Hauteurs des sous-schémas de dimension nulle de l’espace projectif

Hugues Randriambololona^{∗}

9 janvier 2004

1 Introduction

Soient K un corps de nombres, O_{K} l’anneau des entiers de K, 𝔛 un schéma projectif sur Spec O_{K} de fibre générique 𝔛_{K} lisse, \overline{L} un faisceau inversible ample sur 𝔛 muni d’une métrique hermitienne à courbure positive, et μ une mesure strictement positive sur la variété analytique complexe 𝔛(ℂ) invariante sous l’action de la conjugaison complexe. Ceci permet, pour tout entier n, de munir l’espace des sections Γ(𝔛, L^{⊗n}) d’une structure de O_{K}-module hermitien, au moyen des métriques L^{2}(μ). Relativement à ces données, on peut construire une théorie des hauteurs pour les sous-schémas fermés de 𝔛, comme suit.

Soit Σ un sous-schéma fermé de 𝔛. Pour tout entier n, notons

restr_{n} : Γ(𝔛, L^{⊗n}) ⟶ Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})  (1.1)

l’application naturelle de restriction. L’image im(restr_{n}) de cette application de restriction est un quotient du O_{K}-module Γ(𝔛, L^{⊗n}), et peut être munie des métriques quotient des métriques L^{2} sur Γ(𝔛, L^{⊗n}) ; on obtient ainsi un O_{K}-module hermitien, noté \overline{im(restr_{n})}.

Définition 1.1 La n-ième hauteur du sous-schéma Σ est le degré d’Arakelov (normalisé comme en (2.3) infra) du O_{K}-module hermitien \overline{im(restr_{n})} :

h(Σ; n) = d̂eg \overline{im(restr_{n})}.  (1.2)

Remarquons que si l’entier n est suffisamment grand, l’application restr_{n} est surjective, et alors on a

h(Σ; n) = d̂eg \overline{Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})},  (1.3)

où Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) est muni des métriques quotient par restr_{n} des métriques L^{2} sur Γ(𝔛, L^{⊗n}). En particulier, lorsque Σ est plat sur Spec O_{K} de polynôme de Hilbert P et que l’entier n est régulier au sens de Castelnuovo-Mumford relativement à P, cette quantité coïncide avec la hauteur du point de Hilbert associé à Σ, relativement à un fibré en droites hermitien naturel sur le schéma de Hilbert correspondant.

∗ ÉNST – Dépt. INFRES – 46, rue Barrault – 75634 Paris Cedex 13 – randriam@enst.fr

Sous une forme légèrement différente, la notion de hauteur de sous-schéma introduite ici apparaît déjà dans [8]. Il y est remarqué que, lorsque l’on fait varier l’entier n, la quantité h(Σ; n) doit pouvoir s’interpréter comme l’analogue arithmétique d’une fonction de Hilbert-Samuel pour Σ.

Le principal objet de ce texte est l’étude de cette «fonction de Hilbert-Samuel arithmétique» dans le cas particulier où 𝔛 est l’espace projectif associé à un O_{K}-fibré vectoriel hermitien, muni du fibré en droites hermitien universel \overline{O(1)}, et où Σ est un sous-schéma (fermé) de 𝔛 de dimension générique nulle plat sur Spec O_{K}. Notons N la dimension générique de l’espace projectif 𝔛, l la longueur de Σ (i.e. le degré du morphisme fini et plat de projection de Σ sur Spec O_{K}), r_{t} la longueur du t-ième jet de Σ, et h([Σ]) la hauteur du cycle associé à Σ. Après avoir introduit deux réels h(CΣ), pouvant s’interpréter comme la hauteur du cône tangent de Σ, et ramif(Σ), mesurant la ramification de Σ, on obtient le résultat suivant :

Théorème 1.2 Les hauteurs de Σ admettent un développement asymptotique de la forme

h(Σ; n) = n.h([Σ]) + ∑_{0⩽t⩽l} \frac{r_{t}}{2} log \frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!}

+ h(CΣ) − log ramif(Σ) + e(n)

(1.4)

où le «terme d’erreur» e(n) est un réel se comportant en O(n^{−1}) quand n tend vers l’infini.

On s’attache ensuite à étudier plus en détail le cas où le sous-schéma Σ est réduit, en relation avec la question suivante.

Soient p_{1}, …, p_{l} ∈ ℙ^{N}(K) des points de l’espace projectif standard. Après choix de coordonnées homogènes des p_{i}, notons A_{n} : K[X_{0}, …, X_{N}]_{n} ⟶ K^{l} l’application d’évaluation en les p_{i}, définie sur l’espace des polynômes homogènes de degré n. Notons aussi Σ l’adhérence schématique dans ℙ_{O_{K}}^{N} de la réunion des p_{i}. Avec un choix de métriques convenables, Michel Laurent montre dans [8] l’existence d’une constante, notée χ(O_{Σ}) par analogie avec le cas géométrique, telle que la hauteur de (la puissance extérieure maximale de) l’application linéaire A_{n} admette le développement asymptotique suivant :

h (⋀^{l} A_{n}) =_{n→∞} n. ∑_{i} h(p_{i}) + χ(O_{Σ}) + o(1).  (1.5)

Un problème soulevé et laissé ouvert dans [8] est d’expliciter cette constante χ(O_{Σ}).

Pour résoudre ce problème, on montre que, compte tenu des normalisations de [8], hauteur de matrice d’interpolation h(A_{n}) et hauteur de sous-schéma h(Σ; n) sont reliées par une formule simple de sorte que, après identification des termes correspondants dans (1.4) et (1.5), on trouve :

Proposition 1.3 Le terme constant du développement asymptotique (1.5) vaut

χ(O_{Σ}) = − log ramif(Σ) = −\frac{1}{[K : ℚ]} log # Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})  (1.6)

où ν : Σ̃ ⟶ Σ est le morphisme de normalisation du schéma réduit Σ.

Utilisant le fait que l’ordre Γ(Σ̃, OΣ̃) est auto-dual pour la forme bilinéaire trace sur la K-algèbre séparable Γ(Σ̃, OΣ̃)_{K} = Γ(Σ, O_{Σ})_{K}, ceci peut aussi s’énoncer ainsi :

Proposition 1.4 On a (supposant toujours Σ réduit) :

χ(O_{Σ}) = −\frac{1}{2.[K : ℚ]} log N(𝔡_{Γ(Σ,O_{Σ})/O_{K}})  (1.7)

où N(𝔡_{Γ(Σ,O_{Σ})/O_{K}}) ∈ ℕ est la norme de l’idéal discriminant de Γ(Σ, O_{Σ}) sur O_{K}.

Notamment, si l’on suppose en outre que Σ est localement intersection complète, la théorie des résidus et de la dualité de Grothendieck permet d’exprimer cette norme en fonction du module des différentielles de Σ ; ainsi, on trouve :

Proposition 1.5 Avec les mêmes notations, sous l’hypothèse supplémentaire que Σ est localement intersection complète, on a

χ(O_{Σ}) = −\frac{1}{2.[K : ℚ]} log # Ω_{Γ(Σ,O_{Σ})/O_{K}}^{1}.  (1.8)

Dans la dernière partie du texte, toujours sous l’hypothèse que le sous-schéma Σ est réduit (mais pas nécessairement localement intersection complète), on étudie plus précisément le terme d’erreur e(n) introduit dans la formule (1.4), ce qui permet d’obtenir non plus seulement une estimation, mais de véritables bornes sur les hauteurs de matrices d’interpolation en grand degré. On obtient notamment le résultat suivant.

Proposition 1.6 Soit Σ un sous-schéma réduit de l’espace projectif, fini et plat sur Spec O_{K}, et N_{0} le plus petit entier tel que l’application de restriction restr_{N_{0}} (cf. (1.1)) soit de rang maximal. Alors, pour tout entier n ⩾ N_{0}, le terme d’erreur du développement asymptotique (1.4) admet une décomposition naturelle

e(n) = \frac{1}{[K : ℚ]} ( ∑_{\begin{matrix}𝔭 id. max. \\ de O_{K} \end{matrix}} ε_{𝔭}(n) + ∑_{σ:K↪ℂ}ε_{σ}(n))  (1.9)

en somme de termes locaux négatifs presque tous nuls ε_{v}(n) qui décroissent en valeur absolue lorsque n croît.

Ce dernier point peut s’interpréter, aux places archimédiennes, comme un phénomène de croissance d’un angle dans une grande puissance tensorielle d’un espace hermitien, et aux places non-archimédiennes, comme un résultat de décroissance de la cohomologie. On en déduit aussi le résultat suivant concernant les hauteurs de matrices d’interpolation :

Corollaire 1.7 Soient (A_{n})_{n⩾0} la suite d’applications d’interpolation associée à la donnée de l points p_{1}, …, p_{l} de l’espace projectif et N_{0} le plus petit entier tel que A_{N_{0}} soit de rang maximal. Alors, pour tous n′ ⩾ n ⩾ N_{0}, on a

h (⋀^{l} A_{n′}) − h (⋀^{l} A_{n}) ⩾ (n′ − n) ∑_{i=1}^{l} h(p_{i}).  (1.10)

Remerciements. La plus grande partie de cette note est extraite des chapitres 1, 2 et 5 de la thèse effectuée par l’auteur sous la direction de J.-B. Bost. Quelques résultats nouveaux et inédits ont été rajoutés ultérieurement (formant essentiellement la section 5 de ce texte), et la rédaction du tout a été refondue à l’occasion d’un séjour à l’École polytechnique fédérale de Zürich.

Table des matières

1 Introduction 1

2 Généralités sur les hauteurs de sous-schémas 5 2.1 Conventions et rappels élémentaires de géométrie d’Arakelov . . . . . . . . . . 5 2.2 Hauteurs de sous-schémas et hauteurs de points de Hilbert . . . . . . . . . . . 6 2.3 Une inégalité remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Le théorème principal 10 3.1 Rappels sur les espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Étude métrique d’applications de restriction de jets . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 Le développement asymptotique général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Étude fine des hauteurs de matrices d’interpolation : interprétation géométrique du terme constant 24 4.1 Matrices d’interpolation et sous-schémas réduits . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 Discriminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3 Le cas localement intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Étude fine des hauteurs de matrices d’interpolation : contrôle du terme d’erreur 31 5.1 Expression du terme d’erreur en somme de termes locaux . . . . . . . . . . . 31 5.2 Monotonie des termes d’erreur locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3 Une minoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Appendice : Quelques résultats de géométrie hermitienne 40 A.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 A.2 Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 A.3 Position relative de deux sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 A.4 Passage à un nombre quelconque de sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Généralités sur les hauteurs de sous-schémas

2.1 Conventions et rappels élémentaires de géométrie d’Arakelov

Si K est un corps de nombres d’anneau d’entiers O_{K}, on note Spm O_{K} l’ensemble des idéaux maximaux de O_{K}, et pour tout 𝔭 ∈ Spm O_{K} de caractéristique résiduelle p on normalise la valeur absolue 𝔭-adique |.|_{𝔭} sur K en imposant que pour tout a on ait

|a|_{𝔭} = |N_{K/ℚ}(a)|_{p} = [O_{K_{𝔭}} : aO_{K_{𝔭}}]^{−1},  (2.1)

où |.|_{p} est la norme p-adique usuelle sur ℚ, et K_{𝔭} le complété de K en 𝔭. Pour tout plongement σ de K dans ℂ on note aussi |.|_{σ} la valeur absolue sur K déduite par σ de la valeur absolue usuelle sur ℂ. Avec ces normalisations, la formule du produit s’énonce ainsi : pour tout a ∈ K^{×}, on a |a|_{𝔭} = 1 pour presque tout 𝔭 ∈ Spm O_{K}, et

∑_{𝔭∈Spm O_{K}} log |a|_{𝔭} + ∑_{σ:K↪ℂ}log |a|_{σ} = 0.  (2.2)

On rappelle qu’un O_{K}-module hermitien est la donnée d’un O_{K}-module de type fini M et, pour tout plongement σ de K dans ℂ, d’une norme hermitienne ∥.∥_{σ} sur le ℂ-espace vectoriel M_{σ} = M ⊗_{O_{K},σ} ℂ, de façon compatible à la conjugaison complexe.

Si \overline{M} est un O_{K}-module hermitien, on note M_{tors} le sous-module de torsion de M et M_{libre} = M/M_{tors} son plus grand quotient sans torsion, qui s’identifie naturellement à un réseau du ℝ-espace vectoriel M ⊗_{ℤ} ℝ; on note B l’ensemble des éléments de M ⊗_{ℤ} ℝ dont les images par les σ sont toutes de norme inférieure à 1 et on définit le degré d’Arakelov de \overline{M} par la formule

d̂eg \overline{M} = \frac{1}{[K : ℚ]} (log # M_{tors} − log \frac{covol(M_{libre})}{vol(B)}) ,  (2.3)

où les volumes peuvent être pris relativement à n’importe quelle mesure de Haar sur M ⊗_{ℤ}ℝ. De façon équivalente on a

d̂eg \overline{M} = \frac{1}{[K : ℚ]} (log # M/(s_{1}, …, s_{n}) − ∑_{σ:K↪ℂ}log ∥s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{r}∥_{⋀^{r} M_{σ}})  (2.4)

où s_{1}, …, s_{r} sont des éléments de M dont les images dans le K-espace vectoriel M_{K} forment une base de cet espace, et où les normes puissance extérieure sont définies conformément à l’appendice A. On remarquera que le degré d’Arakelov ainsi introduit, qui sera celui utilisé dans tout le texte, est normalisé de façon à rester invariant pour la notion évidente d’extension de l’anneau de base pour les modules hermitiens.

On dira que

0 → \overline{M′} → \overline{M} → \overline{M′′} → 0

est une suite exacte courte de O_{K}-modules hermitiens si la suite des O_{K}-modules sous-jacents est exacte et si les métriques sur M′ (resp. M′′) sont celles induites par (resp. quotient de) celles de M. Alors, sous ces conditions, on a

d̂eg \overline{M} = d̂eg \overline{M′} + d̂eg \overline{M′′}.  (2.5)

On vérifie aussi sans peine que si \overline{M} et \overline{E} sont deux O_{K}-modules hermitiens avec E localement libre, on a

d̂eg \overline{M ⊗ E} = dim M_{K}.d̂eg \overline{E} + dim E_{K}.d̂eg \overline{M}.  (2.6)

Soient maintenant \overline{E} et \overline{F} deux O_{K}-modules hermitiens localement libres, et

u : E_{K} ⟶ F_{K}

une application K-linéaire. La hauteur de u est définie comme le réel

h(u) = \frac{1}{[K : ℚ]} (∑_{𝔭}log ∥u∥_{𝔭} + ∑_{σ} log ∥u∥_{σ}) .  (2.7)

Dans le cas particulier où E et F sont de même rang et où u est bijective, appliquant cette construction à la puissance extérieure maximale ⋀^{max} u, on vérifie aisément la relation

d̂eg \overline{E} = d̂eg \overline{F} + h(⋀^{max} u).  (2.8)

2.2 Hauteurs de sous-schémas et hauteurs de points de Hilbert

On commence par faire quelques rappels sur la théorie des schémas de Hilbert, suivant Grothendieck.

Soient π : X ⟶ S un morphisme projectif de schémas noethériens, L un O_{X}-module inversible ample relativement à π, et P un polynôme à coefficients rationnels prenant des valeurs entières positives sur les entiers suffisamment grands. On note Hilb_{X/S}^{P} le foncteur qui, à tout S-schéma T, associe l’ensemble des sous-schémas fermés de X_{T} = X ×_{S} T plats sur T dont le polynôme de Hilbert relativement à L est égal à P.

