corollaire au théorème 1), si P (X_{1}, X_{2}) est un polynôme non nul à coefficients complexes de degré < r en X_{1} et X_{2}, la fonction f(z) = P (f_{1}(z), f_{2}(z)) a au plus 3r^{2} + 8arR zéros dans tout disque de rayon R. Supposons φ non injective, et soit P un élément non nul du noyau de φ. Alors la fonction f(z) = P (f_{1}(z), f_{2}(z)) admet s^{3} zéros dans un disque de rayon R = 3bs. Ainsi, si φ n’est pas injective, on a l’inégalité s^{3} ≤ 3r^{2}+24abrs. Ceci démontre le lemme, avec par exemple λ = 3 + 3ab. □

Pour tout entier t, on note F_{t} le sous-O_{K}-module de F, de rang s^{3} − t^{3}, défini comme suit :

F_{t} = {(q_{β_{1},β_{2},β_{3}})_{β_{1},β_{2},β_{3}<s} | q_{β_{1},β_{2},β_{3}} = 0 si β_{1}, β_{2}, β_{3} < t}.

Ceci définit une filtration

F = F_{0} ⊃ F_{1} ⊃ ⋯ ⊃ F_{s} = 0.

On note E_{t} = E ∩ φ^{−1}(F_{t,K}). Ceci définit une filtration de E, et on note φ_{t} l’application (injective) induite par φ sur les gradués associés :

φ_{t} : (E_{t}/E_{t+1})_{K} → (F_{t}/F_{t+1})_{K}.

Alors, de l’inégalité de pentes énoncée dans la proposition 1.4.2 on déduit l’inégalité suivante :

0 = d̂eg\overline{E} = ∑_{t} d̂eg\overline{E_{t}/E_{t+1}}

≤ ∑_{t}(rg E_{t} − rg E_{t+1})μ̂_{max}(\overline{E_{t}/E_{t+1}})

≤ ∑_{t}(rg E_{t} − rg E_{t+1})(h(φ_{t}) + μ̂_{max}(\overline{F_{t}/F_{t+1}}))

= ∑_{t}(rg E_{t} − rg E_{t+1})h(φ_{t})

(6.2.2)

la dernière égalité venant du fait que \overline{F_{t}/F_{t+1}} s’identifie au fibré libre de rang (t + 1)^{3} − t^{3} muni des métriques triviales.

6.3 Évaluation des normes

Soit 𝔭 un idéal premier de O_{K}. De la relation (6.2.1) on déduit l’existence d’une constante C(𝔭) telle que, pour tout t, on ait l’inégalité

log ∥φ_{t}∥_{𝔭} ≤ C(𝔭).rs.  (6.3.1)

Plus précisément, on peut prendre C(𝔭) = ∑_{i,j} log | exp(a_{i}b_{j})|_{𝔭}. En particulier, on peut supposer C(𝔭) = 0 pour presque tout 𝔭.

De la même façon, pour tout plongement σ de K dans ℂ, on déduit de (6.2.1) l’existence d’une constante C(σ) telle que, pour tout t, on ait l’inégalité

log ∥φ_{t}∥_{σ} ≤ C(σ).rs.  (6.3.2)

Cependant, si t est assez grand, on peut au moyen d’un lemme de Schwarz obtenir une inégalité plus fine sur log ∥φ_{t}∥_{σ}, en procédant comme suit.

Fixons le plongement σ, et considérons K comme un sous-corps de ℂ. Soient t ≥ 1 un entier et p = (p_{α_{1},α_{2}}) ∈ E_{t}. On note

F (z) = ∑_{α_{1},α_{2}<r} p_{α_{1},α_{2}}f_{1}^{α_{1}}f_{2}^{α_{2}}(z)

et

Q(z) = ∏_{β_{1},β_{2},β_{3}<t}(z − β_{1}b_{1} − β_{2}b_{2} − β_{3}b_{3}).

Par définition de E_{t}, la fonction F (z)/Q(z) est entière.

Si R est un réel > 0 et f une fonction entière, on notera |f|_{R} = sup_{z=R} |f(z)|.

Posons

R(t) = t log t.  (6.3.3)

Alors si t est assez grand, on a

R(t) > 2. sup_{β_{1},β_{2},β_{3}<t+1}{|β_{1}b_{1} + β_{2}b_{2} + β_{3}b_{3}|}.  (6.3.4)

Si z est un complexe de module R(t), l’inégalité (6.3.4) implique que, pour tous β_{1}, β_{2}, β_{3} < t, on a |z − β_{1}b_{1} − β_{2}b_{2} − β_{3}b_{3}| ≥ R(t)/2, d’où

|Q(z)| ≥ (R(t)/2)^{t^{3}}.  (6.3.5)

Soient alors γ_{1}, γ_{2}, γ_{3} trois entiers < t + 1, et z_{0} = γ_{1}b_{1} + γ_{2}b_{2} + γ_{3}b_{3}. Posons b = max{1, |b_{1}|, |b_{2}|, |b_{3}|}. Alors on a trivialement l’inégalité

|Q(z_{0})| ≤ (6bt)^{t^{3}}.  (6.3.6)

De plus, par (6.3.4), on a |z_{0}| < R(t). En appliquant le principe du maximum et les inégalités (6.3.5) et (6.3.6), on trouve

\begin{aligned}|F (z_{0})| & = |Q(z_{0})| |\frac{F}{Q}(z_{0})| ≤ |Q(z_{0})| | \frac{F}{Q} |_{R(t)} \\ & ≤ (c\frac{t}{R(t)})^{t^{3}} |F |_{R(t)} ≤ ∥p∥e^{c′rR(t)} (c\frac{t}{R(t)})^{t^{3}} \end{aligned}

où c et c′ sont des constantes convenables. On en déduit :

log ∥φ∥_{σ} ≤ c′rR(t) − t^{3}(log c + log \frac{R(t)}{t}).  (6.3.7)

6.4 Conclusion

Soit maintenant m un entier assez grand, de telle sorte que (6.3.4) soit satisfaite pour tout t ≥ m. Supposons qu’on ait s > m et que s vérifie la condition du lemme 6.2.1 (de telle sorte que φ soit injective). Alors en combinant l’inégalité (6.2.2) et les majorations (6.3.1), (6.3.2) et (6.3.7), on trouve

0 ≤ (1 − rg E_{m}/ rg E) sup_{t<m} h(φ_{t}) + (rg E_{m}/ rg E) sup_{t≥m} h(φ_{t})
≤ Crs + (rg E_{m}/ rg E)(CrR(t) − t^{3}(C + log(R(t)/t)))

(6.4.1)

pour un certain t ≥ m et pour une certaine constante C.

Par injectivité de φ, on a rg E_{m} ≥ r^{2} − m^{3}, donc rg E_{m}/ rg E ≥ 1 − m^{3}/r^{2}. En prenant m ≈ r^{5/8} et s ≈ λr^{2/3} (où λ est la constante donnée par le lemme 6.2.1), en remplaçant R par son expression (6.3.3), et en utilisant dans (6.4.1) l’encadrement m ≤ t ≤ s, on trouve

0 ≤ Crs + (rg E_{m}/ rg E)(CrR(s) − m^{3}(C + log(R(m)/m)))
≤ C′r^{5/3} log r − C′′r^{15/8}

pour des constantes positives C′ et C′′ adéquates. Il suffit alors de choisir r assez grand pour obtenir la contradiction initialement souhaitée.

Un critère d’indépendance algébrique arakelovien

La plupart des démonstrations de résultats d’indépendance algébrique, que ce soit en petit ou en grand degré de transcendance (cf. [46]) reposent sur un critère dont le prototype est celui démontré par P. Philippon dans [47]. Les outils utilisés principalement pour démontrer un tel critère relèvent en général de la théorie de l’élimination. Cependant, dans [56], C. Soulé a expliqué comment le mécanisme des hauteurs, qui joue un rôle crucial dans la démonstration du critère (voir par exemple [47] ou [48]), s’interprétait en termes de géométrie d’Arakelov^{1}.

Dans cette optique, on se propose ici de donner une démonstration d’un critère pour l’indépendance algébrique, dans laquelle tous les arguments de théorie de l’élimination ont été remplacés par des raisonnements faisant appel à la théorie de l’intersection arithmétique. Dans ses grandes lignes, la preuve suit celle donnée par M. Laurent et D. Roy dans [39] d’un critère pour l’indépendance algébrique avec multiplicités. La traduction en langage arakelovien des arguments permettant de prendre en compte les multiplicités ne semble pas devoir poser de problème mais, par souci de simplicité, on a donné ici une version sans multiplicités de ce critère.

Toutefois, on notera que le critère arakelovien ainsi obtenu ne présente, en lui-même, pas grand intérêt. D’abord, il n’est valable que sur le corps des nombres complexes, alors que les critères démontrés au moyen de la théorie de l’élimination peuvent en général aussi s’appliquer au cas p-adique. Ensuite, même sur ℂ, le critère énoncé ici est un peu moins fin que celui de [47]. Peut-être ce dernier point peut-il être amélioré.

