C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. ?–?, 2001 - PXMA????.TEX - Géométrie algébrique/Algebraic Geometry

Comportement asymptotique des hauteurs des sous-schémas de dimension nulle de l’espace projectif

Hugues RANDRIAMBOLOLONA

Ecole nationale supérieure des télécommunications, dépt. INFRES, équipe de mathématiques, 46, rue Barrault, 75634 Paris Cedex 13 Etudiant en thèse à l’Université Paris-Sud, bâtiment 425, 91405 Orsay Cedex Courriel : randriam@enst.fr

(Reçu le jour mois année, accepté après révision le jour mois année)

Résumé. Dans ce texte on définit une notion de hauteur pour les sous-schémas d’une variété arithmétique projective. Dans le cas particulier des sous-schémas plats de dimension générique nulle de l’espace projectif, on établit pour ces hauteurs un analogue du théorème de Hilbert-Samuel ; plus précisément, on montre qu’elles admettent un développement asymptotique dont on explicite les trois premiers termes. Cette description fournit une réponse à une question posée par Michel Laurent à propos du terme constant du développement asymptotique des hauteurs de matrices d’interpolation. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Heights of zero-dimensional subschemes of projective space

Abstract. In this text we define a notion of height for subschemes of a projective arithmetic variety. In the case of flat subschemes of generic dimension zero of projective space, we show that these heights verify an analogue of the Hilbert-Samuel theorem; more precisely, we give the first three terms of an asymptotic development for these heights. This brings an answer to a question of Michel Laurent concerning the constant term in the asymptotic development of heights of interpolation matrices. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

1. Introduction et définition des hauteurs de sous-schémas

Soient K un corps de nombres, 𝒪_{K} l’anneau des entiers de K, π : 𝔛 ⟶ Spec 𝒪_{K} une variété arithmétique projective (cf. [2] ou [3]), et \overline{ℒ} un faisceau inversible ample sur 𝔛 muni de métriques hermitiennes positives. On supposera en outre que la variété complexe 𝔛(ℂ) est munie d’une mesure strictement positive μ invariante sous l’action de la conjugaison complexe. Sous cette condition, pour tout entier n, on munit Γ(𝔛, ℒ^{⊗n}) d’une structure de 𝒪_{K}-module hermitien au moyen des métriques L^{2}(μ).

Soit Σ un sous-schéma de 𝔛. Pour tout entier n, notons

restr_{n} : Γ(𝔛, ℒ^{⊗n}) ⟶ Γ(Σ, ℒ^{⊗n}|_{Σ})

Note présentée par Prénom Nom

S0764-4442(00)0????-?/FLA \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1

H. Randriam

l’application de restriction. L’image im(restr_{n}) de cette application de restriction est un quotient du 𝒪_{K}- module Γ(𝔛, ℒ^{⊗n}), et peut être munie des métriques quotient des métriques L^{2} sur Γ(𝔛, ℒ^{⊗n}). On obtient ainsi un 𝒪_{K}-module hermitien, noté \overline{im(restr_{n})}.

Définition 1.1. – La n-ième hauteur du sous-schéma Σ (relativement à \overline{ℒ}) est le degré d’Arakelov normalisé du 𝒪_{K}-module hermitien \overline{im(restr_{n})} :

h^{(n)}(Σ) = d̂eg \overline{im(restr_{n})}.

Sous une forme légèrement différente, cette notion de hauteur de sous-schéma apparaît déjà dans [5]. Remarquons aussi que si l’entier n est suffisamment grand, l’application restr_{n} est surjective, et alors

h^{(n)}(Σ) = d̂eg \overline{Γ(Σ, ℒ^{⊗n}|_{Σ})},

où Γ(Σ, ℒ^{⊗n}|_{Σ}) est muni des métriques quotient par restr_{n} des métriques L^{2} sur Γ(𝔛, ℒ^{⊗n}). Si en outre Σ est plat sur Spec 𝒪_{K} de polynôme de Hilbert P et si l’entier n est régulier au sens de Castelnuovo-Mumford relativement à P, la hauteur h^{(n)}(Σ) s’interprète comme la hauteur du point de Hilbert associé à Σ, relativement à un fibré en droites hermitien naturel sur le schéma de Hilbert correspondant.

Par analogie avec le cas géométrique, on est en droit d’espérer que ces hauteurs de sous-schéma admettent un développement asymptotique

h^{(n)}(Σ) =_{n→∞} \frac{n^{dim Σ}}{(dim Σ)!}h([Σ]) + o(n^{dim Σ}),

où h([Σ]) = (ĉ_{1}(\overline{ℒ})^{dim Σ}.[Σ]) est la hauteur (relativement à \overline{ℒ}) du cycle associé à Σ. En particulier pour Σ = 𝔛, on retrouve le théorème de Hilbert-Samuel arithmétique de [4] et [6] (voir aussi [1] et [2]).