Soit maintenant n un entier possédant la propriété que pour tout S-schéma T et pour tout sous-schéma fermé Y de X_{T} plat sur T de polynôme de Hilbert P, le morphisme naturel de restriction

restr_{n} : (π_{X_{T} /T})_{∗}L_{X_{T}}^{⊗n} → (π_{Y/T})_{∗}(L_{X_{T}}^{⊗n} |_{Y})

soit surjectif et fasse de (π_{Y/T})_{∗}(L_{X_{T}}^{⊗n} |_{Y}) un quotient localement libre de rang P (n) de (π_{X_{T} /T})_{∗}L_{X_{T}}^{⊗n} ; on remarquera que, par la théorie de la régularité de Castelnuovo-Mumford, telle qu’exposée par exemple dans [10] ch. 14, c’est le cas pour tout entier n suffisamment grand. Alors :

Théorème 2.1 (cf. [4] ou [7]) Sous ces hypothèses, le foncteur Hilb_{X/S}^{P} est représentable

par un sous-schéma fermé H de l’espace projectif P_{n} = Proj Sym(⋀^{P (n)} π_{∗}L^{⊗n}), l’immersion

η_{n} : H ↪ P_{n}

envoyant pour tout S-schéma T le point de H(T) représentant un sous-schéma Y de X_{T} sur le point de P_{n}(T) représentant le O_{T} -module inversible ⋀^{P (n)}(π_{Y/T})_{∗}(L_{X_{T}}^{⊗n} |_{Y}) considéré grâce à l’application ⋀^{P (n)} restr_{n} comme un quotient de ⋀^{P (n)}(π_{X_{T} /T})_{∗}(L_{X_{T}}^{⊗n}).

Supposons maintenant comme dans l’introduction que S = Spec O_{K} est le spectre de l’anneau des entiers d’un corps de nombres, que X = 𝔛 est un schéma projectif sur S de fibre générique lisse dont l’ensemble des points complexes est muni d’une mesure strictement positive μ invariante sous l’action de la conjugaison complexe, et que L est muni d’une métrique hermitienne lisse à courbure positive. On munit alors le O_{S}-module π_{∗}L^{⊗n} des métriques L^{2} déterminées par ces données, et ⋀^{P (n)} π_{∗}L^{⊗n} des métriques puissance extérieure. Par passage au quotient on obtient ainsi des métriques sur le fibré universel O_{P_{n}}(1) sur P_{n} et, après restriction à H, on a ainsi construit un fibré en droites hermitien ample positif

\overline{M_{n}} = η_{n}^{∗}\overline{O_{P_{n}}(1)}

sur H.

Proposition 2.2 Sous ces hypothèses, si Σ est un sous-schéma fermé de 𝔛 plat sur S de polynôme de Hilbert P, la hauteur d’ordre n du sous-schéma Σ (comme définie dans l’introduction) est égale à la hauteur du point de H(O_{K}) représentant Σ, relativement au fibré hermitien \overline{M_{n}}.

Démonstration : Par construction, ces deux quantités sont égales au degré d’Arakelov du O_{K}-module hermitien \overline{Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ})} muni des métriques quotient des métriques L^{2} sur 𝔛.

□

Remarquons qu’un sous-schéma fermé de 𝔛 plat sur S est égal à l’adhérence dans 𝔛 de sa fibre générique et que plus généralement, l’adhérence dans 𝔛 d’un sous-schéma de la fibre générique 𝔛_{K} est plate sur S; on obtient ainsi une bijection naturelle entre les sous-schémas fermés de 𝔛_{K} et les sous-schémas fermés de 𝔛 plats sur S.

Remarquons aussi que, le degré d’Arakelov étant supposé normalisé, la notion de hauteur de sous-schéma est invariante par extension du corps de base, en ce sens que si Σ est un sous-schéma fermé de 𝔛 et si L est une extension finie de K, la hauteur h(Σ_{O_{L}}; n) de Σ_{O_{L}} considéré comme sous-O_{L}-schéma de 𝔛_{O_{L}} est égale à h(Σ; n).

Corollaire 2.3 Sous les hypothèses précédentes :

i. Il existe un réel C = C(𝔛, \overline{L}, n, P) tel que, pour toute extension finie L de K et pour tout sous-schéma fermé Σ de la fibre générique 𝔛_{L} de polynôme de Hilbert P, on ait h(\overline{Σ}; n) ⩾ C, où \overline{Σ} est l’adhérence de Σ dans 𝔛_{O_{L}}, considérée comme sous-O_{L}-schéma de 𝔛_{O_{L}}.

ii. Pour tous réels C′ et C′′ il n’existe qu’un nombre fini de couples (L, Σ) où L est une extension de K de degré inférieur à C′ et Σ un sous-schéma fermé de 𝔛_{L} de polynôme de Hilbert P de hauteur h(\overline{Σ}; n) majorée par C′′.

Démonstration : Compte tenu de la proposition, c’est une conséquence immédiate des théorèmes de positivité et de finitude de Northcott sur les hauteurs des points d’une variété projective. □

Exemple 2.4 Comme cela apparaîtra plus loin dans le texte (par exemple comme conséquence de la proposition 4.1), si ℙ_{O_{K}}^{N} est l’espace projectif standard muni du fibré universel \overline{O(1)}, on a

h(P; n) = h(P) + \frac{1}{2} log \binom{n + N}{N}  (2.9)

pour tout P ∈ ℙ^{N}(O_{K}), où h(P) est la hauteur usuelle de P.

2.3 Une inégalité remarquable

Conservons encore les notations utilisées au tout début de l’introduction.

Lemme 2.5 Soient Σ′ ⊂ Σ deux sous-schémas fermés de 𝔛 égaux sur la fibre générique : Σ′_{K} = Σ_{K}. Alors pour tout entier n on a h(Σ′; n) ⩽ h(Σ; n).

Démonstration : Notons restr_{n} : Γ(𝔛, L^{⊗n}) ⟶ Γ(Σ, L^{⊗n}|_{Σ}) et restr′_{n} : Γ(𝔛, L^{⊗n}) ⟶ Γ(Σ′, L^{⊗n}|_{Σ′}) les applications naturelles de restriction, de sorte que restr′_{n} se factorise par restr_{n}. Ceci implique que \overline{im restr′_{n}} est un quotient de \overline{im restr_{n}}; d’autre part les hypothèses impliquent que les deux O_{K}-modules sous-jacents coïncident sur la fibre générique. Le lemme en découle aussitôt. □

Lemme 2.6 Soit Σ un sous-schéma fermé de 𝔛 défini par le faisceau d’idéaux 𝔍. Pour tout entier n, munissons le O_{K}-module Γ(𝔛, 𝔍L^{⊗n}) des métriques obtenues par restriction des métriques L^{2} sur Γ(𝔛, L^{⊗n}). Alors on a

h(Σ; n) = d̂eg \overline{Γ(𝔛, L^{⊗n})} − d̂eg \overline{Γ(𝔛, 𝔍L^{⊗n})}
= h(𝔛; n) − d̂eg \overline{Γ(𝔛, 𝔍L^{⊗n})}

où h(𝔛; n) est la hauteur de 𝔛 considéré comme sous-schéma de lui-même.

Démonstration : Cela résulte de la suite exacte de O_{K}-modules hermitiens

0 ⟶ \overline{Γ(𝔛, 𝔍L^{⊗n})} ⟶ \overline{Γ(𝔛, L^{⊗n})} ⟶ \overline{im(restr_{n})} ⟶ 0.
□

Si Σ_{1} et Σ_{2} sont deux sous-schémas fermés de 𝔛 définis par des faisceaux d’idéaux ℑ_{1} et ℑ_{2}, on note Σ_{1} ∪ Σ_{2} (resp. Σ_{1} ∩ Σ_{2}) le sous-schéma réunion (resp intersection) de Σ_{1} et Σ_{2}, i.e. le sous-schéma fermé de 𝔛 défini par le faisceau d’idéaux ℑ_{1} ∩ ℑ_{2} (resp. ℑ_{1} + ℑ_{2}). Comme dans le lemme, munissons les Γ(𝔛, ℑ_{i}L^{⊗n}) des métriques L^{2}. Alors pour tout plongement σ de K dans ℂ, notons

d_{σ}^{(n)} = d_{Γ(𝔛,ℑ_{1}L^{⊗n})_{σ},Γ(𝔛,ℑ_{2}L^{⊗n})_{σ}} ∈]0, 1]

la «mesure d’orthogonalité» associée au triplet (Γ(𝔛, L^{⊗n})_{σ}, Γ(𝔛, ℑ_{1}L^{⊗n})_{σ}, Γ(𝔛, ℑ_{2}L^{⊗n})_{σ}) au paragraphe A.3.2. Remarquons qu’au moyen des structures hermitiennes on peut identifier naturellement le quotient im(restr_{n,i})_{σ} (où restr_{n,i} est l’application de restriction associée à Σ_{i}) à un sous-espace de Γ(𝔛, L^{⊗n})_{σ}, plus précisément à l’orthogonal de Γ(𝔛, ℑ_{i}L^{⊗n})_{σ}, de sorte que par le corollaire A.21 on trouve aussi d_{σ}^{(n)} = d_{im(restr_{n,1})_{σ},im(restr_{n,2})_{σ}}.

Proposition 2.7 Avec les notations précédentes, pour tout entier n assez grand, les hauteurs schématiques h(Σ_{1}; n), h(Σ_{2}; n), h(Σ_{1} ∪ Σ_{2}; n) et h(Σ_{1} ∩ Σ_{2}; n) vérifient

h(Σ_{1} ∪ Σ_{2}; n) + h(Σ_{1} ∩ Σ_{2}; n) = h(Σ_{1}; n) + h(Σ_{2}; n) + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ:K↪ℂ}log d_{σ}^{(n)}.

Démonstration : Considérons la suite exacte de O_{𝔛}-modules cohérents

0 ⟶ ℑ_{1} ∩ ℑ_{2} ⟶ ℑ_{1} ⊕ ℑ_{2} ⟶ ℑ_{1} + ℑ_{2} ⟶ 0,

naturelle à un choix de signe près. Alors pour n assez grand la suite

0 ⟶ Γ(𝔛, (ℑ_{1} ∩ ℑ_{2})L^{⊗n}) ⟶ Γ(𝔛, ℑ_{1}L^{⊗n}) ⊕ Γ(𝔛, ℑ_{2}L^{⊗n}) ⟶ Γ(𝔛, (ℑ_{1} + ℑ_{2})L^{⊗n}) ⟶ 0

est exacte et induit pour tout plongement σ : K ↪ ℂ un isomorphisme de ℂ-espaces vectoriels de dimension un

⋀^{max} Γ(𝔛, ℑ_{1}L^{⊗n})_{σ} ⊗ ⋀^{max} Γ(𝔛, ℑ_{2}L^{⊗n})_{σ}

⟶^{∼} ⋀^{max} Γ(𝔛, (ℑ_{1} + ℑ_{2})L^{⊗n})_{σ} ⊗ ⋀^{max} Γ(𝔛, (ℑ_{1} ∩ ℑ_{2})L^{⊗n})_{σ}

dont la norme est par définition la quantité d_{σ}^{(n)}. On a alors

d̂eg \overline{Γ(𝔛, ℑ_{1}L^{⊗n})} + d̂eg \overline{Γ(𝔛, ℑ_{2}L^{⊗n})}

= d̂eg \overline{Γ(𝔛, (ℑ_{1} + ℑ_{2})L^{⊗n})} + d̂eg \overline{Γ(𝔛, (ℑ_{1} ∩ ℑ_{2})L^{⊗n})} + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ:K↪ℂ}log d_{σ}^{(n)}

et on conclut en appliquant le lemme 2.6. □

Corollaire 2.8 Soient Σ_{1} et Σ_{2} deux sous-schémas fermés de 𝔛. Alors, pour tout entier n assez grand, on a

h(Σ_{1} ∪ Σ_{2}; n) + h(Σ_{1} ∩ Σ_{2}; n) ⩽ h(Σ_{1}; n) + h(Σ_{2}; n).

Démonstration : C’est une conséquence immédiate de la proposition. □

Corollaire 2.9 Soient Σ_{1} et Σ_{2} deux sous-schémas fermés de la fibre générique 𝔛_{K}. Alors, pour tout entier n assez grand, on a

h(\overline{Σ_{1} ∪ Σ_{2}}; n) + h(\overline{Σ_{1} ∩ Σ_{2}}; n) ⩽ h(\overline{Σ_{1}}; n) + h(\overline{Σ_{2}}; n)

où l’on a noté \overline{Σ} l’adhérence dans 𝔛 d’un sous-schéma Σ de 𝔛_{K}.

Démonstration : On vérifie aisément qu’on a \overline{Σ_{1} ∪ Σ_{2}} = \overline{Σ_{1}}∪\overline{Σ_{2}}. Par ailleurs, \overline{Σ_{1} ∩ Σ_{2}} est un sous-schéma fermé de \overline{Σ_{1}} ∩\overline{Σ_{2}} et ces deux objets coïncident sur la fibre générique. Par le lemme 2.5 on a donc h(\overline{Σ_{1} ∩ Σ_{2}}; n) ⩽ h(\overline{Σ_{1}} ∩ \overline{Σ_{2}}; n), et le résultat découle du corollaire précédent appliqué à \overline{Σ_{1}} et \overline{Σ_{2}}. □

3 Le théorème principal

3.1 Rappels sur les espaces projectifs

3.1.1 Préliminaires

Si S est un schéma noethérien et E un O_{S}-module localement libre de rang N +1, on note ℙE = Proj Sym E l’espace projectif sur S dont les points paramétrisent les quotients de E localement libres de rang un, π : ℙE ⟶ S le morphisme structural, et O(1) le fibré en droites universel sur ℙE.

Soit maintenant P un sous-schéma fermé de ℙE image d’une section i_{P} : S ↪ ℙE. On note F = i_{P}^{∗} ker(π^{∗}E ↠ O(1)) l’«hyperplan» de E défini par P, de sorte que la surjection naturelle π^{∗}E ↠ O(1) envoie π^{∗}F ⊂ π^{∗}E dans ℑ_{P} O(1) ⊂ O(1), où ℑ_{P} est le faisceau d’idéaux définissant le sous-schéma P.

Munissons la O_{S}-algèbre ⨁_{n⩾0} π_{∗}O(n) de la filtration définie par l’ordre d’annulation en P, et Sym E de la filtration définie par l’idéal engendré par F : pour 0 ⩽ t ⩽ n,

Fil^{t} π_{∗}O(n) = π_{∗}(ℑ_{P}^{t} O(n)) et Fil^{t} S^{n}E = im(F^{⊗t} ⊗ E^{⊗n−t} ⟶ S^{n}E).

On vérifie aisément (par exemple en se ramenant au cas où S est affine, où ℙE est l’espace projectif standard et où P est l’origine) que l’isomorphisme naturel de O_{S}-algèbres entre Sym E et ⨁_{n⩾0} π_{∗}O(n) est un isomorphisme de O_{S}-algèbres filtrées ; par passage aux gradués associés, on en déduit pour 0 ⩽ t ⩽ n un isomorphisme naturel

S^{t}F ⊗ (E/F)^{⊗n−t} ≃ gr^{t} π_{∗}O(n).  (3.1)

Par ailleurs, pour tout O_{ℙE}-module quasi-cohérent M on dispose d’un morphisme naturel d’adjonction (ou de restriction) π_{∗}M = i_{P}^{∗} π^{∗}π_{∗}M ⟶ i_{P}^{∗} M; dans le cas où M = ℑ_{P}^{t} O(n), on vérifie (à nouveau par exemple par un calcul local) que celui-ci induit, pour 0 ⩽ t ⩽ n, un isomorphisme de O_{S}-modules

\begin{matrix}gr^{t} π_{∗}O(n) = π_{∗}( & ℑ_{P}^{t} O(n))/π_{∗}(ℑ_{P}^{t+1}O(n)) \\ ⟶^{∼} i_{P}^{∗} (ℑ_{P}^{t} O(n)) = π_{∗}(ℑ_{P}^{t} O(n)/ℑ_{P}^{t+1}O(n)) = π_{∗}(ℑ_{P}^{t} /ℑ_{P}^{t+1}) ⊗_{O_{S}} i_{P}^{∗} O(n) \end{matrix} (3.2)

(on aurait aussi pu remarquer que cela revenait à dire que R^{1}π_{∗}(ℑ_{P}^{t} O(n)) est nul pour 0 ⩽ t ⩽ n + 1).

Enfin, on rappelle que la deuxième suite exacte fondamentale du calcul différentiel fournit un isomorphisme naturel de O_{S}-modules : π_{∗}(ℑ_{P} /ℑ_{P}^{2} ) ≃ i_{P}^{∗} Ω_{ℙE/S}^{1}, et plus généralement, l’immersion i_{P} étant régulière,

π_{∗}(ℑ_{P}^{t} /ℑ_{P}^{t+1}) ≃ i_{P}^{∗} S^{t}Ω_{ℙE/S}^{1}  (3.3)

pour tout t ⩾ 0.