Techniquement, la preuve repose sur l’introduction de métriques déformées sur les puissances du fibré en droites universel sur l’espace projectif. La construction de ces métriques déformées fait l’objet de la première section de ce chapitre.

1la théorie des hauteurs du point de vue arakelovien ayant été auparavant introduite (et appliquée avec succès à d’autres problèmes) dans [20].

7.1 Notations et constructions préliminaires

7.1.1 Construction de métriques déformées

Soient m un entier, E un ℂ-espace vectoriel hermitien de dimension m+1 et ℙ_{E} l’espace projectif des hyperplans de E muni de la structure kählérienne définie au paragraphe 1.3.1. Si x̃ et ỹ sont des éléments de E^{∨} et x et y les éléments de ℙ_{E}(ℂ) qu’ils engendrent, on pose

d(x, y) = \frac{∥x̃ ∧ ỹ∥_{⋀^{2} E^{∨}}}{∥x̃∥_{E^{∨}}∥ỹ∥_{E^{∨}}}

avec la normalisation (1.1.2) pour la norme puissance extérieure. De façon équivalente,

d(x, y) = (1 − \frac{|(x̃, ỹ)_{E^{∨}}|^{2}}{∥x̃∥_{E^{∨}}^{2}∥ỹ∥_{E^{∨}}^{2}} )^{1/2} .

Cette expression ne dépend pas du choix des représentants x̃ et ỹ de x et y. Elle est en outre invariante sous l’action naturelle du groupe unitaire U(E) sur ℙ_{E}(ℂ). Remarquons que le choix d’une base unitaire de E détermine un isomorphisme isométrique de ℙ_{E} sur l’espace projectif standard ℙ^{m}. Après action d’une transformation unitaire, on peut supposer que cet isomorphisme envoie x sur le point de coordonnées homogènes (1 : 0 : …: 0) et y sur (cos φ : sin φ : 0 : …: 0) pour un unique φ ∈ [0, π/2] convenablement choisi ; on a alors

d(x, y) = sin φ.

Le plus court segment de géodésique joignant ces deux points est la courbe

t ∈ [0, φ] ↦ (cos t : sin t : 0 : …: 0)

dont la longueur est précisément

dist_{géod}(x, y) = φ ∈ [0, π/2]

(ceci résulte de la normalisation choisie pour la forme de Kähler sur ℙ^{m}; voir par exemple le lemme 5.3.5). Pour tous x et y dans ℙ_{E}(ℂ) on a donc

d(x, y) = sin(dist_{géod}(x, y)).

Par le fait que pour tous réels a et b dans l’intervalle [0, π/2] on ait sin(a + b) ≤ sin a + sin b si a + b ≤ π/2 et sin a + sin b ≥ 1 sinon, ceci implique que d définit bien une distance sur ℙ_{E}(ℂ).

Notons ∥.∥_{E,0} = ∥.∥_{E} la norme hermitienne sur E et π : ℙ_{E} → Spec ℂ le morphisme structural. Rappelons que suivant les constructions du paragraphe 1.3.1, le fibré en droites universel O_{ℙ_{E}}(1) sur ℙ_{E} est muni de la métrique ∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1),0} définie par passage au quotient de la norme ∥.∥_{E,0} par la surjection naturelle π^{∗}E ⟶ O_{ℙ_{E}}(1). On notera parfois aussi ∥.∥_{F S} = ∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1),0} et on dira qu’il s’agit de la métrique de Fubini-Study. Par définition la forme de Fubini-Study sur ℙ_{E} est la première forme de Chern de cette métrique :

ω_{F S} = c_{1}(∥.∥_{F S}).

Fixons alors θ un élément de ℙ_{E}(ℂ) et notons l_{θ} une forme linéaire sur E de norme 1 représentant θ (ainsi l_{θ} est uniquement déterminée à multiplication par un complexe de module 1 près). Pour tout réel U ≥ 0 on définit une norme hermitienne ∥.∥_{E,U} sur E par la formule suivante :

∥x∥_{E,U}^{2} = ∥x∥_{E,0}^{2} + (e^{2U} − 1)|l_{θ}(x)|^{2}

pour x ∈ E. De façon équivalente, on a ∥x∥_{E,U} = ∥λ_{U}(x)∥_{E,0} où λ_{U} est l’endomorphisme autoadjoint de E égal à l’identité sur le noyau H_{θ} de l_{θ} et à la multiplication par e^{U} sur l’orthogonal de H_{θ}.

Définition 7.1.1 Avec ces notations, la métrique déformée d’amplitude U (centrée en θ) sur O_{ℙ_{E}}(1) est la métrique ∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1),U} définie par passage au quotient de la norme hermitienne ∥.∥_{E,U} par la surjection naturelle π^{∗}E ⟶ O_{ℙ_{E}}(1).

Remarquons que pour U = 0 on retrouve ainsi la métrique de Fubini-Study.

Proposition 7.1.2 Avec ces notations, on a

∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1),U} = e^{φ_{U}} ∥.∥_{F S}

où φ_{U} est la fonction définie par

φ_{U}(α) = −\frac{1}{2} log(e^{−2U}(1 − d(α, θ)^{2}) + d(α, θ)^{2})

pour α ∈ ℙ_{E}(ℂ).

Démonstration : Soient α un point de ℙ_{E}(ℂ) et α̃ un élément non nul de E^{∨} relevant α. Considérons un élément s de E et notons encore s son image naturelle dans Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}(1)). Par construction on a

∥s∥_{O_{ℙ_{E}}(1),U}(α) = \frac{|α̃(s)|}{∥α̃∥_{E^{∨},U}}

donc

\frac{∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1),U}^{2}}{∥.∥_{F S}^{2}} (α) = \frac{∥α̃∥_{E^{∨},0}^{2}}{∥α̃∥_{E^{∨},U}^{2}}

= \frac{∥α̃∥_{E^{∨},0}^{2}}{∥λ_{U}^{∗}(α̃)∥_{E^{∨},0}^{2}}

= \frac{∥α̃∥_{E^{∨},0}^{2}}{∥α̃∥_{E^{∨},0}^{2} + (e^{−2U} − 1)|(α̃, l_{θ})_{E^{∨},0}|^{2}}

= \frac{1}{1 + (e^{−2U} − 1)(1 − d(α, θ)^{2})}

ce qu’il fallait démontrer. □

Remarquons en particulier qu’en tout point, φ_{U} est positive ou nulle et qu’elle atteint son maximum, égal à U, en α = θ. On notera ω_{U} la forme de Chern de la métrique ∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1),U}. On a donc

ω_{U} = ω_{F S} − 2dd^{c}φ_{U}.

Il convient de signaler que, par construction, la forme ω_{U} est encore positive.

Remarque 7.1.3 On a construit les métriques déformées sur O_{ℙ_{E}}(1) à partir de normes hermitiennes sur E obtenues en dilatant la norme hermitienne initiale. On aurait aussi pu faire une construction analogue avec des normes non hermitiennes, de la façon suivante.

À toute norme N sur un espace vectoriel E de dimension m + 1 sur ℂ on associe une métrique (continue) ∥.∥ sur le fibré en droites universel O_{ℙ_{E}}(1) sur l’espace projectif ℙ_{E} des hyperplans de E, définie comme suit : en tout point α de ℙ_{E}, ∥.∥(α) est la norme quotient de N pour la projection canonique de E sur la fibre de O_{ℙ_{E}}(1) en α.

La métrique ainsi définie sur O_{ℙ_{E}}(1) est positive. En effet, en dualisant, il suffit de montrer que si s est une section locale de O_{ℙ_{E}}(−1) ne s’annulant pas, alors log ∥s∥(x) est une fonction plurisousharmonique de x (où l’on a muni O_{ℙ_{E}}(−1) de la métrique duale). Une fonction de plusieurs variables est plurisousharmonique si et seulement sa restriction à chaque droite affine (complexe) l’est. On se ramène donc au problème unidimensionnel qui suit.

Soient E = ℂ^{2} muni d’une norme N, E^{∨} muni de la norme duale, X = ℙ_{E}(ℂ) = ℙ^{1}(ℂ), π : X → Spec ℂ la projection canonique, (1 : z) une coordonnée locale holomorphe sur X au voisinage de (1 : 0), et u(z) une section locale de O_{ℙ_{E}}(−1) ne s’annulant pas. Par compatibilité des normes quotient à la dualité, O_{ℙ_{E}}(−1) est muni de la métrique ∥.∥ induite par l’inclusion i : O_{ℙ_{E}}(−1) ↪ π^{∗}E^{∨}, et on veut montrer que log ∥u(z)∥ est une fonction sousharmonique de z. Par [18] ch. I exemple (7.4.b), il suffit de montrer que l’ensemble des couples

{(w, z) ∈ ℂ × B | log |w| + log ∥u(z)∥ < 0}

est pseudoconvexe, où B est un ouvert pseudo-convexe de X. Or cet ensemble s’identifie au fibré en disques unitaires de O_{ℙ_{E}}(−1), via la trivialisation définie par u, et il est bien pseudoconvexe, car image inverse par l’application holomorphe i du fibré en disques unitaires de π^{∗}E^{∨} qui est convexe, donc pseudoconvexe.