Dans une direction différente, cette Note s’intéresse aux termes suivants d’un tel développement asymptotique, lorsque 𝔛 est un espace projectif et Σ un sous-schéma plat de dimension générique nulle.

2. Enoncé du résultat principal

Soient \overline{E} un 𝒪_{K}-module hermitien localement libre de rang N + 1, ℙ_{E} = Proj Sym_{𝒪_{K}}^{.} E l’espace projectif des quotients de E localement libres de rang un, π : ℙ_{E} ⟶ Spec 𝒪_{K} le morphisme structural, et \overline{𝒪_{E}(1)} le fibré en droites universel sur ℙ_{E} muni des métriques quotient de la surjection π^{∗}E ↠ 𝒪_{E}(1). On note ω_{F S} la forme de Fubini-Study sur ℙ_{E}(ℂ), c’est-à-dire la forme de Chern de \overline{𝒪_{E}(1)}. On munit alors ℙ_{E}(ℂ) de la forme volume μ = (ω_{F S})^{N}. Enfin, le fibré cotangent holomorphe de ℙ_{E}(ℂ) est muni de l’unique métrique hermitienne qui soit invariante sous l’action du groupe unitaire de \overline{E} et normalisée par la condition suivante : si les ϕ_{j} forment localement une base unitaire de T^{1,0}ℙ_{E}(ℂ)^{∗}, alors ω_{F S} = \frac{i}{2π} ∑_{j=1}^{N} ϕ_{j} ∧ \overline{ϕ_{j}}.

Soit Z un sous-schéma fermé de ℙ_{E}, plat de dimension relative zéro sur Spec 𝒪_{K}, de support l’image P d’une section de Spec 𝒪_{K} dans ℙ_{E}. Notons ℑ_{P,Z} et ℑ_{P,ℙ_{E}} les faisceaux d’idéaux définissant P comme sousschéma fermé de Z et de ℙ_{E}, respectivement. Posons Ω = Γ(P, ℑ_{P,ℙ_{E}}/ℑ_{P,ℙ_{E}}^{2}) = Γ(P, Ω_{ℙ_{E}/ Spec 𝒪_{K}}^{1} |_{P}). Si σ est un plongement de K dans ℂ, Ω_{σ} est l’espace cotangent à la variété complexe (ℙ_{E})_{σ}(ℂ) en P_{σ}. Il peut donc être muni du produit scalaire hermitien défini par la structure kählérienne sur (ℙ_{E})_{σ}(ℂ). Ceci définit une structure de 𝒪_{K}-module hermitien sur Ω, et donc, par des constructions standard, sur ses puissances symétriques. On munit alors Γ(P, ℑ_{P,Z}^{t}/ℑ_{P,Z}^{t+1}) des métriques quotient déduites de la surjection

Sym^{t}(Ω) = Γ(P, ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t}/ℑ_{P,ℙ_{E}}^{t+1}) ↠ Γ(P, ℑ_{P,Z}^{t}/ℑ_{P,Z}^{t+1}).

Définition 2.1. – Avec ce choix de métriques, on définit la hauteur du cône tangent à Z en P comme

h(C_{P} Z) = ∑_{t} d̂eg \overline{Γ(P, ℑ_{P,Z}^{t}/ℑ_{P,Z}^{t+1})}.

Hauteurs de sous-schémas

Soit maintenant Σ un sous-schéma fermé de ℙ_{E}, plat de dimension relative zéro sur Spec 𝒪_{K} (on ne fait plus d’hypothèse sur le support de Σ). Fixons un plongement K ↪ \overline{K} de K dans sa clôture algébrique, et notons p_{1}, …, p_{e} ∈ ℙ_{E}(\overline{K}) les points géométriques de la fibre générique de Σ. Posons

r_{t,p_{i}} = dim\overline{K} Γ(p_{i}, ℑ_{p_{i},Σ_{\overline{K},p_{i}}}^{t} /ℑ_{p_{i},Σ_{\overline{K},p_{i}}}^{t+1} ) et m_{p_{i}} = ∑_{t} r_{t,p_{i}} = dim\overline{K} Γ(Σ_{\overline{K},p_{i}}, 𝒪_{Σ_{\overline{K},p_{i}}}).

On définit la hauteur du cycle associé à Σ comme le réel

h([Σ]) = ∑_{i} m_{p_{i}}h(p_{i})

où h(p_{i}) est la hauteur (au sens usuel) du point p_{i}, relativement au fibré \overline{𝒪(1)}.