3.1.2 Structures hermitiennes

On suppose maintenant que S = Spec ℂ et que E est un espace vectoriel de dimension N + 1 muni d’un produit scalaire hermitien. On munit alors le fibré universel O(1) sur ℙE de la métrique standard, définie par passage au quotient par la surjection naturelle π^{∗}E ↠ O(1), où π : ℙE ⟶ Spec ℂ est le morphisme structural. On note ω_{F S} la forme de Fubini-Study sur la variété analytique complexe ℙE(ℂ), c’est-à-dire la forme de Chern du fibré hermitien O(1), et on munit ℙE(ℂ) de la forme volume μ = (ω_{F S})^{N}, qui en fait un espace de probabilité^{1}. Enfin, le fibré cotangent holomorphe de ℙE(ℂ) est muni de l’unique métrique hermitienne qui soit invariante sous l’action du groupe unitaire de E et normalisée par la condition suivante :

Définition 3.1 Pour tout point fermé P de ℙE, image d’une section i_{P} : Spec ℂ ↪ ℙE définissant un hyperplan F de E, la métrique sur T_{P}^{1,0}ℙE(ℂ)^{∗} est celle qui rend isométrique l’isomorphisme naturel T_{P}^{1,0}ℙE(ℂ)^{∗} ≃ F ⊗ i_{P}^{∗} O(−1).

Un calcul explicite dans des coordonnées locales montre qu’avec ce choix de normalisation, si les φ_{j} forment une base unitaire de T_{P}^{1,0}ℙE(ℂ)^{∗}, on a ω_{F S}(P) = \frac{i}{2π} ∑_{j=1}^{N} φ_{j} ∧ \overline{φ_{j}}.

Si maintenant K est un corps de nombres d’anneau d’entiers O_{K} et \overline{E} un O_{K}-module hermitien localement libre de rang N+1, on munit la variété analytique complexe ℙE(ℂ) = ∐_{σ:K↪ℂ} ℙE_{σ}(ℂ) et le fibré universel O(1) de structures hermitiennes en appliquant les constructions précédentes aux espaces hermitiens E_{σ}.

3.1.3 Un calcul de décomposition polaire

Soit E un espace hermitien de dimension N + 1. Considérons sur ℙE les structures hermitiennes définies précédemment. Pour tout entier n, les ℂ-espaces vectoriels S^{n}E et Γ(ℙE, O(n)) sont naturellement isomorphes. Le résultat suivant permet de comparer les normes puissance symétrique sur S^{n}E, et L^{2}(μ) sur Γ(ℙE, O(n)), relativement à cette identification.

Lemme 3.2 (cf. [1] lemme 4.3.6) L’isomorphisme canonique S^{n}E ⟶^{∼} Γ(ℙE, O(n)) est une similitude de rapport \binom{n+N}{N}^{−1/2}.

Soit maintenant P un point de ℙE(ℂ). Pour tout entier n munissons l’espace

A(n) = Γ(ℙE, O(n))

de la filtration définie par l’ordre d’annulation en P :

Fil^{s} A(n) = Γ(ℙE, ℑ_{P}^{s} O(n)).  (3.4)

1on prendra garde que certains textes utilisent parfois aussi la forme volume \frac{1}{N!} μ plutôt que μ.

Identifions les gradués associés gr^{t} A(n) = Fil^{t} A(n)/ Fil^{t+1} A(n) à des sous-espaces de A(n) au moyen de la structure hermitienne, de sorte que

Fil^{s} A(n) = ⨁_{s⩽t⩽n}^{⊥} gr^{t} A(n).  (3.5)

Notons aussi F l’hyperplan de E défini par P, Δ l’orthogonal de F dans E, δ un élément de Δ de norme 1, et l l’élément de Γ(ℙE, O(1)) déduit naturellement de δ. Ainsi on a ∥l∥(P) = 1, ∥l∥(Q) < 1 pour Q ∈ ℙE(ℂ) différent de P, et par le lemme 3.2 la norme L^{2} de l vaut (N + 1)^{−1/2}. Si maintenant d est un entier, la proposition suivante donne la décomposition polaire de l’application m_{l^{⊗d}} de multiplication par l^{⊗d} de Γ(ℙE, O(n)) dans Γ(ℙE, O(n + d)) relativement aux normes L^{2}.

Proposition 3.3 Avec ces notations, l’application m_{l^{⊗d}} : A(n) ⟶ A(n + d) admet pour valeurs caractéristiques les

λ_{t}(n, d) = (\frac{(n + N)!(n + d − t)!}{(n − t)!(n + d + N)!})^{1/2}  (3.6)

avec pour espaces caractéristiques associés respectifs les gr^{t} A(n) pour 0 ⩽ t ⩽ n.

Démonstration : Remarquons que la décomposition E = F ⊕^{⊥} Δ induit pour tout k une décomposition en somme directe orthogonale S^{k}E = ⨁_{0⩽t⩽k}^{⊥} S^{t}F ⊗ Δ^{⊗k−t} et que l’isomorphisme naturel entre S^{k}E et A(k) envoie S^{t}F ⊗ Δ^{⊗k−t} sur gr^{t} A(k). Ainsi on déduit du diagramme commutatif naturel

S^{t}F ⊗ Δ^{⊗n−t} ⟶^{j} S^{n}E ⟶^{i} A(n)
≃↓^{m_{δ^{⊗d}}}  ↓  ↓^{m_{l^{⊗d}}}
S^{t}F ⊗ Δ^{⊗n+d−t} ⟶^{j′} S^{n+d}E ⟶^{i′} A(n + d)

que m_{l^{⊗d}} envoie bien gr^{t} A(n) bijectivement sur gr^{t} A(n + d).

Soit maintenant x ∈ S^{t}F ⊗ Δ^{⊗n−t}. Par le lemme 3.2, i est une similitude de rapport \binom{n+N}{N}^{−1/2}, et par le lemme A.1, j est une similitude sur son image, de rapport \binom{n}{t}^{−1/2}. On a donc

∥i ∘ j(x)∥ = (\frac{N!t!(n − t)!}{(n + N)!})^{1/2} ∥x∥  (3.7)

et de la même façon

∥i′ ∘ j′(x.δ^{⊗d})∥ = (\frac{N!t!(n + d − t)!}{(n + d + N)!})^{1/2} ∥x.δ^{⊗d}∥ = (\frac{N!t!(n + d − t)!}{(n + d + N)!})^{1/2} ∥x∥.

Ainsi si y ∈ gr^{t} A(n), on peut écrire y = i ∘ j(x) avec x ∈ S^{t}F ⊗ Δ^{⊗n−t}, de sorte que y.l^{⊗d} = i′ ∘ j′(x.δ^{⊗d}) et on trouve bien ∥y.l^{⊗d}∥ = λ∥y∥ pour la valeur de λ annoncée en (3.6). □

3.2 Étude métrique d’applications de restriction de jets

3.2.1 Métrisation de cônes tangents

Soient E un espace hermitien de dimension N +1, P un point fermé de l’espace projectif ℙE définissant un hyperplan F de E, et Δ l’orthogonal de F dans E, qui s’identifie isométriquement au quotient E/F, c’est-à-dire à la fibre de O(1) en P.

Soit maintenant P^{ép} un sous-schéma fermé de ℙE de support égal à P (donc fini sur Spec ℂ). Notons ℑ_{P,P^{ép}} et ℑ_{P,ℙE} les faisceaux d’idéaux définissant P comme sous-schéma fermé de P^{ép} et de ℙE, respectivement. Pour tout entier n on munit l’espace des sections globales Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}) de la filtration définie par l’ordre d’annulation en P. Le schéma P^{ép} étant affine, on a pour tout t un isomorphisme naturel de ℂ-espaces vectoriels

j_{t,n} : gr^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}) = Γ(P^{ép}, ℑ_{P,P^{ép}}^{t}O(n)|_{P^{ép}})/Γ(P^{ép}, ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1}O(n)|_{P^{ép}})

⟶^{∼} Γ(P^{ép}, ℑ_{P,P^{ép}}^{t}O(n)/ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1}O(n)|_{P^{ép}}) = Γ(P, ℑ_{P,P^{ép}}^{t}/ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1}) ⊗ Δ^{⊗n}

(3.8)

du gradué associé à cette filtration sur un espace de jets en P. Notons

r_{t} = dim Γ(P, ℑ_{P,P^{ép}}^{t}/ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1})  (3.9)

la dimension commune de ces espaces.

Si n est assez grand, l’application restr_{n} : Γ(ℙE, O(n)) ⟶ Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}) est surjective. Sous cette hypothèse, l’espace Γ(ℙE, O(n)) étant muni de la métrique L^{2}, on peut alors munir Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}) de la métrique quotient, et :

Définition 3.4 La métrique sur gr^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}) est la métrique sous-quotient de cette métrique quotient sur Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}).

Par ailleurs, on dispose d’une application naturelle surjective de O_{P} -modules

ℑ_{P,ℙE}^{t}/ℑ_{P,ℙE}^{t+1} ↠ ℑ_{P,P^{ép}}^{t}/ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1}.  (3.10)

Par (3.3), Γ(P, ℑ_{P,ℙE}^{t}/ℑ_{P,ℙE}^{t+1}) s’identifie à la t-ième puissance symétrique de l’espace cotangent holomorphe à ℙE en P, de sorte que :

Définition 3.5 On munit Γ(P, ℑ_{P,P^{ép}}^{t}/ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1}) de la métrique quotient par (3.10) de la puissance symétrique de la métrique sur l’espace cotangent donnée par la définition 3.1.

On se propose de calculer la norme du déterminant de l’application j_{t,n} relativement aux métriques ainsi définies.

Remarquons que les applications (3.2), (3.8) et (3.10) s’insèrent dans un diagramme commutatif

gr^{t} Γ(ℙE, O(n))  ⟶^{b_{t,n}} gr^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}})
k_{t,n}↓^{≃}  ^{j_{t,n}}↓^{≃}
Γ(P, ℑ_{P,ℙE}^{t}/ℑ_{P,ℙE}^{t+1}) ⊗ Δ^{⊗n} ⟶^{c_{t,n}} Γ(P, ℑ_{P,P^{ép}}^{t}/ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1}) ⊗ Δ^{⊗n}

(3.11) où l’application b_{t,n}, déduite de l’application naturelle de restriction restr_{n}, est surjective (n étant toujours supposé assez grand). Alors, notant K_{t}(n) le noyau de b_{t,n}, on obtient par passage au quotient un isomorphisme de ℂ-espaces vectoriels

β_{t,n} : gr^{t} Γ(ℙE, O(n))/K_{t}(n) ⟶^{∼} gr^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}).  (3.12)

Proposition 3.6 Sous ces hypothèses, la norme du déterminant de l’application de jet j_{t,n} vaut

∥⋀^{max} j_{t,n}∥ = (\frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!})^{r_{t}/2} ∥⋀^{max} β_{t,n}∥^{−1}

où, conformément à (3.9), r_{t} = rg j_{t,n} = rg β_{t,n} est la longueur du t-ième jet de P^{ép}.

Démonstration : Cela découle du fait que, dans le diagramme commutatif (3.11), d’une part, l’application c_{t,n} est par construction une isométrie partielle, et d’autre part, puisque par (3.3) et par la définition 3.1 on peut identifier Γ(P, ℑ_{P,ℙE}^{t}/ℑ_{P,ℙE}^{t+1}) isométriquement à S^{t}F ⊗ Δ^{⊗−t}, il résulte de (3.7) que l’application k_{t,n} est une similitude de rapport

(\frac{(n+N)!}{N!t!(n−t)!})^{1/2}. □

Ceci étant fait, pour que la proposition présente un quelconque intérêt, il faut encore savoir estimer la norme ∥⋀^{max} β_{t,n}∥, ce qui fait l’objet du prochain paragraphe.

3.2.2 Un théorème de presque-isométrie

L’estimation recherchée fera appel au résultat technique suivant :

Proposition 3.7 Soient H_{0} = Y_{0} ⊕^{⊥} Z_{0} un espace hermitien somme directe orthogonale de deux sous-espaces et T_{0} un sous-espace de H_{0} tel que T_{0} ∩ Y_{0} = {0}.

Alors il existe une constante κ_{0} > 0 telle que, pour toute donnée d’un espace hermitien

H_{1} = Y_{1} ⊕^{⊥}Z_{1} somme directe orthogonale de deux sous-espaces et pour tout sous-espace T_{1} de H_{1} tel que T_{1} ∩Y_{1} = {0}, pour toute application linéaire φ : H_{0} → H_{1} vérifiant les conditions suivantes :

i. φ est bijective ii. φ(Y_{0}) = Y_{1}, φ(Z_{0}) = Z_{1}, φ(T_{0}) = T_{1} iii. il existe η_{φ} > 0 tel que ∥φ(y_{0})∥ ⩽ η_{φ}∥y_{0}∥ pour tout y_{0} ∈ Y_{0} iv. il existe ζ_{φ} > 0 tel que ∥φ(z_{0})∥ ⩾ ζ_{φ}∥z_{0}∥ pour tout z_{0} ∈ Z_{0},

on ait :

∥p_{Y_{1}}|_{T_{1}}∥ ⩽ (1 + κ_{0}^{2} \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} )^{−1/2} .

Démonstration : On a ker p_{Z_{0}}|_{T_{0}} = T_{0} ∩ ker p_{Z_{0}} = T_{0} ∩ Y_{0} = {0} de sorte que p_{Z_{0}}|_{T_{0}} est injective ; choisissons pour κ_{0} la plus petite valeur caractéristique de p_{Z_{0}}|_{T_{0}}. On a alors bien κ_{0} > 0 et, pour tout t_{0} ∈ T_{0}, on aura l’inégalité

∥p_{Z_{0}}(t_{0})∥ ⩾ κ_{0}∥t_{0}∥.

Les hypothèses de la proposition impliquent que p_{Y_{1}} ∘ φ = φ ∘ p_{Y_{0}} et que p_{Z_{1}} ∘ φ = φ ∘ p_{Z_{0}}. Soit maintenant t_{1} ∈ T_{1}, t_{1} ≠ 0. Puisque T_{1} = φ(T_{0}), on peut écrire t_{1} = φ(t_{0}), t_{0} ∈ T_{0}. Alors

\frac{∥p_{Y_{1}}(t_{1})∥^{2}}{∥t_{1}∥^{2}} = \frac{∥p_{Y_{1}}(t_{1})∥^{2}}{∥p_{Y_{1}}(t_{1})∥^{2} + ∥p_{Z_{1}}(t_{1})∥^{2}}

= \frac{∥φ(p_{Y_{0}}(t_{0}))∥^{2}}{∥φ(p_{Y_{0}}(t_{0}))∥^{2} + ∥φ(p_{Z_{0}}(t_{0}))∥^{2}}

= (1 + \frac{∥φ(p_{Z_{0}}(t_{0}))∥^{2}}{∥φ(p_{Y_{0}}(t_{0}))∥^{2}} )^{−1}

⩽ (1 + \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} \frac{∥p_{Z_{0}}(t_{0})∥^{2}}{∥p_{Y_{0}}(t_{0})∥^{2}} )^{−1}

⩽ (1 + \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} \frac{∥p_{Z_{0}}(t_{0})∥^{2}}{∥t_{0}∥^{2}} )^{−1}

⩽ (1 + κ_{0}^{2} \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} )^{−1}

ce qu’il fallait démontrer. □

Corollaire 3.8 Sous les hypothèses précédentes, la norme du déterminant de l’isomorphisme naturel β : Y_{1} ⟶^{∼} (Y_{1} + T_{1})/T_{1} vérifie l’encadrement

1 ⩾ ∥⋀^{max} β∥ ⩾ (1 − (1 + κ_{0}^{2} \frac{ζ_{φ}^{2}}{η_{φ}^{2}} )^{−1})^{min(dim Y_{1},dim T_{1})/2} .

Démonstration : Cela résulte du corollaire A.17.iii. et de la proposition A.18. □

On est maintenant en mesure de prouver l’énoncé suivant :

Théorème 3.9 Soient E un espace hermitien, P un point fermé de ℙE et P^{ép} un sousschéma fermé de ℙE supporté par P. Alors, pour tout entier t, la norme du déterminant de l’isomorphisme β_{t,n} défini en (3.12) admet pour n tendant vers l’infini un développement asymptotique de la forme

∥⋀^{max} β_{t,n}∥ = 1 − O(n^{−1}).