Ceci étant fait, pour s ∈ Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}(1)), posons

∥s∥_{L^{∞}} = sup_{x∈ℙ_{E}} ∥s∥(x).

Alors, par le théorème de Hahn-Banach, ceci permet de retrouver la norme initiale sur E : on a

∥s∥_{L^{∞}} = N(s),

où l’on a fait l’identification canonique E = Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}(1)).

On va donner maintenant un autre moyen de construction des métriques déformées sur O_{ℙ_{E}}(1). Notons M le schéma de déformation au cône normal du sous-schéma {θ} de ℙ_{E}, i.e. l’éclaté de ℙ_{E} × ℙ^{1} en le sous-schéma {θ} × {∞}. Notons π_{M} : M → ℙ_{E} × ℙ^{1} la projection naturelle. Si p et q sont deux entiers, notons O_{ℙ_{E}×ℙ^{1}}(p, q) = pr_{1}^{∗}O_{ℙ_{E}}(p) ⊗ pr_{2}^{∗}O_{ℙ^{1}}(q) le fibré en droites naturel de bidegré (p, q) sur ℙ_{E} ×ℙ^{1}. On notera aussi O_{M}(p, q) = π_{M}^{∗}O_{ℙ_{E}×ℙ^{1}}(p, q). Remarquons que ce faisceau est muni d’une métrique naturelle (provenant des métriques de Fubini-Study sur chacun des facteurs).

Le faisceau d’idéaux ℑ définissant {θ}×{∞} comme sous-schéma de ℙ_{E}×ℙ^{1} est engendré par ses sections globales de bidegré (1, 1). On en déduit (par (3.1.2)) un morphisme naturel

f : M → ℙ_{H}

où H = Γ(ℙ_{E} × ℙ^{1}, ℑO_{ℙ_{E}×ℙ^{1}}(1, 1)). Notons D le diviseur exceptionnel sur M (c’est-à-dire l’image inverse par π_{M} du sous-schéma {θ} × {∞} de ℙ_{E} × ℙ^{1}). On a alors (cf. (3.1.3)) une identification naturelle

f^{∗}O_{ℙ_{H}}(1) = O_{M}(1, 1)(−D).

Remarquons que H est naturellement muni des normes L^{2} sur ℙ_{E} × ℙ^{1} (pour la mesure produit), de telle sorte que O_{ℙ_{H}}(1), puis O_{M}(1, 1)(−D) et plus généralement tous les O_{M}(p, q)(nD) (via l’égalité O_{M}(p, q)(nD) = O_{M}(1, 1)(−D)^{⊗−n} ⊗ O_{M}(p + n, q + n)) héritent de métriques naturelles.

Identifions l’ouvert ℙ^{1}(ℂ)∖{∞} de ℙ^{1}(ℂ) à ℂ et, pour tout réel U ≥ 0, notons α_{U} le point de coordonnée \sqrt{e^{2U} − 1}. Puisque π_{M} est un isomorphisme hors du diviseur exceptionnel, l’inclusion naturelle de ℙ_{E} = ℙ_{E} × {α_{U}} dans ℙ_{E} × ℙ^{1} se relève en une inclusion

i_{U} : ℙ_{E} ↪ M

et on a un isomorphisme naturel i_{U}^{∗}O_{M}(1, 0)(−D) = O_{ℙ_{E}}(1).

Proposition 7.1.4 Sous ces hypothèses, notons ∥.∥′_{O_{ℙ_{E}}(1),U} la métrique sur O_{ℙ_{E}}(1) déduite par restriction par i_{U} de la métrique naturelle sur O_{M}(1, 0)(−D). Alors on a

∥.∥′_{O_{ℙ_{E}}(1),U} = \frac{1}{\sqrt{2(m + 1)}}∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1),U}

où ∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1),U} est la métrique déformée définie au début de ce chapitre.

Démonstration : Notons ρ = ∥1∥_{O_{M} (D)} où 1 est la section canonique du faisceau O_{M}(D). Par définition, pour tout point (x̃, y) ∈ M(ℂ) s’envoyant par π_{M} sur (x, y) ∈ ℙ_{E} × ℙ^{1}(ℂ), on a

∥.∥_{O_{M} (1,0)(−D)}(x̃, y) = ∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1)}(x)/ρ(x̃, y)

donc, spécialisant en y = α_{U},

∥.∥′_{O_{ℙ_{E}}(1),U}(x) = ∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1)}(x)/ρ(i_{U}(x)).  (7.1.1)

Par ailleurs, par le lemme 3.1.7, pour toute base orthonormale (h_{1}, …, h_{d}) de H, on a ρ = (∥h_{1}∥_{O_{M} (1,1)}^{2} + ⋯ + ∥h_{d}∥_{O_{M} (1,1)}^{2})^{1/2}. Choisissons une base orthonormale (e_{1}, …, e_{m}) de l’hyperplan de E défini par θ et complétons-la en une base orthonormale (e_{0}, …, e_{m}) de E. Notons aussi (X_{0}, X_{1}) la base canonique de Γ(ℙ^{1}, O_{ℙ^{1}}(1)), ordonnée de telle sorte que le point ∞ admette pour coordonnées homogènes (0 : 1). Alors (e_{0} ⊗ X_{0}, …, e_{m} ⊗ X_{0}, e_{0} ⊗ X_{1}, …, e_{m} ⊗ X_{1}) est une base orthogonale de Γ(ℙ_{E} × ℙ^{1}, O_{ℙ_{E}×ℙ^{1}}(1, 1)) = Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}(1)) ⊗ Γ(ℙ^{1}, O_{ℙ^{1}}(1)) et par le lemme 1.3.4, pour tous i et j, les normes L^{2} des éléments de cette base vérifient

∥e_{i} ⊗ X_{j}∥_{O_{ℙ_{E} ×ℙ^{1}}(1,1),L^{2}(ℙ_{E}×ℙ^{1})}^{2} = ∥e_{i}∥_{O_{ℙ_{E}}(1),L^{2}(ℙ_{E})}^{2}∥X_{j}∥_{O_{ℙ^{1}}(1),L^{2}(ℙ^{1})}^{2} = \frac{1}{2(m + 1)}.

D’autre part, en tout point de ℙ_{E} × ℙ^{1} on a

∑_{\begin{matrix}0≤i≤m \\ 0≤j≤1 \end{matrix}} ∥e_{i} ⊗ X_{j}∥_{O_{ℙ_{E} ×ℙ^{1}}(1,1)}^{2} = ( ∑_{0≤i≤m} ∥e_{i}∥_{O_{ℙ_{E}}(1)}^{2})( ∑_{0≤j≤1} ∥X_{j}∥_{O_{ℙ^{1}}(1)}^{2}) = 1

donc, puisque H est l’hyperplan de Γ(ℙ_{E} × ℙ^{1}, O_{ℙ_{E}×ℙ^{1}}(1, 1))) orthogonal à e_{0} ⊗ X_{1}, on trouve

ρ = (2(m + 1)(1 − ∥e_{0} ⊗ X_{1}∥_{O_{M} (1,1)}^{2}))^{1/2}.

Maintenant, en x ∈ ℙ_{E}(ℂ), on a ∥e_{0}∥_{O_{ℙ_{E}}(1)}^{2}(x) = 1 − d(x, θ)^{2} et en α_{U} = (1 : \sqrt{e^{2U} − 1}) ∈

ℙ^{1}(ℂ), on a ∥X_{1}∥_{O_{ℙ^{1}}(1)}^{2}(α_{U}) = \frac{e^{2U} −1}{1+e^{2U} −1} = 1 − e^{−2U}, donc

ρ(i_{U}(x)) = (2(m + 1)(1 − (1 − e^{−2U})(1 − d(x, θ)^{2})))^{1/2} = (2(m + 1))^{1/2}e^{−φ_{U} (x)}.

On conclut en injectant ceci dans (7.1.1) et comparant avec la proposition 7.1.2. □

On retiendra de ceci que les métriques déformées ∥.∥_{O_{ℙ_{E}}(1),U} se recollent pour redonner (à une constante multiplicative près) la métrique naturelle sur le fibré O_{M}(1, 0)(−D) sur le schéma M de réduction au cône normal de θ dans ℙ_{E}.

7.1.2 Rappels sur les nombres de Lelong généralisés

Pour toute cette partie, on renvoie à [18], chapitre III.

Soit X une variété analytique complexe hermitienne. Une forme de bidegré (p, p) sur X est dite fortement positive si elle est localement combinaison linéaire à coefficients réels positifs de formes

(iα_{1} ∧ \overline{α_{1}}) ∧ ⋯ ∧ (iα_{p} ∧ \overline{α_{p}})

où les α_{i} sont des 1-formes. Un courant est dit positif s’il est localement dans le cône dual du cône des formes fortement positives. Une forme est dite positive si elle est positive en tant que courant. Enfin un courant est dit fortement positif s’il est localement dans le cône dual du cône des formes positives. Ceci implique qu’une forme est fortement positive si et seulement si elle l’est en tant que courant. En bidegré et en bidimension (0, 0) ou (1, 1), les notions de positivité et de positivité forte coïncident. Si u est une fonction plurisousharmonique, dd^{c}u est un courant positif. Si Z est un sous-ensemble analytique de X équidimensionnel, le courant d’intégration sur Z est positif.