Choisissons une extension finie L de K telle que les p_{i} soient définis sur L. Ce choix étant fait, pour tout i on notera Σ_{𝒪_{L}}^{(i)} la fermeture dans ℙ_{E,𝒪_{L}} du localisé (Σ_{𝒪_{L}} )_{p_{i}}, et P_{i} la fermeture de p_{i}. Ainsi P_{i} est l’image d’une section de Spec 𝒪_{L} dans ℙ_{E,𝒪_{L}} , Σ_{𝒪_{L}}^{(i)} est un sous-schéma fermé de ℙ_{E,𝒪_{L}} dont le support est égal à P_{i}, et Σ_{𝒪_{L}} est réunion schématique des Σ_{𝒪_{L}}^{(i)} . Notons Σ̃_{𝒪_{L}} le schéma somme disjointe des Σ_{𝒪_{L}}^{(i)} , et ν : Σ̃_{𝒪_{L}} ⟶ Σ_{𝒪_{L}} le morphisme naturel. Par construction, la restriction de ν à la fibre générique est un isomorphisme, de telle sorte que le 𝒪_{Σ_{𝒪_{L}}} -module ν_{∗}𝒪Σ̃_{𝒪_{L}} /𝒪_{Σ_{𝒪_{L}}} est de torsion. Remarquons aussi qu’on

est dans les conditions d’application de la définition 2.1 avec K = L, P = P_{i} et Z = Σ_{𝒪_{L}}^{(i)} . On pose alors :

h(C_{tot}Σ̃) = ∑_{i} h(C_{P_{i}}Σ_{𝒪_{L}}^{(i)} ) et ramif^{log} (Σ) = \frac{1}{[L : ℚ]} log #Γ(Σ_{𝒪_{L}} , ν_{∗}𝒪Σ̃_{𝒪_{L}} /𝒪_{Σ_{𝒪_{L}}} ).

On vérifie que ces deux quantités ne dépendent pas du choix de L.

Théorème 2.2. – Sous ces hypothèses et avec ces notations, les hauteurs du sous-schéma Σ admettent le développement asymptotique suivant :

h^{(n)}(Σ) =_{n→∞} n.h([Σ]) + ∑_{i,t} \frac{r_{t,p_{i}}}{2} . log (\frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!}) + h(C_{tot}Σ̃) − ramif^{log} (Σ) + O(n^{−1}).

Ainsi les hauteurs de Σ admettent un développement asymptotique dont le terme principal est linéaire en la hauteur du cycle associé à Σ, dont le terme suivant est logarithmique et ne dépend que des longueurs des jets de Σ en ses points à l’infini, et dont le terme constant comprend essentiellement la hauteur d’un “cône tangent total d’une désingularisation virtuelle” et le logarithme de la “ramification virtuelle” de Σ.

3. Survol de la preuve

Pour montrer le théorème 2.2, on ne perd pas de généralité en supposant que les p_{i} sont définis sur K. En notant ν_{n}^{∗} : Γ(Σ, 𝒪(n)|_{Σ}) ⟶ Γ(Σ̃, ν^{∗}(𝒪(n)|_{Σ})) = ⨁_{i} Γ(Σ^{(i)}, 𝒪(n)|_{Σ^{(i)}}) l’application dont les composantes sont les applications de restriction, on trouve

h^{(n)}(Σ) = h(ν_{n}^{∗}) + ∑_{i} h^{(n)}(Σ^{(i)})

où h(ν_{n}^{∗}) est la hauteur de l’application linéaire ν_{n}^{∗}. On vérifie aisément que ν_{n}^{∗} est injective, que le cardinal de son conoyau ne dépend pas de n (et donc, pour n = 0, est égal à #Γ(Σ, ν_{∗}𝒪Σ̃/𝒪_{Σ}), fournissant le terme ramif^{log} (Σ)), et que les normes à l’infini de ν_{n}^{∗} décroissent exponentiellement avec n. Ceci ramène la démonstration du théorème au cas où le support de Σ est une section P de Spec 𝒪_{K}.

Sous cette hypothèse, on munit Γ(ℙ_{E}, 𝒪(n)) et Γ(Σ, 𝒪(n)|_{Σ}) des filtrations données par l’ordre d’annulation en P, i.e. F il^{t}Γ(ℙ_{E}, 𝒪(n)) = Γ(ℙ_{E}, ℑ_{P}^{t} 𝒪(n)) et F il^{t}Γ(Σ, 𝒪(n)|_{Σ}) = Γ(Σ, ℑ_{P}^{t} 𝒪(n)|_{Σ}). Les gradués associés sont munis des métriques de sous-quotients. Par additivité du degré d’Arakelov dans les suites exactes courtes de 𝒪_{K}-modules hermitiens, on a h^{(n)}(Σ) = ∑_{t} d̂eg \overline{gr^{t}Γ(Σ, 𝒪(n)|_{Σ})}. Par ailleurs, on obtient par passage au quotient de l’application restr_{n} une surjection naturelle

b_{n,t} : gr^{t}Γ(ℙ_{E}, 𝒪(n)) ↠ gr^{t}Γ(Σ, 𝒪(n)|_{Σ}).