Démonstration : Pour alléger l’écriture notons A(n) = Γ(ℙE, O(n)), et I(n) = Γ(ℙE, ℑ_{P^{ép},ℙE}O(n)) ⊂ A(n) la partie de degré n de l’idéal homogène saturé définissant P^{ép}. Pour n assez grand, l’image inverse par restr_{n} de Fil^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}) est alors

restr_{n}^{−1} Fil^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}) = I(n) + Fil^{t} A(n),  (3.13)

de sorte que, posant H_{0} = A(n) / ((F il^{t}A(n) ∩ I(n)) + F il^{t+1}A(n)) Y_{0} = F il^{t}A(n) / ((F il^{t}A(n) ∩ I(n)) + F il^{t+1}A(n)) Z_{0} = A(n) / F il^{t}A(n) = (F il^{t}A(n))^{⊥} T_{0} = (I(n) + F il^{t+1}A(n)) / ((F il^{t}A(n) ∩ I(n)) + F il^{t+1}A(n)),

on a des isomorphismes isométriques naturels

gr^{t}Γ(ℙ_{E}, O(n))/K_{t}(n) = Y_{0}

et

gr^{t}Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}) = (I(n) + Fil^{t} A(n))/(I(n) + Fil^{t+1} A(n)) = (Y_{0} + T_{0})/T_{0},

avec par construction H_{0} = Y_{0} ⊕^{⊥} Z_{0} et T_{0} ∩ Y_{0} = {0}. Soit maintenant d un entier, et de la même façon que précédemment, posons

H_{1} = A(n + d) / ((F il^{t}A(n + d) ∩ I(n + d)) + F il^{t+1}A(n + d))

Y_{1} = F il^{t}A(n + d) / ((F il^{t}A(n + d) ∩ I(n + d)) + F il^{t+1}A(n + d))

Z_{1} = A(n + d) / F il^{t}A(n + d)

T_{1} = (I(n + d) + F il^{t+1}A(n + d)) / ((F il^{t}A(n + d) ∩ I(n + d)) + F il^{t+1}A(n + d)) et considérons l’application

φ : H_{0} ⟶ H_{1}

induite par l’application m_{l^{⊗d}} étudiée dans la proposition 3.3.

L’application m_{l^{⊗d}} envoie A(n) dans A(n + d), préserve les filtrations de ces espaces et envoie I(n) dans I(n + d). En outre, elle envoie bijectivement A(n)/ Fil^{t+1} A(n) sur A(n+d)/ Fil^{t+1} A(n+d)). Ceci implique que φ est bijective, et vérifie : φ(Y_{0}) = Y_{1}, φ(Z_{0}) = Z_{1} et φ(T_{0}) = T_{1}.

Par ailleurs, l’espace Z_{0} est somme directe orthogonale

Z_{0} = ⨁_{0⩽s⩽t−1}^{⊥} gr^{s} A(n)

de sous-espaces caractéristiques de m_{l^{⊗d}}, de valeurs caractéristiques associées

λ_{s} = (\frac{(n + N)(n + N − 1) … (n − s + 1)}{(n + d + N)(n + d + N − 1) … (n + d − s + 1)})^{1/2} .

On remarque que la suite des λ_{s} est décroissante, de sorte qu’en posant

ζ_{φ} = λ_{t−1},

on a

∥φ(z_{0})∥ ⩾ ζ_{φ}∥z_{0}∥

pour tout z_{0} ∈ Z_{0}.

Enfin, Y_{0} est un quotient de gr^{t} A(n), sur lequel m_{l^{⊗d}} est une similitude de rapport λ_{t}. Ainsi, en posant

η_{φ} = λ_{t}, on a

∥φ(y_{0})∥ = η_{φ}∥y_{0}∥

pour tout y_{0} ∈ Y_{0}.

Les hypothèses de la proposition 3.7 étant toutes vérifiées on peut appliquer le corollaire 3.8 à l’isomorphisme β_{t,n+d} : Y_{1} ⟶^{∼} (Y_{1} + T_{1})/T_{1}, ce qui donne

1 ⩾ ∥⋀^{max} β_{t,n+d}∥ ⩾ (1 − (1 + κ_{0}^{2} \frac{n + d − t + 1}{n − t + 1})^{−1})^{min(dim Y_{1},dim T_{1})/2}  (3.14)

et on trouve l’estimation souhaitée en faisant tendre d vers l’infini. □

Remarquons que, par la proposition A.18, le théorème implique que pour t fixé, les valeurs caractéristiques de β_{t,n} restent dans un intervalle de la forme [1 − O(n^{−1}), 1] lorsque n tend vers l’infini. Ainsi on peut considérer d’une certaine façon que β_{t,n} «tend» à devenir une isométrie.

3.3 Le développement asymptotique général

3.3.1 Énoncé du théorème et squelette de la démonstration

Soient \overline{E} un O_{K}-module hermitien localement libre de rang N +1, et ℙE = Proj Sym E l’espace projectif associé muni des structures hermitiennes construites au paragraphe 3.1.2.

Si P^{ép} est un sous-schéma fermé de ℙE, plat de dimension relative zéro sur Spec O_{K}, de support l’image P d’une section de Spec O_{K} dans ℙE, notant ℑ_{P,P^{ép}} le faisceau d’idéaux (nilpotent) définissant P comme sous-schéma fermé de P^{ép}, on peut munir le O_{K}-module Γ(P, ℑ_{P,P^{ép}}^{t}/ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1}) des métriques provenant de la structure kählérienne de ℙE, suivant la définition 3.5. Alors :

Définition 3.10 Avec ce choix de métriques, on définit la hauteur du cône tangent à P^{ép} en P comme

h(C_{P} P^{ép}) = ∑_{t⩾0} d̂eg \overline{Γ(P, ℑ_{P,P^{ép}}^{t}/ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1})}.

Soit maintenant Σ un sous-schéma fermé de ℙE, plat de dimension relative zéro sur Spec O_{K} (on ne fait plus d’hypothèse sur le support de Σ). Fixons un plongement K ↪ \overline{K} de K dans sa clôture algébrique, et notons p_{1}, …, p_{e} ∈ ℙE(\overline{K}) les points géométriques de la fibre générique de Σ. Posons

r_{t,i} = dim\overline{K} Γ(p_{i}, ℑ_{p_{i},Σ_{\overline{K},p_{i}}}^{t} /ℑ_{p_{i},Σ_{\overline{K},p_{i}}}^{t+1} )  (3.15)

et

m_{i} = ∑_{t⩾0}r_{t,i} = dim\overline{K} Γ(Σ_{\overline{K},p_{i}}, O_{Σ_{\overline{K},p_{i}}}).  (3.16)

On définit la hauteur du cycle associé à Σ comme le réel

h([Σ]) = ∑_{1⩽i⩽e} m_{i}h(p_{i})  (3.17)

où h(p_{i}) est la hauteur (normalisée) du point p_{i}, relativement au fibré \overline{O(1)}.

Choisissons une extension finie L de K telle que les p_{i} soient définis sur L. Ce choix étant fait, pour tout i on notera \overline{Σ_{O_{L},p_{i}}} la fermeture dans ℙE_{O_{L}} du localisé Σ_{O_{L},p_{i}}, et P_{i} la fermeture de p_{i}. Ainsi P_{i} est l’image d’une section de Spec O_{L} dans ℙE_{O_{L}}, \overline{Σ_{O_{L},p_{i}}} est un sous-schéma fermé de ℙE_{O_{L}} dont le support est égal à P_{i}, et Σ_{O_{L}} est réunion schématique des \overline{Σ_{O_{L},p_{i}}}. Notons Σ̃_{O_{L}} le schéma somme disjointe des \overline{Σ_{O_{L},p_{i}}}, et

ν : Σ̃_{O_{L}} ⟶ Σ_{O_{L}}  (3.18)

le morphisme naturel. Par construction, la restriction de ν à la fibre générique est un isomorphisme, de sorte que le O_{Σ_{O_{L}}} -module ν_{∗}OΣ̃_{O_{L}} /O_{Σ_{O_{L}}} est de torsion. Remarquons aussi qu’on est dans les conditions d’application de la définition 3.10 avec K = L, P = P_{i} et P^{ép} = \overline{Σ_{O_{L},p_{i}}}. On peut alors poser les

Définition 3.11 La hauteur du cône tangent de Σ est le réel

h(CΣ) = ∑_{1⩽i⩽e} h(C_{P_{i}} \overline{Σ_{O_{L},p_{i}}}).  (3.19)

et

Définition 3.12 La ramification normalisée de Σ est le réel

ramif(Σ) = (# Γ(Σ_{O_{L}}, ν_{∗}OΣ̃_{O_{L}} /O_{Σ_{O_{L}}}))^{\frac{1}{[L:ℚ]}} .  (3.20)

On vérifie aisément que ces deux quantités ne dépendent pas du choix de L.

Si maintenant σ est un plongement de K dans ℂ, on notera p_{1,σ}, …, p_{e,σ} les points de Σ_{σ}(ℂ) (par exemple on pourra choisir une extension de σ au corps L utilisé ci-dessus, et choisir pour p_{i,σ} le point déduit de p_{i} par σ). Pour n assez grand on munit chacun des ℂ-espaces vectoriels Γ((Σ_{σ})_{p_{i,σ}}, O(n)|_{(Σ_{σ})_{p_{i,σ}}}) de la norme quotient de la norme L^{2} sur Γ(ℙE_{σ}, O(n)), et on note

ν_{n,σ}^{∗} : Γ(Σ_{σ}, O(n)|_{Σ_{σ}}) ⟶^{∼} ⨁_{1⩽i⩽e}^{⊥} Γ((Σ_{σ})_{p_{i,σ}}, O(n)|_{(Σ_{σ})_{p_{i,σ}}})

l’isomorphisme (en général non isométrique) dont les composantes sont les morphismes de restriction.

Enfin on note Fil_{i} les filtrations sur Γ(ℙE_{σ}, O(n)) et Γ((Σ_{σ})_{p_{i,σ}}, O(n)|_{(Σ_{σ})_{p_{i,σ}}}) définies par l’ordre d’annulation en p_{i,σ}, gr_{i} les gradués associés, K_{t,i,σ}(n) le noyau du morphisme naturel gr_{i}^{t} Γ(ℙE_{σ}, O(n)) ⟶ gr_{i}^{t} Γ((Σ_{σ})_{p_{i,σ}}, O(n)|_{(Σ_{σ})_{p_{i,σ}}}) et pour n assez grand

β_{t,n,i,σ} : gr_{i}^{t} Γ(ℙE_{σ}, O(n))/K_{t,i,σ}(n) ⟶^{∼} gr_{i}^{t} Γ((Σ_{σ})_{p_{i,σ}}, O(n)|_{(Σ_{σ})_{p_{i,σ}}})

l’isomorphisme qui s’en déduit comme en (3.12).

Muni de ces notations, le résultat principal de ce texte peut s’énoncer ainsi :

Théorème 3.13 Sous les hypothèses qui précèdent, les hauteurs du sous-schéma Σ admettent le développement asymptotique suivant :

h(Σ; n) = n.h([Σ]) + ∑_{\begin{matrix}1⩽i⩽e \\ t⩾0 \end{matrix}} \frac{r_{t,i}}{2} log \frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!}

+ h(CΣ) − log ramif(Σ) + e(n)

(3.21)

avec pour tout n assez grand

e(n) = \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ:K↪ℂ} (log ∥⋀^{max} ν_{n,σ}^{∗}∥ − ∑_{1⩽i⩽e} log ∥⋀^{max} β_{t,n,i,σ}∥) =_{n→∞} O(n^{−1}).

(3.22)

Démonstration : Pour montrer le théorème 3.13, on ne perd pas de généralité en supposant que les p_{i} sont définis sur K, et que chaque p_{i,σ} est bien le point de Σ_{σ}(ℂ) déduit de p_{i} par σ. Notons

ν_{n}^{∗} : Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) ⟶ Γ(Σ̃, ν^{∗}(O(n)|_{Σ})) = ⨁_{1⩽i⩽e} Γ(\overline{Σ_{p_{i}}}, O(n)|\overline{Σ_{p_{i}}})  (3.23)

l’application dont les composantes sont les applications de restriction et qui, par construction, est génériquement bijective. Pour n assez grand on peut munir les Γ(\overline{Σ_{p_{i}}}, O(n)|\overline{Σ_{p_{i}}})

des normes quotient des normes L^{2} sur ℙE, et Γ(Σ̃, ν^{∗}(O(n)|_{Σ})) des normes somme directe orthogonale. Compte tenu de (1.3) et (2.8) on trouve donc

h(Σ; n) = h(⋀^{max} ν_{n}^{∗}) + ∑_{1⩽i⩽e} h(\overline{Σ_{p_{i}}}; n),  (3.24)

avec h(⋀^{max} ν_{n}^{∗}) = \frac{1}{[K:ℚ]}(∑_{𝔭} log ∥ ⋀^{max} ν_{n}^{∗}∥_{𝔭} + ∑_{σ} log ∥ ⋀^{max} ν_{n}^{∗}∥_{σ}). Aux paragraphes 3.3.2 et 3.3.3 on montrera les estimations suivantes sur ces normes locales :

i. aux places finies, on a

∥ ⋀^{max} ν_{n}^{∗}∥_{𝔭} = (# Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})_{𝔭})^{−1}  (3.25)

indépendamment de n; ii. aux places infinies, le terme log ∥ ⋀^{max} ν_{n}^{∗}∥_{σ} tend vers 0 avec une vitesse exponentielle

en n. On peut aussi estimer les hauteurs des \overline{Σ_{p_{i}}}, et plus généralement de tout sous-schéma fermé P^{ép} fini et plat sur Spec O_{K} supporté par l’image P d’une section i_{P} : Spec O_{K} ↪ ℙE, comme suit.

Notons F l’hyperplan de E défini par P, de sorte que

h(P) = d̂eg \overline{E/F} .  (3.26)

Munissant le O_{K}-module hermitien \overline{Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}})} de la filtration définie par l’ordre d’annulation en P, et munissant les gradués associés des métriques de sous-quotients, on obtient par (2.5) l’égalité

h(P^{ép}; n) = ∑_{t⩾0} d̂eg \overline{gr^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}})}.  (3.27)

Par ailleurs, le schéma P^{ép} étant affine, on dispose comme en (3.8) d’un isomorphisme naturel de O_{K}-modules

j_{t,n} : gr^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}) ⟶^{∼} Γ(P, ℑ_{P,P^{ép}}^{t}/ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1}) ⊗ (E/F)^{⊗n}  (3.28)

duquel on déduit (notamment par (2.6) et (2.8))

d̂eg \overline{gr^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}})} = n.r_{t}.h(P) + d̂eg \overline{Γ(P, ℑ_{P,P^{ép}}^{t}/ℑ_{P,P^{ép}}^{t+1})}

+ \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ:K↪ℂ}log ∥⋀^{max} j_{t,n}∥_{σ} (3.29)

où r_{t} = r_{t}(P^{ép}) = dim_{K} gr^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}})_{K}. Notant comme en (3.12) K_{t}(n) le noyau de l’application naturelle gr^{t} Γ(ℙE, O(n)) ⟶ gr^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}}), qui est surjective pour n assez grand, et

β_{t,n} : gr^{t} Γ(ℙE, O(n))/K_{t}(n) ⟶^{∼} gr^{t} Γ(P^{ép}, O(n)|_{P^{ép}})  (3.30)

l’isomorphisme de O_{K}-modules qui s’en déduit, on trouve par la proposition 3.6

log ∥⋀^{max} j_{t,n}∥_{σ} = \frac{r_{t}}{2} log \frac{(n + N)!}{N!t!(n − t)!} − log ∥⋀^{max} β_{t,n}∥_{σ} .  (3.31)

Appliquant tout ceci en notant β_{t,n,i} l’application β_{t,n} pour P^{ép} = \overline{Σ_{p_{i}}}, puis sommant sur i et sur σ, on obtient bien les formules voulues. On conclut alors en appliquant le théorème 3.9 et l’estimation annoncée sur les normes archimédiennes de ν_{n}^{∗}, ce qui donne bien un contrôle en O(n^{−1}) sur e(n). □

On remarquera que la formule (3.22) ainsi obtenue pour le terme d’erreur e(n) implique que celui-ci est négatif lorsque Σ est réduit et, inversement, est positif lorsque Σ est géométriquement irréductible.