Suivant [5], si u est une fonction plurisousharmonique localement bornée et T un courant positif fermé, on pose

(dd^{c}u) ∧ T = dd^{c}(uT),  (7.1.2)

avec la convention usuelle dd^{c} = \frac{i}{2π} ∂\overline{∂}; on prendra garde que cette convention diffère par un facteur 1/2 de celle de [18].

Le courant (dd^{c}u) ∧ T est encore un courant positif fermé.

On va maintenant définir les nombres de Lelong généralisés, suivant [18] section III.5. Supposons X de Stein et soit φ : X ⟶ [−∞, ∞[ une fonction d’exhaustion strictement plurisousharmonique. On pose

S(r) = {x ∈ X | φ(x) = r} et B(r) = {x ∈ X | φ(x) < r}.

Définition 7.1.5 Soient T un courant positif fermé de bidimension (p, p) et R un réel tel que B(R) ∩ SuppT soit d’adhérence compacte dans X. La mesure T ∧ (dd^{c}φ)^{p} étant définie par applications successives de (7.1.2), pour tout r ∈] − ∞, R[ on pose

ν(T, φ, r) = ∫_{B(r)} T ∧ (dd^{c}φ)^{p}.

C’est une fonction positive croissante de r et on définit le nombre de Lelong généralisé de T relativement au poids φ comme

ν(T, φ) = lim_{r→−∞} ν(T, φ, r) ≥ 0.

Un calcul rapide utilisant essentiellement la formule de Stokes (et à propos duquel on peut consulter [18] ch. III (5.5)) montre que si χ : ℝ ⟶ ℝ est une fonction convexe croissante C^{1}, alors

∫_{B(r)} T ∧ (dd^{c}(χ ∘ φ))^{p} = χ′(r)^{p}ν(T, φ, r).  (7.1.3)

On utilisera cette formule dans la situation suivante :

– X = ℂ^{m}

– T = δ_{Z} est le courant d’intégration sur un cycle effectif Z de dimension complexe p (i.e. combinaison linéaire à coefficients entiers positifs de sous-ensembles analytiques fermés purement de dimension p)

– φ(z) = log ∥z∥^{2} où z = (z_{1}, …, z_{m}) ∈ ℂ^{m} et ∥z∥^{2} = |z_{1}|^{2} + ⋯ + |z_{m}|^{2}

– χ est la fonction exponentielle. En posant r = log ρ^{2} on trouve

ν(T, φ, log ρ^{2}) = ν(T, φ, r)
= χ′(r)^{−p} ∫_{B(r)} T ∧ (dd^{c}(χ ∘ φ))^{p}
= ρ^{−2p} ∫_{∥z∥<ρ} δ_{Z} ∧ (dd^{c}(χ ∘ φ))^{p}.

Mais

dd^{c}(χ ∘ φ) = dd^{c}(|z_{1}|^{2} + ⋯ + |z_{m}|^{2})

= \frac{i}{2π} (dz_{1} ∧ d\overline{z}_{1} + ⋯ + dz_{m} ∧ d\overline{z}_{m})

= \frac{1}{π} (dx_{1} ∧ dy_{1} + ⋯ + dx_{m} ∧ dy_{m})

est la 2-forme associée à la métrique hermitienne standard sur ℂ^{m} dont la partie réelle est la métrique euclidienne usuelle sur ℝ^{2m}, de telle sorte que, par le théorème de Wirtinger (cf. [28] p. 31 ou [18] section III.1.D.) et par la remarque 1.1.4, on trouve

∫_{∥z∥<ρ} δ_{Z} ∧ (dd^{c}(χ ∘ φ))^{p} = \frac{p!}{π^{p}} Vol_{eucl}(Z ∩ B_{ℂ^{m}}(ρ))

où B_{ℂ^{m}}(ρ) est la boule de rayon ρ pour la métrique euclidienne standard sur ℂ^{m} = ℝ^{2m} et Vol_{eucl}(Z ∩B_{ℂ^{m}}(ρ)) est le volume de Z ∩B_{ℂ^{m}}(ρ) pour la mesure sur Z déduite naturellement de cette structure euclidienne. On trouve donc finalement

ν(δ_{Z}, φ, log ρ^{2}) = \frac{Vol_{eucl}(Z ∩ B_{ℂ^{m}}(ρ))}{Vol_{eucl}(B_{ℂ^{p}}(ρ))}.  (7.1.4)

Faisant tendre ρ vers 0, on retrouve les propriétés des nombres de Lelong usuels : ν(δ_{Z}, φ) est la multiplicité de Z en l’origine. Une autre conséquence importante de la formule (7.1.4) est que le rapport

\frac{Vol_{eucl}(Z ∩ B_{ℂ^{m}}(ρ))}{ρ^{2p}}

est une fonction croissante de ρ. Pour tout ceci, on peut consulter [18], formules III.(5.6) à III.(5.9).

On va maintenant établir une version projective de cet énoncé affine. Pour ce faire, on utilisera essentiellement la proposition suivante :

Proposition 7.1.6 Soient ℙ^{m}(ℂ) l’espace projectif standard muni de la distance d définie au début de ce chapitre, ω_{F S} la forme de Fubini-Study et α le point de coordonnées homogènes (1 : 0 : …: 0). Notons

\begin{aligned}f : & ℂ^{m} & ⟶ & ℙ^{m}(ℂ) \\ & (z_{1}, …, z_{m}) & ↦ & (1 : z_{1} : …: z_{m}) \end{aligned}

le plongement usuel. Pour r ∈ [0, 1[ notons B_{ℙ^{m}}(r) la boule de ℙ^{m}(ℂ) centrée en α et de rayon r (pour la distance d). Donnons-nous Z un cycle effectif de ℙ^{m}(ℂ) de dimension p et notons

Vol_{F S}(Z ∩ B_{ℙ^{m}}(r)) = ∫_{Z∩{d(α,β)<r}} ω_{F S}^{p}|_{Z}(β) = ∫_{B_{ℙ^{m}}(r)} δ_{Z}ω_{F S}^{p}.

Alors si ρ = \sqrt{r^{2}/(1 − r^{2})} (donc r^{2} = ρ^{2}/(1 + ρ^{2})), on a

Vol_{F S}(Z ∩ B_{ℙ^{m}}(r)) = r^{2p}ν(δ_{f^{∗}Z}, φ, log ρ^{2})

où, comme précédemment, on a noté φ la fonction φ(z) = log ∥z∥^{2} pour z ∈ ℂ^{m}.

Démonstration : Sur ℂ^{m} définissons une fonction

ψ(z) = log(1 + (|z_{1}|^{2} + ⋯ + |z_{m}|^{2})) = log(1 + ∥z∥^{2}).

Alors ψ est plurisousharmonique et on a

dd^{c}ψ = f^{∗}ω_{F S}.

D’autre part, si β = (1 : z_{1} : …: z_{m}) = f(z) ∈ ℙ^{m}(ℂ), on a d(α, β)^{2} = \frac{∥z∥^{2}}{1+∥z∥^{2}} < r^{2} si

et seulement si ∥z∥^{2} < ρ^{2} = \frac{r^{2}}{1−r^{2}} , ou encore si et seulement si ψ(z) < log(1 + ρ^{2}). Ceci implique

Vol_{F S}(Z ∩ B_{ℙ^{m}}(r)) = ∫_{d(α,f(z))<r} δ_{Z}.ω_{F S}^{p}(f(z))
= ∫_{ψ<log(1+ρ^{2})} δ_{f^{∗}Z}.(f^{∗}ω_{F S})^{p}
= ∫_{ψ<log(1+ρ^{2})} δ_{f^{∗}Z}.(dd^{c}ψ)^{p}
= ν(δ_{f^{∗}Z}, ψ, log(1 + ρ^{2})).

De plus on a par définition

ψ = log(1 + e^{φ})

de sorte que

dd^{c}(e^{ψ}) = dd^{c}(e^{φ})

et, en utilisant deux fois (7.1.3) avec χ(x) = e^{x}, on trouve

ν(δ_{f^{∗}Z}, ψ, log(1 + ρ^{2})) = \frac{1}{(1 + ρ^{2})^{p}} ∫_{ψ<log(1+ρ^{2})} δ_{f^{∗}Z}.(dd^{c}(e^{ψ}))^{p}

= \frac{1}{(1 + ρ^{2})^{p}} ∫_{φ<log ρ^{2}} δ_{f^{∗}Z}.(dd^{c}(e^{φ}))^{p}

= (\frac{ρ^{2}}{1 + ρ^{2}} )^{p} ν(δ_{f^{∗}Z}, φ, log ρ^{2})

ce qu’il fallait démontrer. □

Corollaire 7.1.7 Avec les notations de la proposition 7.1.6, le rapport

\frac{Vol_{F S}(Z ∩ B_{ℙ^{m}}(r))}{r^{2p}}

est une fonction croissante de r.