Le point crucial de la démonstration du théorème est alors le résultat de “presque-isométrie” suivant :

Lemme 3.1. – Pour tout t et pour tout plongement σ de K dans ℂ, les valeurs caractéristiques non nulles de (b_{n,t})_{σ} restent dans un intervalle de la forme [1 − O(n^{−1}), 1] lorsque n tend vers l’infini.

4. Application aux hauteurs de matrices d’interpolation Soient p_{1}, …, p_{l} ∈ ℙ^{N}(K) des points de l’espace projectif standard. Après choix de coordonnées ho-

mogènes des p_{i}, notons A_{n} : K[X_{0}, …, X_{N}]_{n} ⟶ K^{l} l’application d’évaluation en les p_{i}, définie sur l’espace des polynômes homogènes de degré n. Notons aussi Σ l’adhérence schématique dans ℙ_{𝒪_{K}}^{N} de la réunion des p_{i}. Avec un choix de métriques convenables, Michel Laurent montre dans [5] l’existence d’une constante, notée χ(𝒪_{Σ}) par analogie avec le cas géométrique, telle que la hauteur de l’application linéaire A_{n} admette le développement asymptotique suivant :

h(A_{n}) =_{n→∞} n. ∑_{i} h(p_{i}) + χ(𝒪_{Σ}) + o(1).

Un problème soulevé dans [5] est d’expliciter χ(𝒪_{Σ}) en termes de ramification de Σ sur Spec 𝒪_{K}, par exemple en reliant cette constante au module des différentielles de Σ. C’est ce qu’on se propose de faire ici.

Compte tenu des normalisations de [5], on vérifie aisément qu’on a h(A_{n}) = h^{(n)}(Σ) − \frac{l}{2} log \binom{N+n}{N}. On applique alors le théorème 2.2 au sous-schéma Σ. Puisque Σ est réduit, on a r_{t,p_{i}} = 1 si t = 0, r_{t,p_{i}} = 0 si t ⩾ 1, et h(C_{tot}Σ̃) = 0, de telle sorte qu’en identifiant les termes restants on trouve

χ(𝒪_{Σ}) = −ramif^{log} (Σ) = −\frac{1}{[K : ℚ]} log #Γ(Σ, ν_{∗}𝒪Σ̃/𝒪_{Σ})

où ν : Σ̃ ⟶ Σ est le morphisme de normalisation.

Utilisant le fait que l’ordre Γ(Σ̃, 𝒪Σ̃) est auto-dual pour la forme bilinéaire trace sur la K-algèbre séparable Γ(Σ̃, 𝒪Σ̃)_{K} = Γ(Σ, 𝒪_{Σ})_{K}, ceci peut aussi s’écrire

χ(𝒪_{Σ}) = −\frac{1}{2.[K : ℚ]} log N(𝔡_{Γ(Σ,𝒪_{Σ})/𝒪_{K}} )

où N(𝔡_{Γ(Σ,𝒪_{Σ})/𝒪_{K}} ) ∈ ℕ est la norme de l’idéal discriminant de Γ(Σ, 𝒪_{Σ}) sur 𝒪_{K}. Notamment, si l’on fait l’hypothèse supplémentaire que Σ est localement intersection complète, on trouve, au moyen de la théorie des résidus et de la dualité de Grothendieck, que N(𝔡_{Γ(Σ,𝒪_{Σ})/𝒪_{K}} ) = # Γ(Σ, Ω_{Σ/ Spec 𝒪_{K}}^{1} ).

Remerciements. L’auteur remercie Jean-Benoît Bost pour ses nombreux conseils de mathématiques et de rédaction.

Références bibliographiques

[1] Abbes A., Bouche T., Théorème de Hilbert-Samuel “arithmétique”, Annales Inst. Fourier (Grenoble) 45 (1995) 2, pp. 375-401.

[2] Bost J.-B., Théorie de l’intersection et théorème de Riemann-Roch arithmétiques, Séminaire Bourbaki 1990/91, exposé 731, Astérisque 201-203 (1992), pp. 43-88.

[3] Gillet H., Soulé C., Arithmetic intersection theory, Publications Math. IHES 72 (1990), pp. 94-174.

[4] Gillet H., Soulé C., An arithmetic Riemann-Roch theorem, Inventiones Math. 110 (1992), pp. 473-543.

[5] Laurent M., Hauteur de matrices d’interpolation, in: Philippon P. (Ed.), Approximations Diophantiennes et Nombres Transcendants, Luminy 1990, de Gruyter, 1992, pp. 215-238.

[6] Zhang S., Positive line bundles on arithmetic varieties, Journal Amer. Math. Soc. 8 (1995) 1, pp. 187-221.