3.3.2 Un calcul de norme aux places non-archimédiennes

On se propose ici de démontrer la formule (3.25).

Définition 3.14 On appelle anneau semi-local un anneau n’ayant qu’un nombre fini d’idéaux maximaux. Un schéma X sera dit semi-local si X est le spectre d’un anneau semi-local. Il revient au même de dire que X est affine et n’a qu’un nombre fini de points fermés.

Ainsi, tout schéma fini sur le spectre d’un anneau local est semi-local. En particulier, avec les notations de la formule (3.25), Σ_{𝔭} est semi-local. On rappelle par ailleurs que tout fibré en droites sur un schéma semi-local est trivial.

Terminons maintenant la preuve de la formule. Avec les notations correspondantes, puisque Σ est affine sur Spec O_{K}, pour tout fibré en droites L sur Σ, on a une identification naturelle Γ(Σ, L)_{𝔭} = Γ(Σ_{𝔭}, L|_{Σ_{𝔭}}), et il en est de même pour Σ̃. Soit maintenant l une section de Γ(Σ_{𝔭}, O(n)|_{Σ_{𝔭}}) qui trivialise O(n) sur Σ_{𝔭}. Alors ν^{∗}l trivialise ν^{∗}O(n) sur Σ̃, et le diagramme suivant est commutatif :

Γ(Σ_{𝔭}, O_{Σ_{𝔭}}) ⟶^{ν_{0,𝔭}^{∗}}  Γ(Σ̃_{𝔭}, OΣ̃_{𝔭})
l↓^{≃}  _{ν^{∗}l}↓^{≃}
Γ(Σ_{𝔭}, O(n)|_{Σ_{𝔭}}) ⟶^{ν_{n,𝔭}^{∗}} Γ(Σ̃_{𝔭}, ν^{∗}(O(n)|_{Σ_{𝔭}})).

Ainsi ν_{0,𝔭}^{∗} et ν_{n,𝔭}^{∗} sont toutes deux injectives et ont des conoyaux isomorphes, de sorte que, grâce à l’identification Γ(Σ̃_{𝔭}, OΣ̃_{𝔭}) = Γ(Σ_{𝔭}, ν_{∗}OΣ̃_{𝔭}), on trouve bien :

Proposition 3.15 Avec ces notations, on a

∥⋀^{max} ν_{n}^{∗}∥_{𝔭} = #(coker ν_{n,𝔭}^{∗})^{−1} = #(coker ν_{0,𝔭}^{∗})^{−1} = (# Γ(Σ_{𝔭}, ν_{∗}OΣ̃_{𝔭}/O_{Σ_{𝔭}}))^{−1}.

3.3.3 Un calcul de norme aux places archimédiennes

On se propose ici de démontrer le résultat suivant :

Proposition 3.16 Soient E un espace hermitien de dimension N +1 et Σ un sous-schéma fermé de ℙE qui est réunion (disjointe) d’un nombre fini de sous-schémas Σ_{1}, …, Σ_{e} dont les supports respectifs sont des points p_{1}, …, p_{e}. Pour tout entier n assez grand, munissons Γ(Σ, O(n)) ainsi que les Γ(Σ_{i}, O(n)) des normes quotient de la norme L^{2} sur Γ(ℙE, O(n)). Alors il existe un réel ε ∈ [0, 1[ tel que, pour tout n assez grand, la norme du déterminant de l’application naturelle

ν_{n}^{∗} : Γ(Σ, O(n)) ⟶ ∏_{1⩽i⩽e}^{⊥} Γ(Σ_{i}, O(n))

soit dans l’intervalle [1 − ε^{n}, 1].

Pour démontrer cette proposition, il nous faut établir quelques lemmes et résultats préliminaires. Pour tout i, notons F_{i} l’hyperplan de E représenté par p_{i} et Δ_{i} l’orthogonal de F_{i}. Choisissons un élément s_{i} de norme 1 dans Δ_{i}. Alors, grâce à l’isomorphisme naturel E ≃ Γ(ℙE, O(1)), on peut considérer s_{i} comme une section globale de O(1), de norme (N + 1)^{−1/2} (cf. lemme 3.2). On a alors ∥s_{i}∥(p_{i}) = 1 et ∥s_{i}∥(p) < 1 si p ≠ p_{i}. En outre, les p_{i} étant deux à deux distincts, on peut trouver des voisinages U_{i} de p_{i} (pour la topologie complexe) deux à deux disjoints. Il existe alors un réel η < 1 tel que, pour tout i, on ait ∥s_{i}∥(p) < η pour tout p ∉ U_{i}. Ceci implique que pour tout couple d’indices (i, j) avec i ≠ j, et pour tout p ∈ ℙE, on a

| < s_{i}, s_{j} >(p)| < η.  (3.32)

Soit l la longueur de Σ. Notons ℑ_{p_{i}} le faisceau d’idéaux définissant p_{i} comme sousschéma fermé de ℙE et p_{i}^{<l>} le sous-schéma obtenu en épaississant p_{i} à l’ordre l, c’est-à-dire le sous-schéma fermé de ℙE défini par le faisceau d’idéaux ℑ_{p_{i}}^{l}. Alors pour tout i, Σ_{i} est un sous-schéma fermé de p_{i}^{<l>}.

Soit n un entier assez grand. La présence du produit scalaire L^{2} sur Γ(ℙE, O(n)) permet d’identifier Γ(Σ, O(n)) ainsi que les Γ(Σ_{i}, O(n)) et les Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) à des sous-espaces de Γ(ℙE, O(n)), plus précisément aux orthogonaux des noyaux des surjections correspondantes. En outre, par transitivité des normes quotient, cette identification fait de Γ(Σ_{i}, O(n)) un sous-espace de Γ(Σ, O(n)) et de Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)).

Notons A(n) = Γ(ℙE, O(n)) et considérons pour tout i la filtration

F il_{i}^{t}A(n) = Γ(ℙE, ℑ_{p_{i}}^{t}O(n))

sur A(n) définie par l’ordre d’annulation en p_{i}. Alors Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) = F il_{i}^{l}A(n)^{⊥} s’identifie à l’image de l’application composée naturelle S^{l−1}E ⊗ Δ_{i}^{⊗n−l+1} ↪ S^{n}E ⟶^{∼} A(n) ; ou encore, si on note

m_{s_{i}^{n−l+1}} : A(l − 1) ⟶ A(n)

l’application de multiplication par s_{i}^{n−l+1} ∈ A(n − l + 1), on a

Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) = m_{s_{i}^{n−l+1}}(Γ(p_{i}^{<l>}, O(l − 1))) = m_{s_{i}^{n−l+1}}(A(l − 1)).

Lemme 3.17 Si i ≠ j, il existe un réel ε < 1 tel que, si n est assez grand, en considérant Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) et Γ(p_{j}^{<l>}, O(n)) comme des sous-espaces de A(n), la norme de la projection orthogonale de Γ(p_{j}^{<l>}, O(n)) sur Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) vérifie la majoration suivante :

∥p_{Γ(p_{i}^{<l>},O(n))}|_{Γ(p_{j}^{<l>},O(n))}∥ ⩽ ε^{n}.

Démonstration : Par la proposition 3.3 la plus petite valeur caractéristique de l’application

m_{s_{i}^{n−l+1}} : Γ(p_{i}^{<l>}, O(l − 1)) ⟶ Γ(p_{i}^{<l>}, O(n))

est

λ_{l−1}(l − 1, n − l + 1) = \binom{n + N}{N + l − 1}^{−1/2} ∼_{n→∞} (N + l − 1)!^{1/2}.n^{− \frac{1}{2} (N+l−1)}.

Ainsi il existe c > 0 tel que pour n assez grand, tout élément t_{i} ∈ Γ(p_{i}^{<l>}, O(n)) s’écrive de façon unique t_{i} = s_{i}^{n−l+1}u_{i} avec u_{i} ∈ Γ(p_{i}^{<l>}, O(l − 1)), et que l’on ait

∥t_{i}∥ ⩾ c.n^{− \frac{1}{2} (N+l−1)}∥u_{i}∥.  (3.33)

Si l’on considère maintenant aussi t_{j} = s_{j}^{n−l+1}u_{j} ∈ Γ(p_{j}^{<l>}, O(n)), appliquant (3.32) et l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on trouve :

| < t_{i}, t_{j} >_{L^{2}} | = |∫_{ℙE} < t_{i}, t_{j} >(p) dμ(p)|
= |∫_{ℙE} < u_{i}, u_{j} >(p)(< s_{i}, s_{j} >(p))^{n−l+1}dμ(p)|
⩽ ∫_{ℙE} | < u_{i}, u_{j} >(p)|.η^{n−l+1}dμ(p)
⩽ ∥u_{i}∥_{L^{2}}.∥u_{j}∥_{L^{2}}.η^{n−l+1}.

Alors, pour tout choix de ε dans l’intervalle ]η, 1[, on a, grâce aux inégalités précédentes et si n est assez grand :

∥p_{Γ(p_{i}^{<l>},O(n))}|_{Γ(p_{j}^{<l>},O(n))}∥ = max_{\begin{matrix}t_{i}∈Γ(p_{i}^{<l>},O(n))∖\{0\} \\ t_{j}∈Γ(p_{j}^{<l>},O(n))∖\{0\} \end{matrix}} \frac{< t_{i}, t_{j} >}{∥t_{i}∥.∥t_{j}∥}

⩽ max_{\begin{matrix}u_{i}∈Γ(p_{i}^{<l>},O(l))∖\{0\} \\ u_{j}∈Γ(p_{j}^{<l>},O(l))∖\{0\} \end{matrix}} \frac{∥u_{i}∥.∥u_{j}∥.η^{n−l+1}}{∥u_{i}∥.∥u_{j}∥.c^{2}.n^{−(N+l−1)}}

⩽ ε^{n},

ce qu’il fallait démontrer. □

Lemme 3.18 Si i ≠ j, il existe un réel ε < 1 tel que, si n est assez grand, en considérant Γ(Σ_{i}, O(n)) et Γ(Σ_{j}, O(n)) comme des sous-espaces de A(n), la norme de la projection orthogonale de Γ(Σ_{j}, O(n)) sur Γ(Σ_{i}, O(n)) vérifie la majoration suivante :

∥p_{Γ(Σ_{i},O(n))}|_{Γ(Σ_{j},O(n))}∥ ⩽ ε^{n}.

Démonstration : Puisque les Γ(Σ_{k}, O(n)) sont des sous-espaces des Γ(p_{k}^{<l>}, O(n)), on a ∥p_{Γ(Σ_{i},O(n))}|_{Γ(Σ_{j},O(n))}∥ ⩽ ∥p_{Γ(p_{i}^{<l>},O(n))}|_{Γ(p_{j}^{<l>},O(n))}∥. On conclut alors en appliquant le lemme précédent. □

On est maintenant en mesure de démontrer la proposition. En posant H = Γ(Σ, O(n)) et H_{i} = Γ(Σ_{i}, O(n)), l’application ν_{n}^{∗} est égale à l’application

\begin{aligned}γ_{H_{1},...,H_{e}} : & H & ⟶ & H_{1} × ⋯ × H_{e} \\ & x & ⟼ & (p_{H_{1}}(x), …, p_{H_{e}}(x)) \end{aligned}

dont les composantes sont les projections orthogonales sur H_{1}, …, H_{e}. Compte tenu de la formule (A.25), on conclut en utilisant la majoration du lemme précédent dans le corollaire A.27.

4 Étude fine des hauteurs de matrices d’interpolation : interprétation géométrique du terme constant

4.1 Matrices d’interpolation et sous-schémas réduits

Soient K un corps de nombres d’anneau d’entiers O_{K}, l et N deux entiers naturels strictement positifs, \overline{E} un O_{K}-module hermitien localement libre de rang N +1, et (p_{1}, …, p_{l}) ∈ (E^{∨})^{l} = Hom_{O_{K}}(E, O_{K})^{l} une famille de l formes linéaires sur E deux à deux non proportionnelles (sur K). Pour tous i ∈ {1, …, l} et n > 0, le tenseur totalement symétrique p_{i}^{⊗n} ∈ (E^{∨})^{⊗n} = (E^{⊗n})^{∨} définit par passage au quotient une forme linéaire «d’évaluation» sur la n-ième puissance symétrique de E :

ev_{p_{i},n} : Sym^{n} E ⟶ O_{K}.  (4.1)

On note

A_{n} = (ev_{p_{1},n}, …, ev_{p_{l},n}) : Sym^{n} E ⟶ O_{K}^{l}  (4.2)

l’application dont les composantes sont les ev_{p_{i},n}, appelée application d’interpolation, qui est génériquement surjective pour n assez grand. Sous cette hypothèse, munissant Sym^{n} E de la structure hermitienne puissance symétrique de celle de E, et O_{K}^{l} de la structure hermitienne standard, on se propose d’étudier la hauteur h(⋀^{l} A_{n}), qui coïncide avec la «hauteur de matrice d’interpolation» définie dans [8] dans le cas particulier où \overline{E} = \overline{O_{K}}^{N+1} est le O_{K}-module hermitien standard de rang N + 1 (ou plutôt son dual).

Le noyau H_{i} de chacune des formes p_{i} est un hyperplan de E donc définit un élément de ℙE(O_{K}), qu’on notera P_{i}. On notera Σ le sous-schéma fermé de ℙE réunion des P_{i} (Σ est donc un sous-schéma réduit fini et plat de longueur l sur Spec O_{K}) et [Σ] le cycle associé, c’est-à-dire la somme formelle des P_{i}.

Le résultat principal de [8] est l’obtention pour cette hauteur de matrice d’interpolation d’un développement asymptotique lorsque n tend vers l’infini de la forme

h(⋀^{l} A_{n}) =_{n→∞} an + c + o(1),  (4.3)

où a = h([Σ]) est la hauteur du cycle introduit précédemment et c est une constante non déterminée, notée χ(O_{Σ}) par analogie avec le théorème de Hilbert-Samuel «classique» pour les courbes algébriques. Une question posée dans [8] est celle de l’interprétation de cette constante en fonction de la ramification de Σ sur Spec O_{K}, notamment en fonction du faisceau des différentielles relatives Ω_{Σ/ Spec O_{K}}. Dans ce paragraphe, on se propose, pour commencer, de relier ces hauteurs d’applications d’interpolation à la fonction de Hilbert-Samuel arithmétique du sous-schéma Σ ; l’interprétation souhaitée de ce terme constant χ(O_{Σ}) sera donnée dans la suite du texte.

Proposition 4.1 Sous les hypothèses précédentes, on a, pour tout n assez grand :

h(⋀^{l} A_{n}) = h(Σ; n) − \frac{l}{2} log \binom{n + N}{N}.

Démonstration : Notons \overline{E}_{n} le O_{K}-module hermitien Γ(ℙE, O(n)) muni des normes L^{2} et \overline{G} le O_{K}-module hermitien (O_{K})^{l} muni des normes standard. Notons J_{n} le noyau de l’application de restriction restr_{n} : Γ(ℙE, O(n)) ⟶ Γ(Σ, O(n)|_{Σ}), de sorte qu’on ait J_{n} = φ^{−1}(I_{n}) où φ est l’isomorphisme naturel de O_{K}-modules

φ : E_{n} ⟶^{∼} Sym^{n} E

et I_{n} le noyau de A_{n}. Supposant n assez grand, on obtient après passage au quotient un isomorphisme de K-espaces vectoriels

Ã_{n,K} : (Sym^{n} E/I_{n})_{K} ⟶^{∼} G_{K}

d’où par (2.8) on déduit l’égalité

d̂eg \overline{Sym^{n} E/I_{n}} = h(⋀^{max} Ã_{n}) + d̂eg \overline{G}
= h(⋀^{max} Ã_{n}) = h(⋀^{l} A_{n}).