Démonstration : Par la proposition on a

\frac{Vol_{F S}(Z ∩ B_{ℙ^{m}}(r))}{r^{2p}} = ν(δ_{f^{∗}Z}, φ, log ρ^{2}),

où ρ = \sqrt{r^{2}/(1 − r^{2})} est une fonction croissante de r. Mais le courant δ_{f^{∗}Z} ∧ (dd^{c}φ)^{p} est positif, ce qui fait que ν(δ_{f^{∗}Z}, φ, log ρ^{2}) est une fonction croissante de ρ, et termine la démonstration. □

Corollaire 7.1.8 Avec les notations de la proposition 7.1.6, on a

Vol_{F S}(B_{ℙ^{m}}(r)) = r^{2m}.

Démonstration : Cela résulte immédiatement de la proposition, en prenant Z = ℙ^{m}, puis en appliquant (7.1.4). Remarquons qu’on aurait aussi pu établir aisément cette formule au moyen d’un calcul direct. □

Ceci permet de reformuler un peu plus élégamment les résultats de la proposition, sous la forme qui suit : si Z est un cycle effectif de ℙ^{m}(ℂ) de dimension p et si ρ = \sqrt{r^{2}/(1 − r^{2})} (de telle sorte que f^{∗}B_{ℙ^{m}}(r) = B_{ℂ^{m}}(ρ)), on a

ν(δ_{f^{∗}Z}, ψ, log(1 + ρ^{2})) = Vol_{F S}(Z ∩ B_{ℙ^{m}}(r)),  (7.1.5)

ν(δ_{f^{∗}Z}, φ, log ρ^{2}) = \frac{Vol_{F S}(Z ∩ B_{ℙ^{m}}(r))}{Vol_{F S}(B_{ℙ^{p}}(r))} = \frac{Vol_{eucl}(f^{∗}Z ∩ B_{ℂ^{m}}(ρ))}{Vol_{eucl}(B_{ℂ^{p}}(ρ))}  (7.1.6)

et

\frac{Vol_{F S}(Z ∩ B_{ℙ^{m}}(r))}{Vol_{eucl}(f^{∗}(Z ∩ B_{ℙ^{m}}(r)))} = \frac{p!}{π^{p}} (1 − r^{2})^{p},  (7.1.7)

où φ et ψ sont les fonctions sur ℂ^{m} définies par φ(z) = log ∥z∥^{2} et ψ(z) = log(1 + ∥z∥^{2}).

Corollaire 7.1.9 Soient Z_{1} et Z_{2} deux cycles effectifs de ℙ^{m}(ℂ) de même dimension. Soit f : ℂ^{m} ⟶ ℙ^{m}(ℂ), f(z_{1}, …, z_{m}) = (1 : z_{1} : …: z_{m}) le plongement usuel, envoyant l’origine sur α = (1 : 0 : …: 0). Alors si B est une boule de ℙ^{m}(ℂ) centrée en α dont l’intersection avec Z_{2} est relativement d’intérieur non vide, on a

\frac{Vol_{F S}(Z_{1} ∩ B)}{Vol_{F S}(Z_{2} ∩ B)} = \frac{Vol_{eucl}(f^{∗}(Z_{1} ∩ B))}{Vol_{eucl}(f^{∗}(Z_{2} ∩ B))}.

Démonstration : C’est une conséquence immédiate de (7.1.7). □

7.2 Énoncé et principe de la démonstration du théorème

Soit K un corps de nombres d’anneau d’entiers O_{K}. Quitte à remplacer K par K[i], on supposera K totalement imaginaire. Soit \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien de rang m+1. Le schéma ℙ_{E} et les fibrés \overline{O_{ℙ_{E}}(n)} sont munis des structures hermitiennes habituelles, définies au paragraphe 1.4.2. Notons λ_{max}^{(0)} le plus grand des minima successifs ^{2} de \overline{E}, c’est-à-dire le plus petit réel tel qu’il existe des éléments X_{0}, …, X_{m} de E qui forment une base de E_{K} et tels que pour tout i et pour tout plongement τ de K dans ℂ on ait ∥X_{i}∥_{τ} ≤ λ_{max}^{(0)}. Choisissons donc une telle base, et posons enfin λ_{max} = max(1, λ_{max}^{(0)}).

2voir [15] ou [44] pour une définition générale des minima successifs.

Fixons maintenant σ un plongement de K dans ℂ, et θ un point de ℙ_{E,σ}(ℂ). Appliquons alors les constructions du paragraphe 7.1.1 à l’espace hermitien E_{σ} et au point θ. Plus précisément, dans cette situation, pour tout réel U ≥ 0, notons encore φ_{U} la fonction dont l’expression est donnée dans l’énoncé de la proposition 7.1.2. On note alors \overline{L}_{U} le fibré trivial de rang 1 sur ℙ_{E} muni de la métrique ∥.∥_{U} définie comme suit : pour tout plongement τ de K dans ℂ et pour tout point α de ℙ_{E,τ} (ℂ), la norme en α de la section canonique 1 de \overline{L}_{U} vaut

∥1∥_{U}(α) = \{ \begin{matrix}e^{φ_{U} (α)} & si τ = σ \\ e^{φ_{U} (\overline{α})} & si τ = \overline{σ} \\ 1 & sinon. \end{matrix}

Plus généralement, on pose

\overline{L}_{U}(n) = \overline{L}_{U} ⊗ \overline{O}(n)

et on note encore ∥.∥_{U} la métrique sur \overline{L}_{U}(n). En particulier, pour n = 1 et au plongement σ, on retrouve la métrique déformée d’amplitude U définie au début de ce chapitre ; tandis que pour tout n et pour tout plongement différent de σ et \overline{σ}, la métrique ∥.∥_{U} coïncide avec la métrique standard sur O_{ℙ_{E}}(n).

On prendra garde toutefois que la métrique sur \overline{L}_{U}(n) n’est pas la n-ième puissance tensorielle de la métrique sur \overline{L}_{U}(1).

Si U est un réel positif ou nul et n un entier strictement positif, pour tout sous-schéma intègre W de ℙ_{E} de dimension e + 1 tel que W_{K} soit non vide, on pose

p_{U,n}(W) = \frac{(ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e+1}.W)}{n^{e} deg W_{K}}

et

ρ_{W} = d(θ, |W_{σ}|) = inf_{w∈|W_{σ}|(ℂ)}d(θ, w).

Ceci étant fait, on peut maintenant énoncer le théorème.

Théorème 7.2.1 Soit p ≥ 0 un entier naturel. Supposons qu’il existe deux suites croissantes (V_{k})_{k∈ℕ} et (T_{k})_{k∈ℕ} de réels strictement positifs et une suite (F_{k})_{k∈ℕ} de parties de Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}(k)) telles que

i. les rapports \frac{V_{k}}{k^{p+1}} et \frac{V_{k}}{k^{p}T_{k}} tendent vers l’infini quand k tend vers l’infini ;

ii. pour tout Q dans F_{k} on ait log ∥Q∥_{V_{k},L^{∞}} ≤ T_{k};

iii. les Q ∈ F_{k} n’aient pas de zéro commun dans la boule B(θ, e^{−V_{k−1}}) (pour la distance d définie au début de ce chapitre).

Alors le degré de transcendance sur K du corps K(θ) est strictement supérieur à p.

On trouvera un exemple typique d’utilisation d’un critère analogue à celui-ci dans [47]. La démonstration du théorème repose sur les quatre lemmes suivants.

Lemme 7.2.2 Soient U un réel positif ou nul, d ≥ 0 un entier et Z un sous-schéma intègre de ℙ_{E} de dimension d + 1 dont la fibre générique Z_{K} est non vide. Supposons ρ_{Z} < e^{−U}. Alors

((ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1))^{d+1} − ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1}).Z) ≤ −\frac{2}{[K : ℚ]}(U − C(d, m, deg Z_{K}))

où C(d, m, deg Z_{K}) = \frac{1}{2} log 2 + \frac{deg Z_{K}}{2} (d.(1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m−1}) + (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{d})).

Lemme 7.2.3 Pour tout réel U ≥ 0, tous entiers d ≥ 0 et n ≥ 1, et tout cycle effectif Z ∈ Z_{d+1}(ℙ_{E}), on a

((ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{d+1} − n^{d+1}ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1}).Z) ≤ ((ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1))^{d+1} − ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1}).Z).

Lemme 7.2.4 Soient U et V des réels positifs ou nuls, n ≥ 1 un entier, W un sous-schéma intègre de ℙ_{E} de dimension e + 1 ≥ 1 dont la fibre générique W_{K} est non vide, et P un élément de Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}(n)) non identiquement nul sur W. Supposons V ≥ min(U, − log ρ_{W}). Alors :

– si e > 0, il existe un sous-schéma intègre W′ ⊂ W de dimension e et de fibre générique non vide, tel que

p_{U,n}(W′) ≤ p_{U,n}(W) + log ∥P ∥_{V,L^{∞}(ℙ_{E}(ℂ))} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2 ;

– si e = 0, on a

p_{U,n}(W) ≥ −(log ∥P ∥_{V,L^{∞}(ℙ_{E}(ℂ))} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2).