(4.4)

Par ailleurs, on a par définition de la fonction de Hilbert-Samuel arithmétique

d̂eg \overline{E_{n}/J_{n}} = h(Σ; n).  (4.5)

De (4.4) et (4.5) on déduit (à nouveau par (2.8)) l’égalité

h(⋀^{max} Ã_{n}) = h(Σ; n) − h(⋀^{max} φ̃)

où φ̃ : E_{n}/J_{n} ⟶^{∼} Sym^{n} E/I_{n} est l’isomorphisme entre O_{K}-modules hermitiens localement libres de rang l déduit de φ par passage au quotient. Or, pour tout plongement σ : K ↪ ℂ, le lemme 3.2 indique que φ_{σ} est une similitude de rapport \binom{n+N}{N}^{1/2}. Il en est donc de même pour φ̃_{σ}, et ceci termine la démonstration de la proposition. □

Corollaire 4.2 Notons

ν : Σ̃ ⟶ Σ

le morphisme de normalisation de Σ. Alors le terme constant du développement asymptotique des hauteurs de Σ vaut

χ(O_{Σ}) = − log ramif(Σ) = −\frac{1}{[K : ℚ]} log # Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ}).  (4.6)

Démonstration : On applique le théorème 3.13 à Σ. Avec les notations du théorème, les P_{i} étant définis sur O_{K}, on a bien log ramif(Σ) = \frac{1}{[K:ℚ]} log # Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ}). D’autre part, pour tout i ∈ \{1, …, l\}, la composante \overline{Σ_{p_{i}}} se réduit au point P_{i} de sorte que le cône tangent C_{P_{i}} \overline{Σ_{p_{i}}} s’identifie à Spec O_{K} et est muni des métriques triviales ; en particulier, on a h(CΣ) = 0, r_{0,i} = 1 et r_{t,i} = 0 si t ⩾ 1. On trouve donc

h(Σ; n) =_{n→∞} nh([Σ]) + \frac{l}{2} log \binom{n + N}{N} − \frac{1}{[K : ℚ]} log #Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ}) + o(1)

et on conclut en appliquant la proposition 4.1. □

4.2 Discriminants

Pour la suite, on rappelle quelques notions sur les réseaux et les discriminants, d’après [12], chapitres I et III.

Soit R un anneau de Dedekind de corps de fractions K. On note χ_{R} l’isomorphisme du groupe de Grothendieck des R-modules de longueur finie sur le groupe des idéaux fractionnaires de R vérifiant χ_{R}(R/𝔭) = 𝔭 pour tout idéal maximal 𝔭.

Si V est un K-espace vectoriel de dimension n et si X et X′ sont deux réseaux^{2} de V, on note (X : X′) l’élément du groupe de Grothendieck des R-modules de longueur finie différence des classes de (X + X′)/X′ et (X + X′)/X. En particulier, si X′ est inclus dans X, (X : X′) est la classe de X/X′. Au moyen de la théorie des diviseurs élémentaires, on montre que si u est un K-automorphisme de V, on a

χ_{R}(X : uX) = (det u).  (4.7)

Supposons maintenant que V est muni d’une forme K-bilinéaire non dégénérée T. La forme T définit un isomorphisme K-linéaire de V sur son dual, d’où l’on déduit par (A.5) un isomorphisme de ⋀^{n} V sur son dual, ou, ce qui revient au même, un isomorphisme entre K-espaces vectoriels de dimension un ⋀^{n} V ⊗_{K} ⋀^{n} V ⟶^{∼} K. Si X est un réseau de V, le discriminant

𝔡_{R}(X, T)

de X par rapport à T est par définition l’idéal fractionnaire de K image de ⋀^{n} X ⊗_{R} ⋀^{n} X par cet isomorphisme. Rappelons quelques propriétés élémentaires :

Lemme 4.3 Avec les notations qui précèdent :

i. Si X est libre de base (e_{1}, …, e_{n}), on a 𝔡_{R}(X, T) = (det_{1⩽i,j⩽n} T (e_{i}, e_{j})).

ii. Si X^{∨} est l’ensemble des y ∈ V tels que pour tout x ∈ X on ait T (x, y) ∈ R, alors

𝔡_{R}(X, T) = χ_{R}(X^{∨} : X). iii. Si X et X′ sont deux réseaux de V, on a 𝔡_{R}(X′, T) = χ_{R}(X : X′)^{2}𝔡_{R}(X, T). iv. Si T_{1} et T_{2} sont deux formes K-bilinéaires non dégénérées sur V, il existe un unique

automorphisme K-linéaire t de V tel que pour tous x et y dans V on ait T_{2}(x, y) = T_{1}(tx, y), et alors pour tout réseau X de V on a 𝔡_{R}(X, T_{2}) = (det t)𝔡_{R}(X, T_{1}).

Démonstration : Les points i, ii et iii ne sont autres que les propositions 3, 4 et 5 de [12] ch. III, tandis que iv est une conséquence directe de ii et de (4.7). □

Soit A une K-algèbre (commutative) de dimension finie. On appelle ordre (ou R-ordre) de A un sous-R-anneau de A qui est un réseau de A. On dira que A est séparable si la forme K-bilinéaire «trace»

\begin{matrix}A × A & ⟶ & K \\ (x, y) & ↦ & tr_{A/K}(xy) \end{matrix}  (4.8)

2un réseau de V est un sous-R-module localement libre de type fini de V qui l’engendre en tant que K-espace vextoriel.

est non-dégénérée. Si K est de caractéristique nulle, cela équivaut à dire que A est réduite. Sous cette hypothèse, si O est un ordre de A, on appelle discriminant de O, noté

𝔡_{O/R},

l’idéal de R discriminant du réseau O de A relativement à la forme trace (4.8). On vérifie aisément que cette construction est compatible au changement de base : si K′ est une extension séparable finie de K et R′ la fermeture intégrale de R dans K′, ou bien si R′ est un localisé de R, alors

𝔡_{O⊗_{R}R′/R′} = 𝔡_{O/R}R′.  (4.9)

Notons désormais S = Spec R, et soit Σ un schéma fini et plat de longueur l sur S. On suppose que Σ est réunion schématique de sous-schémas fermés P_{i} (1 ⩽ i ⩽ l) qui sont des sections de S deux à deux distinctes. Notons Σ̃ le schéma réunion disjointe des P_{i} et ν : Σ̃ ⟶ Σ le morphisme naturel. Notons A la K-algèbre séparable

A = Γ(Σ, O_{Σ})_{K} = Γ(Σ̃, OΣ̃)_{K}.

On dispose de deux ordres de A :

O = Γ(Σ, O_{Σ})
Õ = Γ(Σ̃, OΣ̃) = Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃).

Proposition 4.4 Sous ces hypothèses, on a

𝔡_{O/R} = χ_{R}(Õ : O)^{2}.

Démonstration : Puisque Σ̃ est réunion disjointe de copies de Spec R, Õ s’identifie à la R-algèbre R^{l}, de R-base canonique (ε_{1}, …, ε_{l}) formée d’idempotents de rang 1. Ceci implique

𝔡_{Õ/R} = ( det_{1⩽i,j⩽l} tr(ε_{i}ε_{j})) = ( det_{1⩽i,j⩽l} δ_{ij}) = (1)

et la proposition découle du lemme 4.3.iii. □

Corollaire 4.5 Sous les mêmes hypothèses, ce discriminant peut se calculer localement sur Σ : pour tout 𝔭 ∈ Spm R,

𝔡_{O/R}R_{𝔭} = ∏_{\begin{matrix}𝔮∈Spm O \\ 𝔮|𝔭 \end{matrix}} 𝔡_{O_{𝔮}/R_{𝔭}}.

Démonstration : Cela vient du fait que l’affirmation analogue est trivialement vraie pour χ_{R}(Õ : O)^{2} (on remarquera que, avec les notations du corollaire, le normalisé de Σ_{𝔮} est le sous-schéma (ouvert et fermé) de (Σ̃)_{𝔭} formé des seules composantes passant par 𝔮).

□

Dans le cas particulier où K est un corps de nombres et où R = O_{K} est l’anneau des entiers de K, on dispose naturellement d’une application norme, notée N, définie sur le groupe des idéaux fractionnaires de K et à valeurs dans ℚ_{+}^{∗}. Si M est un R-module de longueur finie, alors M est de cardinal fini, et on a

#M = N(χ_{R}(M)).  (4.10)

Définition 4.6 Sous ces hypothèses, soit A une K-algèbre finie séparable et O un ordre de A. On définit le discriminant normalisé de O comme le réel

discr(O) = N(𝔡_{O/R})^{\frac{1}{[K:ℚ]}}.

Le discriminant normalisé reste invariant lors du changement de base de R à sa fermeture intégrale dans une extension finie de K.

Théorème 4.7 Soient \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien de rang N +1 et Σ un sous-schéma réduit de ℙE plat de dimension relative zéro sur Spec O_{K}. Alors on a

χ(O_{Σ}) = −\frac{1}{2} log discr Γ(Σ, O_{Σ}),

de sorte que

h(Σ; n) =_{n→∞} n.h([Σ]) + \frac{lg Σ}{2} log \binom{n + N}{N} − \frac{1}{2} log discr Γ(Σ, O_{Σ}) + o(1).

Démonstration : C’est une conséquence immédiate du corollaire 4.2, de la proposition 4.4 et de la formule (4.10). □

4.3 Le cas localement intersection complète

Sous les hypothèses du théorème 4.7, si l’on suppose en outre que Σ est localement intersection complète. il est possible, au moyen de la théorie des résidus et de la dualité de Grothendieck (cf. [6] et [2]), d’exprimer la valeur de la constante χ(O_{Σ}) en fonction du module des différentielles relatives de Σ sur S. Pour ce faire, on commence par démontrer un résultat local.

Soit R un anneau de valuation discrète d’idéal maximal 𝔪, de corps des fractions K et de corps résiduel k. Notons v la valuation normalisée de R et ϖ une uniformisante.

Posons S = Spec R, et soit Σ un schéma fini et plat de longueur l sur S. On suppose que Σ est local, est intersection complète, et est réunion schématique de sous-schémas fermés P_{i} (1 ⩽ i ⩽ l) qui sont des sections de S deux à deux distinctes (ceci implique notamment que les anneaux locaux R et O = Γ(Σ, O_{Σ}) ont même corps résiduel). Alors :

Proposition 4.8 Sous ces hypothèses, on a

χ_{R}(Ω_{O/R}^{1}) = 𝔡_{O/R}.

Démonstration : Puisque Σ est local et intersection complète, en relevant un système minimal de générateurs de l’idéal maximal de O on peut supposer que Σ est le sous-schéma de l’espace affine 𝔸_{S}^{n} = Spec R[x_{1}, …, x_{n}] défini par un idéal I ⊂ (ϖ, x_{1}, …, x_{n})^{2} engendré par une suite régulière (f_{1}, …, f_{n}). On dispose de la suite exacte conormale associée à l’immersion Σ ↪ 𝔸_{S}^{n} :

I/I^{2} ⟶^{δ} (Ω_{R[\underline{x}]/R}^{1})_{O} ⟶ Ω_{O/R}^{1} ⟶ 0,

où l’on a noté R[\underline{x}] = R[x_{1}, …, x_{n}] et, pour tout R[\underline{x}]-module M, M_{O} = M ⊗_{R[\underline{x}]} O = M/IM.

Par hypothèse, I/I^{2} est un O-module libre de rang n, de base formée des classes résiduelles \overline{f_{1}}, …, \overline{f_{n}} de f_{1}, …, f_{n}. En outre, (Ω_{R[\underline{x}]/R}^{1})_{O} est aussi un O-module libre de rang n, de base dx_{1}, …, dx_{n}. Dans ces bases, δ est l’application linéaire de matrice (∂f_{j}/∂x_{i})_{1⩽i,j⩽n}. Remarquons en particulier que δ est une application O-linéaire entre O-modules libres de même rang, donc, puisque par hypothèse O est un R-module libre de rang l, δ est aussi une application R-linéaire entre R-modules libres de même rang ; puisque son conoyau est de torsion, δ est injective.

Par un résultat bien connu (cf. [3], lemme A.2.6, appliqué pour l’anneau O), on a

lg_{O}(coker δ) = lg_{O}(coker ⋀_{O}^{n} δ).  (4.11)

Puisque R est de valuation discrète et que R et O ont même corps résiduel, un O-module M est de longueur finie si et seulement si il est de longueur finie en tant que R-module, et alors sa longueur sur R est égale à sa longueur sur O; on a alors χ_{R}(M) = 𝔪^{lg M}. Ainsi, en posant Ω_{R[\underline{x}]/R}^{n} = ⋀_{R[\underline{x}]}^{n} Ω_{R[\underline{x}]/R}^{1} et

ω = Hom_{O}(⋀_{O}^{n} I/I^{2}, (Ω_{R[\underline{x}]/R}^{n})_{O}),

l’égalité (4.11) devient :

χ_{R}(Ω_{O/R}^{1}) = χ_{R}(ω/Oβ)  (4.12)

où β = ⋀_{O}^{n} δ ∈ ω.

Par [6] chapitre III §9 et proposition 8.2, ω est un module dualisant pour O sur R, et on a un isomorphisme de dualité

φ : ω = Hom_{O}(O, ω) ⟶^{∼} Hom_{R}(O, R).

Le R-module Hom_{R}(O, R) est naturellement muni d’une structure de O-module de la façon suivante : si f ∈ Hom_{R}(O, R) et x ∈ O, on définit xf ∈ Hom_{R}(O, R) par la formule (xf)(y) = f(xy) pour tout y ∈ O. La fonctorialité de la dualité de Grothendieck implique que l’isomorphisme φ est compatible à cette structure de O-module, i.e. que φ est un isomorphisme de O-modules. Remarquons que ω est un O-module libre de rang un ; un générateur de ω est donné par l’élément α de ω = Hom_{O}(⋀_{O}^{n} I/I^{2}, (Ω_{R[\underline{x}]/R}^{n})_{O}) qui envoie le générateur \overline{f_{1}} ∧ ⋯ ∧ \overline{f_{n}} de ⋀_{O}^{n} I/I^{2} sur le générateur dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} de (Ω_{R[\underline{x}]/R}^{n})_{O}. Alors Hom_{R}(O, R) = φ(ω) est aussi un O-module libre de rang un, engendré par φ(α).

Par définition, β = ⋀_{O}^{n} δ est l’élément de ω = Hom_{O}(⋀_{O}^{n} I/I^{2}, (Ω_{R[\underline{x}]/R}^{n})_{O}) qui envoie le générateur \overline{f_{1}} ∧ ⋯ ∧ \overline{f_{n}} de ⋀_{O}^{n} I/I^{2} sur l’élément df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{n} de (Ω_{R[\underline{x}]/R}^{n})_{O}). On a donc

β = tα  (4.13)

avec t = det_{1⩽i,j⩽n} ∂f_{j}/∂x_{i} ∈ O, de sorte que

χ_{R}(ω/Oβ) = χ_{R}(Oα/Oβ) = χ_{R}(O/tO),  (4.14)

Pour conclure, on aura besoin de la propriété (R6) des résidus, énoncée dans [6] chapitre III §9 (et dont on pourra trouver une preuve dans [2] appendice A, reposant sur des calculs dûs à Tate et publiés dans [9], appendice), qui caractérise l’image de β par l’isomorphisme de dualité :

Théorème 4.9 (propriété (R6) des résidus) Avec ces notations, l’image de l’élément β = ⋀_{O}^{n} δ de ω par l’isomorphisme de dualité φ est l’application trace de O sur R.

Ainsi, par O-linéarité de φ et par (4.13), on déduit du théorème que tr_{O/R} = φ(β) = tφ(α), i.e. pour tout x ∈ O

tr_{O/R}(x) = (φ(α))(tx).  (4.15)

On définit une forme K-bilinéaire T_{1} sur O ⊗_{R} K par la formule

T_{1}(x, y) = (φ(α))_{K}(xy)

pour x, y ∈ O ⊗_{R} K. Dire que φ(α) est un générateur du O-module Hom_{R}(O, R) signifie que le morphisme de O-modules

\begin{matrix}O & ⟶ & Hom_{R}(O, R) \\ x & ↦ & xφ(α) = (φ(α))(x .) \end{matrix}

est un isomorphisme, ou encore, que O, considéré comme un R-réseau de O ⊗_{R} K, est auto-dual pour T_{1}, de sorte que par le lemme 4.3.ii

𝔡_{R}(O, T_{1}) = (1).

Par abus de notation, notons encore t l’endomorphisme K-linéaire de multiplication par t dans le K-espace vectoriel O ⊗_{R} K, et soit T_{2} la forme bilinéaire trace sur O ⊗_{R} K. Alors, par (4.15), on a T_{2}(x, y) = (φ(α))_{K}(txy) = T_{1}(tx, y) pour tous x et y dans O ⊗_{R} K, et du lemme 4.3.iv et de (4.7) on déduit

𝔡_{O/R} = 𝔡_{R}(O, T_{2}) = (det_{K} t) = χ_{R}(O/tO).