Lemme 7.2.5 Soient U un réel positif, n ≥ 1 un entier et W un sous-schéma intègre de dimension e + 1 dont la fibre générique est non vide. Alors

p_{U,n}(W) ≥ (e + 1)(\frac{2}{[K : ℚ]} log ρ_{W} − n log λ_{max}).

Montrons comment ces lemmes impliquent le théorème.

Par l’absurde, on suppose qu’il existe un entier naturel d ≤ p et un sous-schéma intègre Z de ℙ_{E}, de dimension générique d, donc de dimension absolue d + 1, tel que θ ∈ |Z_{σ}|(ℂ). Alors pour tout n on a ρ_{Z} = 0 < e^{−V_{n}}, et on peut appliquer les lemmes 7.2.2 et 7.2.3 à U = V_{n}. Après division par n^{d} deg Z_{K}, on trouve :

p_{V_{n},n}(Z) = \frac{(ĉ_{1}(\overline{L}_{V_{n}}(n))^{d+1}.Z)}{n^{d} deg Z_{K}} ≤ −\frac{2}{[K : ℚ] deg Z_{K}} \frac{V_{n}}{n^{d}} + O(n).  (7.2.1)

Fixons maintenant un entier n_{0} et montrons que pour tout n > n_{0} on a

p_{V_{n},n}(Z) ≥ −(d + 1)(T_{n} + n log λ_{max} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2 + \frac{2}{[K : ℚ]}V_{n_{0}}).  (7.2.2)

Compte tenu de l’inégalité (7.2.1) et du fait que d ≤ p, ceci contredira l’hypothèse i. du théorème et terminera la démonstration.

Raisonnons par l’absurde et supposons donc que (7.2.2) n’est pas vérifiée. Il existe alors un sous-schéma intègre W de Z génériquement non vide et de dimension absolue e + 1 ≥ 1 minimale, tel que

p_{V_{n},n}(W) < −(e + 1)(T_{n} + n log λ_{max} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2 + \frac{2}{[K : ℚ]}V_{n_{0}}).  (7.2.3)

Par le lemme 7.2.5 on a donc

(e + 1)(\frac{2}{[K : ℚ]} logρ_{W} − n log λ_{max}) ≤ p_{V_{n},n}(W)

< −(e + 1)(T_{n} + n log λ_{max} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2 + \frac{2}{[K : ℚ]}V_{n_{0}})

≤ −(e + 1)n log λ_{max} − \frac{2(e + 1)}{[K : ℚ]}V_{n_{0}}

d’où

log ρ_{W} < −V_{n_{0}}.

Soit alors k ≤ n maximal tel que log ρ_{W} < −V_{k−1}. Alors, si k < n, on a log ρ_{W} ≥ −V_{k}, et sinon, k = n donc V_{k} = V_{n}. Dans tous les cas, on a V_{k} ≥ min(V_{n}, − log ρ_{W}).

Par ailleurs, puisque log ρ_{W} < −V_{k−1} et que par l’hypothèse iii. les éléments de F_{k} n’ont pas de zéro commun dans B(θ, e^{−V_{k−1}}), il existe Q ∈ F_{k} non identiquement nul sur W. En choisissant convenablement i ∈ {0, …, m}, l’élément P = X_{i}^{n−k}Q de Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}(n)) est lui aussi non identiquement nul sur W. On peut donc appliquer le lemme 7.2.4 à W et P avec U = V_{n} et V = V_{k}. Remarquons qu’on a

∥P ∥_{V_{k},L^{∞}} ≤ λ_{max}^{n−k}∥Q∥_{V_{k},L^{∞}} ≤ λ_{max}^{n}e^{T_{k}},

par l’hypothèse ii.

Alors, si e > 0, le premier cas du lemme 7.2.4 fournit W′ ⊂ W de dimension e et de fibre générique non vide, vérifiant

p_{V_{n},n}(W′) ≤ p_{V_{n},n}(W) + log ∥P ∥_{V_{k},L^{∞}} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2

< −(e + 1)(T_{n} + n log λ_{max} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2 + \frac{2}{[K : ℚ]}V_{n_{0}})

+ T_{k} + n log λ_{max} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2

≤ −e.(T_{n} + n log λ_{max} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2 + \frac{2}{[K : ℚ]}V_{n_{0}})

ce qui contredit la minimalité de e dans (7.2.3). Et de la même façon, si e = 0, par le second cas du lemme on a

p_{V_{n},n}(W) ≥ −(log ∥P ∥_{V_{k},L^{∞}(ℙ_{E}(ℂ))} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2)
≥ −(T_{k} + n log λ_{max} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2)

contredisant à nouveau (7.2.3). Ceci achève la démonstration du théorème.

7.3 Démonstration des lemmes

7.3.1 Démonstration du lemme 7.2.2

Rappelons qu’on avait noté ω_{U} = ω_{F S} − 2dd^{c}φ_{U} la forme de courbure de \overline{L}_{U}(1), qui est positive. Par hypothèse, il existe α ∈ |Z|_{σ}(ℂ) avec d(θ, α) < e^{−U}.

De [11] formule (3.2.3) et du fait que les fibrés hermitiens \overline{O}(1) et \overline{L}_{U}(1) coïncident partout excepté aux plongements σ et \overline{σ}, on déduit

\begin{matrix}((ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1))^{d+1}− & ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1}).Z) \\ = \frac{1}{[K : ℚ]} (∫_{Z_{σ}}(−φ_{U}) ∑_{i+j=d} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j} + ∫_{Z\overline{σ}}(−φ_{U}) ∑_{i+j=d} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j} ) \end{matrix}

(on a noté ∫_{Z_{σ}} le courant d’intégration contre le cycle Z_{σ}; remarquer aussi le facteur \frac{1}{[K:ℚ]}, qui n’est pas présent dans [11], et qui ici vient de ce que, d’après les conventions de la section 1.4.1, on considère toujours dans cette thèse des degrés d’Arakelov normalisés).

Ainsi la démonstration du lemme 7.2.2 se ramène à l’énoncé sur ℂ suivant :

Lemme 7.3.1 Soient E un espace hermitien de dimension m + 1, θ un point de ℙ_{E}, U un réel positif et Z un cycle effectif de dimension d. On suppose qu’il existe un point α ∈ |Z| tel que d(θ, α) < e^{−U}. Alors on a

∫_{Z} φ_{U} ∑_{i+j=d} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j} ≥ U − C(d, m, deg Z).  (7.3.1)

Démonstration : On procède par récurrence sur la dimension d de Z. Si d = 0, l’hypothèse sur α et la positivité de φ_{U} impliquent

∫_{Z} φ_{U} ∑_{i+j=d} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j} = ∫_{Z} φ_{U} ≥ φ_{U}(α) = −\frac{1}{2} log(e^{−2U} + (1 − e^{−2U})d(θ, α)^{2})

≥ −\frac{1}{2} log(e^{−2U} + (1 − e^{−2U})e^{−2U})

≥ −\frac{1}{2} log(2e^{−2U}) = U − \frac{1}{2} log 2 = U − C(0, m, deg Z).

Supposons maintenant l’inégalité (7.3.1) établie en dimension d−1. Soit s ∈ Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}(1)) telle que Σ = divs rencontre proprement Z. On a ω_{F S} = dd^{c}(− log ∥s∥_{F S}^{2}) + δ_{Σ}, et

∫_{Z} φ_{U} ∑_{i+j=d} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j} = ∫_{Z} φ_{U}ω_{U}^{d} + ∫_{Z} φ_{U}.(dd^{c}(− log ∥s∥_{F S}^{2}) + δ_{Σ}) ∑_{i+j=d−1} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j}

= ∫_{Z} φ_{U}ω_{U}^{d} + ∫_{Z} log ∥s∥_{F S}.(−2dd^{c}φ_{U}) ∑_{i+j=d−1} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j} + ∫_{Z} δ_{Σ}φ_{U} ∑_{i+j=d−1} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j}

= ∫_{Z} φ_{U}ω_{U}^{d} + ∫_{Z} log ∥s∥_{F S}.(ω_{U} − ω_{F S}) ∑_{i+j=d−1} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j} + ∫_{Z.Σ} φ_{U} ∑_{i+j=d−1} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j}

= ∫_{Z} φ_{U}ω_{U}^{d} + ∫_{Z} log ∥s∥_{F S}ω_{U}^{d} − ∫_{Z} log ∥s∥_{F S}ω_{F S}^{d} + ∫_{Z.Σ} φ_{U} ∑_{i+j=d−1} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j}

= ∫_{Z} log ∥s∥_{U}ω_{U}^{d} − ∫_{Z} log ∥s∥_{F S}ω_{F S}^{d} + ∫_{Z.Σ} φ_{U} ∑_{i+j=d−1} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j}.