La proposition découle alors de cette dernière égalité et de (4.12) et (4.14). □

Corollaire 4.10 Soient R un anneau de Dedekind et O un anneau séparable, fini et plat sur R. On suppose que O est localement intersection complète. Alors on a

χ_{R}(Ω_{O/R}^{1}) = 𝔡_{O/R}.

Démonstration : Quitte à faire une extension séparable finie de la base, on peut supposer que Σ = Spec O est est réunion de sections P_{1}, …, P_{l} de S = Spec R. Puisque Ω_{O/R}^{1} peut se calculer localement sur Σ et puisque, par le corollaire 4.5, il en est de même de 𝔡_{O/R}, on peut supposer R et O locaux. On s’est ainsi ramené à la proposition précédente.

□

Corollaire 4.11 Soient K un corps de nombres, \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel hermitien de rang N + 1 et Σ un sous-schéma de ℙE plat de dimension relative zéro sur Spec O_{K}. Supposons Σ réduit et localement intersection complète. Alors on a

h(Σ; n) =_{n→∞} n.h([Σ]) + \frac{lg Σ}{2} log \binom{n + N}{N} − \frac{1}{2.[K : ℚ]} log # Ω_{Γ(Σ,O_{Σ})/O_{K}}^{1} + o(1).

Démonstration : Cela résulte du corollaire précédent et du théorème 4.7. □

5 Étude fine des hauteurs de matrices d’interpolation : contrôle du terme d’erreur

5.1 Expression du terme d’erreur en somme de termes locaux

Soient \overline{E} un O_{K}-module hermitien localement libre de rang N + 1 et Σ un sous-schéma réduit de ℙE fini et plat de longueur l sur Spec O_{K}. On se propose à partir d’ici d’étudier le terme d’erreur e(n) du développement asymptotique de la fonction de Hilbert-Samuel arithmétique

h(Σ; n) = nh([Σ]) + \frac{l}{2} log \binom{n + N}{N} + χ(O_{Σ}) + e(n).  (5.1)

Commençons par indiquer quelques réductions et notations. Par invariance de la fonction de Hilbert-Samuel arithmétique par extension de la base, on peut supposer que les points génériques de Σ sont tous définis sur K, de sorte que Σ est réunion schématique de points P_{1}, …, P_{l} de ℙE(O_{K}). On note ℑ_{Σ} le faisceau d’idéaux de ℙE définissant le sous-schéma Σ.

Comme précédemment on note

ν : Σ̃ ⟶ Σ  (5.2)

le morphisme de normalisation. Ainsi le schéma Σ̃ est réunion disjointe de l copies de Spec O_{K}, chacune s’envoyant isomorphiquement par ν sur l’un des P_{i}. Par abus de langage, on dira que Σ̃ est la réunion disjointe (abstraite) des P_{i}; on prendra garde qu’en général cet objet n’est pas un sous-schéma de ℙE.

Le faisceau en droites universel O(1) sur ℙE étant ample, pour tout entier n assez grand on aura

H^{1}(ℙE, ℑ_{Σ}(n)) = 0,  (5.3)

Notons N_{1} le plus petit entier tel que (5.3) soit vérifiée pour tout n ⩾ N_{1}. De la même façon, par compatibilité de la cohomologie au changement de base plat, on peut définir un entier N_{0} comme le plus petit entier tel qu’on ait

H^{1}(ℙE, ℑ_{Σ}(n))_{K} = H^{1}(ℙ_{E,K}, ℑ_{Σ_{K}}(n)) = 0  (5.4)

pour tout n ⩾ N_{0}. Ainsi on a clairement N_{0} ⩽ N_{1}.

Pour tous i, j ∈ {1, …, l} et pour tout plongement σ : K ↪ ℂ on note

cos_{σ}(P_{i}, P_{j}) ∈ [0, 1]  (5.5)

le cosinus de l’angle formé par les hyperplans de E_{σ} définis par P_{i} et P_{j}. Explicitement, si p_{i} et p_{j} sont des formes linéaires sur E_{σ} définissant ces hyperplans, on a

cos_{σ}(P_{i}, P_{j}) = \frac{| < p_{i}, p_{j} > |}{∥p_{i}∥.∥p_{j}∥}.  (5.6)

Par construction on a cos_{σ}(p_{i}, p_{j}) = 1 si et seulement si i = j.

Enfin on aura à considérer la situation où la base est un schéma noethérien affine S quelconque. Dans cette situation, on supposera à nouveau que E est un fibré vectoriel de rang N + 1 sur S et que Σ est un sous-schéma fermé de ℙE réunion de l points de ℙE(S). Pour tout n ⩾ 0 on déduit de la suite exacte longue de cohomologie une suite exacte courte

0 ⟶ Γ(ℙE, O(n))/Γ(ℙE, ℑ_{Σ}(n)) ⟶^{i_{n}} Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) ⟶ H^{1}(ℙE, ℑ_{Σ}(n)) ⟶ 0. (5.7)

D’autre part, en relevant par le morphisme de normalisation les sections de O(n) de Σ à Σ̃, on dispose d’un morphisme injectif

ν_{n}^{∗} : Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) ⟶ Γ(Σ̃, ν^{∗}(O(n)|_{Σ})).  (5.8)

De l’injectivité des applications i_{n} et ν_{n}^{∗} et de la suite exacte à six termes décrivant les noyau et conoyau d’une application composée (cf. la preuve de [3], lemme A.2.5), on déduit la suite exacte courte

0 ⟶ H^{1}(ℙE, ℑ_{Σ}(n)) ⟶ coker(ν_{n}^{∗} ∘ i_{n}) ⟶ coker ν_{n}^{∗} ⟶ 0.  (5.9)

Proposition 5.1 Avec les notations introduites au début du paragraphe, pour n ⩾ N_{0}, le terme d’erreur e(n) défini en (5.1) admet une décomposition en somme de termes locaux négatifs presque tous nuls

e(n) = \frac{1}{[K : ℚ]} ( ∑_{𝔭∈Spm O_{K}} ε_{𝔭}(n) + ∑_{σ:K↪ℂ}ε_{σ}(n))  (5.10)

avec

ε_{𝔭}(n) = − log #H^{1}(ℙE, ℑ_{Σ}(n))_{𝔭}  (5.11)

et

ε_{σ}(n) = \frac{1}{2} log det_{1⩽i,j⩽l}(cos_{σ}(P_{i}, P_{j}))^{n}.  (5.12)

Démonstration : Pour n ⩾ N_{0} l’application i_{n} définie en (5.7) est génériquement bijective, de sorte qu’on peut munir Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) des métriques quotient des métriques L^{2} sur Γ(ℙE, O(n)), et Γ(Σ̃, ν^{∗}(O(n)|_{Σ})) = ⨁_{i} Γ(P_{i}, O(n)|_{P_{i}}) des métriques produit des métriques quotient sur chaque composante. On a alors par construction

h(Σ; n) = d̂eg \overline{Γ(ℙE, O(n))/Γ(ℙE, ℑ_{Σ}(n))}
= d̂eg \overline{Γ(Σ̃, ν^{∗}(O(n)|_{Σ}))} + h(det(ν_{n}^{∗} ∘ i_{n}))

(5.13)

avec

d̂eg \overline{Γ(Σ̃, ν^{∗}(O(n)|_{Σ}))} = ∑_{i} h(P_{i}; n) = nh([Σ]) + \frac{l}{2} log \binom{n + N}{N}  (5.14)

et

h(det(ν_{n}^{∗} ∘ i_{n}) = \frac{1}{[K : ℚ]}(− log # coker(ν_{n}^{∗} ∘ i_{n}) + ∑_{σ} log ∥ det(ν_{n}^{∗} ∘ i_{n})∥_{σ}).  (5.15)

Par (5.9) et par le corollaire 4.2 on a

− log # coker(ν_{n}^{∗} ∘ i_{n}) = − log #H^{1}(ℙ, ℑ_{Σ}(n)) − log # coker ν_{n}^{∗}

= − log #H^{1}(ℙ, ℑ_{Σ}(n)) + [K : ℚ]χ(O_{Σ}), (5.16)

ce qui rend compte de (5.11).

Enfin, pour tout plongement σ : K ↪ ℂ, puisque par construction les normes sur Γ(Σ, O(n)|_{Σ}) sont celles induites par i_{n}, on a

∥ det(ν_{n}^{∗} ∘ i_{n})∥_{σ} = ∥ det ν_{n}^{∗}∥_{σ} = ∥ det^{t}ν_{n}^{∗}∥_{σ},  (5.17)

où

tν_{n}^{∗} : Γ(Σ̃, ν^{∗}(O(n)|_{Σ}))^{∨} = ⨁_{1⩽i⩽l} Γ(P_{i}, O(n)|_{P_{i}})^{∨} ⟶ Γ(Σ, O(n)|_{Σ})^{∨}  (5.18)

est l’application transposée de ν_{n}^{∗}.

Chacun des espaces hermitiens Γ(P_{i}, O(n)|_{P_{i}})_{σ}^{∨} et Γ(Σ, O(n))_{σ}^{∨} s’identifie à un sousespace de Γ(ℙE, O(n))_{σ}^{∨}, qui est homothétique à (Sym^{n} E)_{σ}^{∨}, ce dernier étant lui-même un sous-espace de (E^{⊗n})_{σ}^{∨}. Ainsi, ayant choisi pour tout i une forme linéaire p_{i} ∈ E^{∨} représentant P_{i}, on peut munir Γ(Σ̃, ν^{∗}(O(n)|_{Σ}))_{σ}^{∨} d’une base unitaire en prenant dans chaque composante Γ(P_{i}, O(n)|_{P_{i}})_{σ}^{∨} le générateur de norme un p_{i}^{⊗n}/∥p_{i}^{⊗n}∥_{σ}. Au moyen de cette base on trouve

∥ det^{t}ν_{n}^{∗}∥_{σ} = | det_{1⩽i,j⩽l}(< p_{i}^{⊗n}, p_{j}^{⊗n} >_{σ} /∥p_{i}^{⊗n}∥_{σ}∥p_{j}^{⊗n}∥_{σ})|^{1/2}

= | det_{1⩽i,j⩽l}(< p_{i}, p_{j} >_{σ} /∥p_{i}∥_{σ}∥p_{j}∥_{σ})^{n}|^{1/2}

ce qui donne bien (5.12). □

5.2 Monotonie des termes d’erreur locaux

On se propose ici d’établir la proposition suivante, qui établit la décroissance en valeur absolue des termes d’erreur locaux (négatifs) introduits dans la proposition 5.1 :

Proposition 5.2 Soient n ⩾ N_{0} un entier et v un élément de Spm O_{K} ou un plongement de K dans ℂ. Alors on a

ε_{v}(n + 1) ⩾ ε_{v}(n),  (5.19)

et même

ε_{v}(n + 1) > ε_{v}(n)  (5.20)

sous l’hypothèse supplémentaire que ε_{v}(n) soit non nul.

La démonstration de la proposition sera donnée dans les deux paragraphes suivants, selon que l’on considère la situation aux places finies ou infinies. Toutefois, signalons d’abord un corollaire immédiat :

Corollaire 5.3 Sous les hypothèses de la proposition 5.1, pour n ⩾ N_{0}, le terme d’erreur e(n) de la formule de Hilbert-Samuel arithmétique

h(Σ; n) = nh([Σ]) + \frac{l}{2} log \binom{n + N}{N} + χ(O_{Σ}) + e(n)

est négatif et tend vers 0 de manière croissante avec n. Plus précisément, pour n′ ⩾ n ⩾ N_{0}, on a e(n) ⩽ e(n′) ⩽ 0, et même e(n) < e(n′) si e(n) n’est pas nul.

5.2.1 Un résultat de décroissance de la cohomologie

Supposons ici que v = 𝔭 est un élément de Spm O_{K} et notons R l’anneau local O_{K,𝔭}. Tout R-module localement libre de type fini étant libre, on ne perdra pas de généralité dans la preuve de la proposition 5.2 en supposant que ℙE est l’espace projectif standard ℙ^{N} sur R. Fixons aussi pour chaque composante P_{i} de Σ des coordonnées homogènes \underline{x}_{i} = (x_{i0} : …: x_{iN}) engendrant l’idéal unité de R ou, ce qui revient au même, des trivialisations des R-modules libres de rang un Γ(P_{i}, O(n)|_{P_{i}}). Notons

\begin{aligned}A_{n} : & R[X_{0}, …, X_{N}]_{n} = Γ(ℙ^{N}, O(n)) & ⟶ & Γ(Σ̃, ν^{∗}(O(n)|_{Σ})) = ⨁_{i} Γ(P_{i}, O(n)|_{P_{i}}) = R^{l} \\ & P (\underline{X}) & ⟼ & (P (\underline{x}_{1}), …, P (\underline{x}_{l})) \end{aligned} (5.21)

l’application d’interpolation correspondante.

Compte tenu de (5.11), il s’agit de montrer que si n est un entier tel que le R-module H^{1}(ℙ^{N}, ℑ_{Σ}(n)) soit de longueur finie, alors H^{1}(ℙ^{N}, ℑ_{Σ}(n + 1)) est nul ou de longueur strictement inférieure :

lg H^{1}(ℙ^{N}, ℑ_{Σ}(n + 1)) < lg H^{1}(ℙ^{N}, ℑ_{Σ}(n)).  (5.22)

Par (5.9) (et avec les notations correspondantes) on a

lg H^{1}(ℙ^{N}, ℑ_{Σ}(n)) = lg coker(ν_{n}^{∗} ∘ i_{n}) − lg coker(ν_{n}^{∗})  (5.23)

avec par construction

coker(ν_{n}^{∗} ∘ i_{n}) = coker(A_{n}).  (5.24)

Puisque par (3.25) la longueur du conoyau de ν_{n}^{∗} ne dépend pas de n, il ne reste plus qu’à montrer le résultat qui suit :

Proposition 5.4 Soient R un anneau local, x_{ij} (1 ⩽ i ⩽ l, 0 ⩽ j ⩽ N) des éléments de R tels que pour tout i la famille \underline{x}_{i} = (x_{ij})_{0⩽j⩽N} engendre l’idéal unité, et n un entier tel que le conoyau de l’application d’interpolation A_{n} définie par (5.21) soit de longueur finie. On a alors

lg coker A_{n+1} ⩽ lg coker A_{n}.  (5.25)

Si en outre on a égalité au cran précédent :

lg coker A_{n} = lg coker A_{n−1},  (5.26)

on aura alors aussi

lg coker A_{n+1} = lg coker A_{n}.  (5.27)

Démonstration : Notons K_{i,n} le sous-R-module de R[X_{0}, …, X_{N}]_{n} formé des polynômes s’annulant en \underline{x}_{1}, …, \underline{x}_{i−1}, de sorte qu’on ait

R[X_{0}, …, X_{N}]_{n} = K_{1,n} ⊃ K_{2,n} ⊃ ⋯ ⊃ K_{l+1,n} = ker A_{n}.  (5.28)

Autrement dit, les K_{i,n} forment la filtration image inverse par A_{n} de la filtration naturelle sur R^{l}. Exprimant la longueur du conoyau de A_{n} comme somme des longueurs de ses gradués relativement à la filtration trace de cette dernière, on trouve

lg coker A_{n} = lg R/J_{1,n} + ⋯ + lg R/J_{l,n}  (5.29)

où J_{i,n} est l’idéal de R formé des valeurs en \underline{x}_{i} des éléments de K_{i,n}.

Par construction, pour tout i et pour tout polynôme η ∈ R[X_{0}, …, X_{N}]_{1} homogène de degré 1, on a

ηK_{i,n} ⊂ K_{i,n+1}.  (5.30)

Les hypothèses faites sur les \underline{x}_{i} impliquent notamment l’existence de η_{i} ∈ R[X_{0}, …, X_{N}]_{1} vérifiant η_{i}(\underline{x}_{i}) = 1. Évaluant en \underline{x}_{i} l’inclusion (5.30) avec η = η_{i} on trouve

J_{i,n} ⊂ J_{i,n+1}  (5.31)

ce qui, compte tenu de (5.29), prouve (5.25).

Plaçons-nous maintenant sous l’hypothèse (5.26). Compte tenu de (5.29) et (5.31), ceci signifie qu’on a pour tout i l’égalité

J_{i,n} = J_{i,n−1}.  (5.32)

Il s’agit alors de montrer que pour tout i on a

J_{i,n+1} = J_{i,n}.  (5.33)

On va décomposer la preuve en plusieurs étapes.