En supposant s(α) = 0, on a α ∈ |Z| ∩ |Σ|, donc on peut appliquer l’hypothèse de récurrence pour minorer le dernier terme de cette somme :

∫_{Z.Σ} φ_{U} ∑_{i+j=d−1} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j} ≥ U − C(d − 1, m, deg Z)

(remarquer que deg(Z.Σ) = deg Z). D’autre part, on peut choisir s dans la sphère unité de ∥.∥_{U,L^{∞}}, de telle sorte qu’en tout point log ∥s∥_{F S} ≤ log ∥s∥_{U} ≤ 0. De tout ceci on déduit la minoration

∫_{Z} φ_{U} ∑_{i+j=d} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j} ≥ U − C(d − 1, m, deg Z) + ∫_{Z} log ∥s∥_{U}.ω_{U}^{d}.

Cette dernière inégalité est vérifiée pour presque toute s dans la sphère unité S de l’hyperplan H de Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}(1)) annulateur de α muni de la norme ∥.∥_{U,L^{∞}}. Faisant varier s dans S et moyennant par rapport à la mesure de probabilité μ sur S invariante sous l’action du groupe unitaire de la norme ∥.∥_{U,L^{∞}} sur H, on trouve finalement

∫_{Z} φ_{U} ∑_{i+j=d} ω_{F S}^{i}ω_{U}^{j} ≥ U − C(d − 1, m, deg Z) + ∫_{S} ∫_{Z} log ∥s∥_{U}ω_{U}^{d}dμ(s).

Pour terminer la démonstration, il suffit de montrer que pour tout cycle effectif Z ⊂ ℙ_{E} de dimension d, on a

∫_{S} ∫_{Z} log ∥s∥_{U}ω_{U}^{d}dμ(s) ≥ −\frac{deg Z}{2} (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m − 1}) − \frac{deg Z}{2d} .  (7.3.2)

Remarquons que cette dernière intégrale double ne fait intervenir que la métrique déformée ∥.∥_{U}, et pas la métrique initiale. Ainsi, en choisissant une base de E orthonormale pour la norme déformée ∥.∥_{E,U}, on peut calculer cette intégrale double en remplaçant ℙ_{E} par l’espace projectif standard, la métrique ∥.∥_{U} par la métrique standard, et la forme ω_{U} par la forme de Fubini-Study ; on peut aussi supposer que α est le point de coordonnées homogènes (1 : 0 : …: 0). L’inégalité (7.3.2) est alors un cas particulier du lemme suivant :

Lemme 7.3.2 Soit Z un cycle effectif de dimension d dans l’espace projectif standard ℙ^{m} sur ℂ. Notons α le point de coordonnées homogènes (1 : 0 : …: 0) de ℙ^{m}, S la sphère unité (pour la norme ∥.∥_{F S,L^{∞}}) de l’hyperplan de Γ(ℙ^{m}, O(1)) annulateur de α, μ la mesure de probabilité sur S invariante sous l’action du groupe unitaire, H_{m−1} = 1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m−1} le (m − 1)-ième nombre harmonique, deg(Z) ∈ ℕ le degré de Z et ν(Z) ∈ ℕ la multiplicité de Z en α, c’est-à-dire (avec les notations la définition 7.1.5 et de la proposition 7.1.6) ν(Z) = ν(δ_{f^{∗}Z}, φ). Alors on a

−\frac{deg(Z)}{2d} ≤ ∫_{S} ∫_{Z} log ∥s∥ω_{F S}^{d}dμ(s) + \frac{deg(Z)}{2}H_{m−1} ≤ −\frac{ν(Z)}{2d}.

Démonstration : Pour tout β ∈ |Z| de coordonnées homogènes (β_{0} : β_{1} : …: β_{m}) normalisées de telle sorte que |β_{0}|^{2} + |β_{1}|^{2} + ⋯ + |β_{m}|^{2} = 1, on a

∫_{S} log ∥s(β)∥dμ(s) = ∫_{|s_{1}|^{2}+···+|s_{m}|^{2}=1} log |β_{1}s_{1} + ⋯ + β_{m}s_{m}|dμ(s)
= ∫_{S^{2m−1}} log |z_{1}|dμ_{S^{2m−1}}(z) + log \sqrt{|β_{1}|^{2} + ⋯ + |β_{m}|^{2}}
= −\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{m − 1}) + log d(α, β)

(on trouvera ce dernier calcul d’intégrale détaillé par exemple dans [38], prop. 5) de telle sorte que, en inversant l’ordre d’intégration dans l’intégrale double, on trouve

∫_{S} ∫_{Z} log ∥s∥ω_{F S}^{d}dμ(s) = −\frac{deg(Z)}{2}H_{m−1} + ∫_{Z} log d(α, β)ω_{F S}^{d}(β).  (7.3.3)

Posons

v(r) = ∫_{B_{ℙ^{m}}(r)} δ_{Z}ω_{F S}^{d} = ∫_{Z∩{d(α,β)≤r}} ω_{F S}^{d}(β).

Par la théorie des nombres de Lelong généralisés, et plus précisément par les proposition 7.1.6 et corollaire 7.1.7, le rapport \frac{v(r)}{r^{2d}} est une fonction croissante de r dont la limite pour r tendant vers 0 vaut ν(Z). Puisque par ailleurs on a v(1) = deg(Z), ceci implique pour tout r ∈ [0, 1] l’encadrement

ν(Z)r^{2d} ≤ v(r) ≤ deg(Z)r^{2d}

et ainsi on dispose pour la quantité

− ∫_{Z} log d(α, β)ω_{F S}^{d}(β) = − ∫_{0}^{1} log(r)\frac{d}{dr} v(r)dr = ∫_{0}^{1} \frac{v(r)}{r}dr

de l’encadrement

\frac{ν(Z)}{2d} = ∫_{0}^{1} ν(Z)r^{2d−1}dr ≤ − ∫_{Z} log d(α, β)ω_{F S}^{d}(β) ≤ ∫_{0}^{1} deg(Z)r^{2d−1}dr = \frac{deg(Z)}{2d},

ce qui, compte tenu de (7.3.3), termine la démonstration du lemme 7.3.2. □

Ceci termine la démonstration du lemme 7.3.1. □

Ceci termine la démonstration du lemme 7.2.2.

7.3.2 Démonstration du lemme 7.2.3

Puisque ∥.∥_{U} = e^{φ_{U}} ∥.∥_{F S}, on a, avec les notations de [11],

ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1)) − ĉ_{1}(\overline{O}(1)) = a(−2φ_{U})

d’où l’on déduit pour tout j (voir par exemple le début de la preuve de la proposition 3.2.2 de [11])

ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1))^{j} − ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{j} = a(−2φ_{U} ∑_{r+s=j−1} ω_{U}^{r}ω_{F S}^{s}).

On trouve alors

(ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1−j}ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1))^{j}.Z) = (ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1}.Z) − 2(ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1−j}a(φ_{U} ∑_{r+s=j−1} ω_{U}^{r}ω_{F S}^{s}).Z)

= (ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1}.Z) − 2(a(φ_{U}ω_{F S}^{d+1−j} ∑_{r+s=j−1} ω_{U}^{r}ω_{F S}^{s}).Z)

= (ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1}.Z) − \frac{1}{[K : ℚ]} ∫_{ℙ_{E}(ℂ)} φ_{U}δ_{Z}ω_{F S}^{d+1−j} ∑_{r+s=j−1} ω_{U}^{r}ω_{F S}^{s}

≤ (ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1}.Z)

puisque φ_{U} est positive, que Z est effectif et que les formes ω_{U} et ω_{F S} sont positives. Appliquant cette inégalité, on obtient finalement (ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{d+1}.Z) = ((ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1)) + (n − 1)ĉ_{1}(\overline{O}(1)))^{d+1}.Z)

= (ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1))^{d+1}.Z) + ∑_{j=0}^{d} ( \begin{matrix}d + 1 \\ j \end{matrix} ) (n − 1)^{d+1−j}(ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1−j}ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1))^{j}.Z)
≤ (ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1))^{d+1}.Z) + ∑_{j=0}^{d} ( \begin{matrix}d + 1 \\ j \end{matrix} ) (n − 1)^{d+1−j}(ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1}.Z)
= ((ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(1))^{d+1} + (n^{d+1} − 1)ĉ_{1}(\overline{O}(1))^{d+1}).Z),

ce qu’il fallait démontrer.

7.3.3 Démonstration du lemme 7.2.4

On pose W.divP = ∑_{i} n_{i}W_{i}, où les W_{i} sont intègres de dimension e. On a donc ∑_{i} n_{i} deg W_{i,K} = n deg W_{K}.

Par [11] formule (3.2.2) on a

(ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}.(W.divP)) = (ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e+1}.W) + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{τ:K↪ℂ}∫_{W_{τ}} log ∥P ∥_{U}.c_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}. (7.3.4)

Par ailleurs, de l’encadrement

max(d^{2}, e^{−2U}) ≤ d^{2} + e^{−2U} − d^{2}e^{−2U} ≤ 2 max(d^{2}, e^{−2U}),

valable pour d^{2} et e^{−2U} dans l’intervalle [0, 1], on déduit les inégalités

\begin{matrix}e^{φ_{U}} = (d & (θ, .)^{2} + e^{−2U} − d(θ, .)^{2}e^{−2U})^{−1/2} \\ ≤ min(e^{U}, 1/d(θ, .)) \end{matrix}  (7.3.5)

et

\begin{matrix}e^{φ_{V}} = (d & (θ, .)^{2} + e^{−2V} − d(θ, .)^{2}e^{−2V})^{−1/2} \\ ≥ \frac{1}{2} min(e^{V} , 1/d(θ, .)). \end{matrix}  (7.3.6)

L’hypothèse V ≥ min(U, − log ρ_{W}) équivalant à l’inégalité e^{V} ≥ min(e^{U}, 1/d(θ, .)) en tout point de W_{σ}, on déduit de (7.3.5) et (7.3.6) la majoration

\frac{∥.∥_{U}}{∥.∥_{V}} = e^{φ_{U} −φ_{V}} ≤ 2

sur W_{σ}. Par invariance sous l’action de la conjugaison complexe, cette majoration est aussi valable sur W\overline{σ}. Enfin on a toujours ∥.∥_{U} = ∥.∥_{V} (= ∥.∥_{0}) aux plongements différents de σ et \overline{σ}.

Ainsi, en tout point de W_{τ}, on trouve

log ∥P ∥_{U} ≤ \begin{cases}log ∥P ∥_{V,L^{∞}} + log 2 & si τ est égal à σ ou \overline{σ} \\ log ∥P ∥_{V,L^{∞}} & sinon \end{cases}

d’où

\frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{τ} ∫_{W_{τ}} log ∥P ∥_{U}.c_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e} ≤ (n^{e} deg W_{K})(log ∥P ∥_{V,L^{∞}} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2). (7.3.7)

Combinant (7.3.4) et (7.3.7) on trouve

∑_{i, W_{i,K}≠∅} n_{i}n^{e−1} deg W_{i,K}.p_{U,n}(W_{i}) = ∑_{i, W_{i,K}≠∅} n_{i}(ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}.W_{i})

≤ ∑_{i} n_{i}(ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}.W_{i}) = (ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}.(W.divP))

= (ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e+1}.W) + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{τ:K↪ℂ}∫_{W_{τ}} log ∥P ∥_{U}.c_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}

≤ (ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e+1}.W) + (n^{e} deg W_{K})(log ∥P ∥_{V,L^{∞}} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2).

Autrement dit, posant λ_{i} = \frac{n_{i}n^{e−1} deg W_{i,K}}{n^{e} deg W_{K}} pour i tel que W_{i,K} soit non vide, on a

∑_{i, W_{i,K}≠∅} λ_{i} p_{U,n}(W_{i}) ≤ p_{U,n}(W) + log ∥P ∥_{V,L^{∞}} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2.  (7.3.8)

On distingue alors deux cas.

Si e = 0, W_{K} est un point et pour tout i, W_{i,K} est vide. Ainsi dans (7.3.8) la somme ∑_{i,W_{i,K}≠∅} λ_{i} p_{U,n}(W_{i}) est nulle, ce qui fournit la minoration de p_{U,n}(W) souhaitée.

Si e > 0, pour tout i tel que W_{i,K} soit non vide on a λ_{i} > 0 ; en outre, la somme des λ_{i} vaut ∑_{i,W_{i,K}≠∅} λ_{i} = 1. On déduit alors de (7.3.8) par un argument de convexité élémentaire qu’il existe un i tel que W_{i,K} soit non vide et que

p_{U,n}(W_{i}) ≤ p_{U,n}(W) + log ∥P ∥_{V,L^{∞}} + \frac{2}{[K : ℚ]} log 2,

ce qu’il fallait démontrer.

7.3.4 Démonstration du lemme 7.2.5

Il s’agit de montrer que si W est un sous-schéma intègre de dimension e + 1 de ℙ_{E} dont la fibre générique W_{K} est non vide, on a

(ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e+1}.W) ≥ (e + 1)n^{e} deg W_{K} (\frac{2 log ρ_{W}}{[K : ℚ]} − n log λ_{max}) .  (7.3.9)

Remarquons d’abord qu’il existe j ∈ {0, …, m} tel que X_{j} ne soit pas identiquement nul sur W. On pose alors L = X_{j}^{n} ∈ Γ(ℙ_{E}, O_{ℙ_{E}}(n)). Notons

W.divL = ∑_{i} n_{i}W_{i} ∈ Z_{e}ℙ_{E}

le cycle d’intersection de W et de divL, où les n_{i} sont des entiers strictement positifs et les W_{i} des sous-schémas de ℙ_{E} intègres de dimension e.

Par construction, on a

∥L∥_{0,L^{∞}} ≤ λ_{max}^{n}.

D’autre part, en tout point de W_{σ} on a φ_{U} ≤ − log d(θ, .) ≤ − log ρ_{W} (cf. (7.3.5)). Ainsi, en tout point de W_{τ} on a

log ∥L∥_{U} ≤ \begin{cases}− log ρ_{W} + n log λ_{max} & si τ est égal à σ ou \overline{σ} \\ n log λ_{max} & sinon. \end{cases}

Compte tenu de [11], formule (3.2.2), ceci implique

(ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e+1}.W) = (ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}.(W.divL)) − \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{τ} ∫_{W_{τ}} log ∥L∥_{U}.c_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}

≥ (ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}.(W.divL)) − \frac{n^{e} deg W_{K}}{[K : ℚ]} (−2 log ρ_{W} + n[K : ℚ] log λ_{max})

≥ ∑_{i, W_{i,K}≠∅} n_{i}(ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}.W_{i}) + n^{e} deg W_{K} (\frac{2 log ρ_{W}}{[K : ℚ]} − n log λ_{max}) .

(7.3.10)

On procède alors à la démonstration de (7.3.9) par récurrence sur e.

Si e = 0, W_{i,K} est vide pour tout i donc la somme ∑_{i, W_{i,K}≠∅} n_{i}(ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}.W_{i}) est nulle, et (7.3.10) se réduit bien à (7.3.9).

Supposons maintenant e > 0 et (7.3.9) démontrée pour tout sous-schéma intègre de dimension e de fibre générique non vide. On peut alors dans (7.3.10) appliquer cette hypothèse de récurrence aux W_{i} et on trouve

(ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e+1}.W) ≥ ∑_{i, W_{i,K}≠∅} n_{i}(ĉ_{1}(\overline{L}_{U}(n))^{e}.W_{i}) + n^{e} deg W_{K} (\frac{2 log ρ_{W}}{[K : ℚ]} − n log λ_{max})

≥ ∑_{i, W_{i,K}≠∅} n_{i}.en^{e−1} deg W_{i,K} (\frac{2 log ρ_{W_{i}}}{[K : ℚ]} − n log λ_{max})

+ n^{e} deg W_{K} (\frac{2 log ρ_{W}}{[K : ℚ]} − n log λ_{max})

≥ (e + 1)n^{e} deg W_{K} (\frac{2 log ρ_{W}}{[K : ℚ]} − n log λ_{max}) ,

puisque ρ_{W_{i}} ≥ ρ_{W} et ∑_{i, W_{i,K}≠∅} n_{i} deg W_{i,K} = deg(W.divL)_{K} = n deg W_{K}.

Ceci termine la démonstration du lemme.

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Numéro d’impression : 2401 Premier trimestre 2002

Résumé

Dans cette thèse on définit et étudie un certain nombre de notions dans le cadre de la géométrie d’Arakelov qui, d’une part, possèdent un intérêt intrinsèque et, d’autre part, sont susceptibles d’applications à la théorie de l’approximation diophantienne.

La plus grande partie du texte est consacrée à l’élaboration d’une théorie des hauteurs pour les sous-schémas et à la preuve de formules de Hilbert-Samuel pour ces hauteurs. Pour deux classes importantes de sous-schémas (les sous-schémas intègres et les sousschémas lisses avec multiplicités ) on montre que la hauteur du sous-schéma relativement à une grande puissance d’un fibré en droites positif est asymptotiquement déterminée par la hauteur du cycle associé. La démonstration repose essentiellement sur le théorème de Hilbert-Samuel arithmétique de Gillet et Soulé, auquel elle se ramène par l’utilisation de techniques de géométrie analytique hermitienne. On fait ensuite une analyse plus fine du développement asymptotique des hauteurs de certains sous-schémas particuliers. Notamment, dans le cas de la dimension relative zéro, on exprime le terme constant du développement asymptotique en fonction de la ramification du sous-schéma, ce qui résout une question de Michel Laurent sur les hauteurs des matrices d’interpolation.

Enfin, dans une partie indépendante, on expose diverses applications de méthodes arakeloviennes à des problèmes d’approximation diophantienne. En particulier on donne une nouvelle démonstration d’un critère classique d’indépendance algébrique dont l’originalité est qu’elle n’utilise plus de théorie de l’élimination mais uniquement des techniques de théorie de l’intersection arithmétique.

Mots-clés : géométrie d’Arakelov, approximation diophantienne, hauteurs, formule de Hilbert-Samuel arithmétique, critère d’indépendance algébrique.