Fait 1 : sous les hypothèses qui précèdent, pour tout i, tout élément P de K_{i,n} s’écrit

P = η_{i}κ_{i} + η_{i+1}κ_{i+1} + ⋯ + η_{l}κ_{l} + ρ  (5.34)

avec κ_{j} ∈ K_{j,n−1} pour tout j et ρ ∈ K_{l+1,n}. La preuve procède par récurrence descendante sur i, le cas i = l + 1 étant trivial. Si donc le résultat est vrai pour i + 1 et si on se donne P ∈ K_{i,n}, on a P (\underline{x}_{i}) ∈ J_{i,n} = J_{i,n−1} par hypothèse, de sorte qu’il existe κ_{i} ∈ K_{i,n−1} vérifiant κ_{i}(\underline{x}_{i}) = P (\underline{x}_{i}). Ainsi on a P − η_{i}κ_{i} ∈ K_{i+1,n} et on conclut en appliquant l’hypothèse de récurrence à ce dernier polynôme.

Fait 2 : sous les mêmes hypothèses, tout élément Q de R[X_{0}, …, X_{N}]_{n+1} s’écrit

Q = η_{1}μ_{1} + η_{2}μ_{2} + ⋯ + η_{l}μ_{l} + τ  (5.35)

avec μ_{j} ∈ K_{j,n} pour tout j et τ ∈ K_{l+1,n+1}. Par linéarité, il suffit de prouver ce résultat lorsque Q est un monôme. Supposons donc Q = X_{0}^{k_{0}}X_{1}^{k_{1}} … X_{N}^{k_{N}} avec par exemple k_{0} > 0. On peut alors écrire Q = X_{0}P avec P = X_{0}^{k_{0}−1}X_{1}^{k_{1}} … X_{N}^{k_{N}}. Appliquant à P le fait 1 (avec i = 1) on obtient la décomposition P = η_{1}κ_{1} + η_{2}κ_{2} + ⋯ + η_{l}κ_{l} + ρ et on conclut en posant μ_{j} = X_{0}κ_{j} et τ = X_{0}ρ.

Fait 3 : sous les mêmes hypothèses, pour tout i, tout élément Q de K_{i,n+1} s’écrit

Q = η_{i}μ_{i} + η_{i+1}μ_{i+1} + ⋯ + η_{l}μ_{l} + τ  (5.36)

avec μ_{j} ∈ K_{j,n} pour tout j et τ ∈ K_{l+1,n+1}. La preuve procède par récurrence sur i, le cas i = 1 constituant le fait 2. Supposons donc maintenant le résultat prouvé pour i − 1 et considérons Q ∈ K_{i,n+1}. On a alors a fortiori Q ∈ K_{i−1,n+1}, d’où par l’hypothèse de récurrence

Q = η_{i−1}u_{i−1} + η_{i}u_{i} + ⋯ + η_{l}u_{l} + t  (5.37)

avec u_{j} ∈ K_{j,n} pour tout j et t ∈ K_{l+1,n+1}. Évaluant ceci en \underline{x}_{i−1} on trouve

0 = Q(\underline{x}_{i−1}) = u_{i−1}(\underline{x}_{i−1}),  (5.38)

de sorte que pour j = i − 1 on a même

u_{i−1} ∈ K_{i,n}.  (5.39)

On peut alors appliquer le fait 1 à u_{i−1} ce qui donne

u_{i−1} = η_{i}κ_{i} + η_{i+1}κ_{i+1} + ⋯ + η_{l}κ_{l} + ρ  (5.40)

avec κ_{j} ∈ K_{j,n−1} pour tout j et ρ ∈ K_{l+1,n}. On conclut alors en posant μ_{j} = u_{j} + η_{i−1}κ_{j} pour j ⩾ i, et τ = t + η_{i−1}ρ.

Conclusion. Soit maintenant a ∈ J_{i,n+1}. Par définition il existe Q ∈ K_{i,n+1} vérifiant Q(\underline{x}_{i}) = a. Appliquant le fait 3 on trouve μ_{i} ∈ K_{i,n} vérifiant μ_{i}(\underline{x}_{i}) = Q(\underline{x}_{i}) = a, ce qui signifie précisément a ∈ J_{i,n}. Ceci termine la démonstration. □

Le résultat obtenu ici permet de majorer les entiers N_{0} et N_{1} définis au paragraphe précédent. Rappelons que si Σ est un sous-schéma réduit de ℙE fini et plat de longueur l sur Spec O_{K}, N_{0} (resp. N_{1}) est le plus petit entier tel que pour tout n ⩾ N_{0} (resp. n ⩾ N_{1}) on ait H^{1}(ℙE, ℑ_{Σ}(n))_{K} = 0 (resp. H^{1}(ℙE, ℑ_{Σ}(n)) = 0). De façon équivalente, supposant Σ réunion de l sections de la base et choisissant des formes linéaires sur E représentant cellesci, N_{0} (resp. N_{1}) est le plus petit entier n tel que le conoyau de l’application d’interpolation associée A_{n} soit de longueur finie (resp. minimale). On trouve alors :

Corollaire 5.5 Sous ces hypothèses, l’entier N_{0} vérifie

N_{0} ⩽ l − 1  (5.41)

et pour tout entier n ⩾ N_{0} on a

N_{1} ⩽ n + max_{𝔭∈Spm O_{K}} lg H^{1}(ℙE, ℑ_{Σ}(n))_{𝔭}.  (5.42)

Démonstration : On commence par appliquer la proposition 5.4 avec R = K. On en déduit que la dimension du conoyau coker A_{n,K} sur la fibre générique décroît strictement avant d’être identiquement nulle. L’application A_{0,K} étant l’application diagonale K ⟶ K^{l} on a dim coker A_{0,K} = l − 1, d’où dim coker A_{n,K} = 0 pour n ⩾ l − 1. Appliquant (5.23), (5.24) et le fait que Σ et Σ̃ coïcident sur la fibre générique, on obtient dim H^{1}(ℙE, ℑ_{Σ}(n))_{K} = dim coker A_{n,K}, ce qui prouve (5.41). Quant à (5.42), elle découle immédiatement de la proposition 5.2 et du fait que H^{1}(ℙE, ℑ_{Σ}(n)) est nul si et seulement si tous ses localisés le sont. □

5.2.2 Un résultat d’orthogonalité asymptotique

On se propose ici de prouver la proposition 5.2 dans le cas où v = σ est un plongement de K dans ℂ. Compte tenu de (5.12), cela revient à montrer la

Proposition 5.6 Si p_{1}, …, p_{l} sont des vecteurs de norme 1 deux à deux non proportionnels dans un espace hermitien E, et si le déterminant de Gram

G_{n} = det_{1⩽i,j⩽l} < p_{i}^{⊗n}, p_{j}^{⊗n} >_{E^{⊗n}}= det_{1⩽i,j⩽l}(< p_{i}, p_{j} >_{E})^{n}  (5.43)

vérifie l’encadrement

0 < G_{n} < 1  (5.44)

(autrement dit, les p_{i}^{⊗n} forment une famille libre mais ne sont pas deux à deux orthogonaux) alors on a

G_{n+1} > G_{n}.  (5.45)

Remarquons qu’il découle immédiatement de la forme de (5.43) que G_{n} tend vers 1 quand n tend vers l’infini, c’est-à-dire en un certain sens que les p_{i}^{⊗n} deviennent asymptotiquement orthogonaux. L’inégalité (5.45) que l’on souhaite prouver signifie que cette convergence vers 1 se fait de façon strictement croissante.

Le déterminant de Gram étant inchangé quand on applique aux p_{i}^{⊗n} le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt, on trouve

\frac{1}{2} log G_{n} = log dist(p_{2}^{⊗n}, Vect(p_{1}^{⊗n})) + log dist(p_{3}^{⊗n}, Vect(p_{1}^{⊗n}, p_{2}^{⊗n})) + …
+ log dist(p_{l}^{⊗n}, Vect(p_{1}^{⊗n}, …, p_{l−1}^{⊗n})).

(5.46)

Ainsi, pour établir (5.45), il suffit de prouver le lemme suivant :

Lemme 5.7 Soient p_{1}, …, p_{k} et q des vecteurs d’un espace hermitien E, avec ∥q∥ = 1, et tels que q ne soit pas orthogonal au sous-espace engendré par les p_{i}. Soit n un entier tel que le vecteur q^{⊗n} de E^{⊗n} ne soit pas dans le sous-espace engendré par les p_{i}^{⊗n}. Alors on a

dist(q^{⊗n+1}, Vect(p_{1}^{⊗n+1}, …, p_{k}^{⊗n+1})) > dist(q^{⊗n}, Vect(p_{1}^{⊗n}, …, p_{k}^{⊗n})).  (5.47)

Démonstration : Par le théorème de Hahn-Banach on a

dist(q^{⊗n}, Vect(p_{1}^{⊗n}, …, p_{k}^{⊗n})) = sup_{\begin{matrix}L∈(E^{⊗n})^{∨}, ∥L∥=1 \\ L(p_{1}^{⊗n})=···=L(p_{k}^{⊗n})=0 \end{matrix}} |L(q^{⊗n})|.  (5.48)

Par compacité il existe un élément L_{0} de la sphère unité de (E^{⊗n})^{∨} = (E^{∨})^{⊗n} atteignant cette borne supérieure. Notons aussi λ un élément de la sphère unité de E^{∨} vérifiant

λ(q) = 1  (5.49)

et notons L′ ∈ ((E^{⊗n+1})^{∨})^{𝔖_{n+1}} la projection de l’élément λ ⊗ L_{0} de (E^{⊗n+1})^{∨} sur le sousespace des tenseurs totalement symétriques. Par hypothèse, q n’est pas orthogonal au sousespace engendré par les p_{i}, de sorte que λ ne peut annuler tous les p_{i}; ainsi L_{0} ne peut être égal à λ^{⊗n} de sorte que λ ⊗ L_{0} n’est pas totalement symétrique et

∥L′∥ < ∥λ ⊗ L_{0}∥ = 1.  (5.50)

Par ailleurs on a

L′(q^{⊗n+1}) = λ(q)L_{0}(q^{⊗n}) = dist(q^{⊗n}, Vect(p_{1}^{⊗n}, …, p_{k}^{⊗n}))  (5.51)

et pour tout i

L′(p_{i}^{⊗n+1}) = λ(p_{i})L_{0}(p_{i}^{⊗n}) = 0  (5.52)

de sorte que par (5.48) appliquée en remplaçant n par n + 1 on trouve

dist(q^{⊗n+1}, Vect(p_{1}^{⊗n+1}, …, p_{k}^{⊗n+1})) ⩾ \frac{1}{∥L′∥}|L′(q^{⊗n+1})|,  (5.53)

ce qui, combiné avec (5.50) et (5.51), termine la démonstration du lemme, et donc de la proposition. □

5.3 Une minoration

Toujours sous les hypothèses du début de ce paragraphe on va donner une minoration de la fonction de Hilbert-Samuel arithmétique du sous-schéma Σ ne dépendant que des distances en toutes les places de ses points pris deux à deux.

Sans perte de généralité on peut supposer que Σ est réunion de points P_{1}, …, P_{l} ∈ ℙE(O_{K}). Soit σ un plongement de K dans ℂ. Pour tout i choisissons p_{i} ∈ E_{σ}^{∨} de norme 1 représentant P_{i,σ}. On définit alors

sin_{σ}(P_{i}, P_{j}) = max_{e∈E_{σ},∥e∥⩽1,p_{i}(e)=0} |p_{j}(e)| ∈ [0, 1].  (5.54)

On vérifie sans peine que cette quantité ne dépend pas des choix faits et est symétrique en P_{i} et P_{j}.

Lemme 5.8 On a

ε_{σ}(l − 1) ⩾ ∑_{1⩽i<j⩽l} log sin_{σ}(P_{i}, P_{j}).  (5.55)

Démonstration : Par (5.12), (5.46) et (5.48) il suffit de montrer que si E est un espace hermitien, j ⩽ l un entier, p_{1}, …, p_{j−1} des éléments de E et q ∈ E un vecteur de norme 1, il existe L ∈ (E^{∨})^{⊗l−1} de norme 1 s’annulant en p_{1}^{⊗l−1}, …, p_{j−1}^{⊗l−1} et vérifiant

|L(q^{⊗l−1})| ⩾ ∏_{1⩽i<j} sin(q, p_{i}).  (5.56)

Pour ce faire, on peut pour tout i choisir λ_{i} ∈ E^{∨} de norme 1 s’annulant en p_{i} et vérifiant λ_{i}(q) = sin(q, p_{i}), choisir η ∈ E^{∨} de norme 1 vérifiant η(q) = 1, et poser

L = λ_{1} … λ_{j−1}η^{l−j}.  (5.57)
□

De la même façon, pour 𝔭 ∈ Spm O_{K}, s’étant donné pour tout i une forme linéaire p_{i} ∈ E_{𝔭}^{∨} ∖ 𝔭E_{𝔭}^{∨} représentant P_{i,𝔭}, on pose

sin_{𝔭}(P_{i}, P_{j}) = max_{e∈E_{𝔭},p_{i}(e)=0} |p_{j}(e)|_{𝔭} ∈ [0, 1].  (5.58)

Lemme 5.9 On a

− log #Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})_{𝔭} + ε_{𝔭}(l − 1) ⩾ ∑_{1⩽i<j⩽l} log sin_{𝔭}(P_{i}, P_{j}).  (5.59)

Démonstration : Posons R = O_{K,𝔭}, identifions ℙE à l’espace projectif standard ℙ_{R}^{N}, pour tout i choisissons pour le point P_{i,𝔭} des coordonnées homogènes \underline{x}_{i} dans R qui engendrent l’idéal unité de R, et notons encore A_{n} l’application d’interpolation considérée en (5.21). Par (5.11), (5.23) et (5.24) on a

− log #Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})_{𝔭} + ε_{𝔭}(l − 1) = − log # coker A_{l−1}.  (5.60)

Compte tenu de (5.29), et en conservant les notations qui y sont utilisées, il suffit de montrer que pour tout j ∈ {1, …, l} il existe a ∈ J_{j,l−1} vérifiant

(#R/J_{j,l−1})^{−1} ⩾ (#R/aR)^{−1} = |a|_{𝔭} ⩾ ∏_{1⩽i<j} sin_{𝔭}(P_{i}, P_{j}),  (5.61)

autrement dit, qu’il existe un polynôme L ∈ R[X_{0}, …, X_{N}]_{l−1} s’annulant en \underline{x}_{1}, …, \underline{x}_{j−1} et vérifiant |L(\underline{x}_{j})|_{𝔭} ⩾ ∏_{1⩽i<j} sin_{𝔭}(P_{i}, P_{j}). Pour ce faire on peut choisir pour 1 ⩽ i < j des polynômes de degré un λ_{i,j} ∈ R[X_{0}, …, X_{N}]_{1} vérifiant λ_{i,j}(\underline{x}_{i}) = 0 et |λ_{i,j}(\underline{x}_{j})|_{𝔭} = sin_{𝔭}(P_{i}, P_{j}), et η_{j} ∈ R[X_{0}, …, X_{N}]_{1} vérifiant η_{j}(\underline{x}_{j}) = 1, de sorte qu’on puisse conclure en posant L = λ_{1,j} … λ_{j−1,j}η_{j}^{l−j}. □

Notons ŜpmO_{K} l’ensemble réunion formelle de Spm O_{K} et de l’ensemble des plongements de K dans ℂ.

Proposition 5.10 Sous ces hypothèses, pour tout n ⩾ l − 1, on a

h(Σ; n) ⩾ nh([Σ]) + \frac{l}{2}\binom{n + N}{N} + \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{v∈ŜpmO_{K}} ∑_{1⩽i<j⩽l} log sin_{v}(P_{i}, P_{j}).  (5.62)

Démonstration : Par le corollaire 5.3 il suffit de traiter le cas n = l−1. La proposition est alors conséquence immédiate des deux lemmes précédents. □

Corollaire 5.11 Avec les notations introduites précédemment, on a

N_{1} ⩽ l − 1 + max_{𝔭∈Spm O_{K}} \frac{1}{log #k_{𝔭}}(− log #Γ(Σ, ν_{∗}OΣ̃/O_{Σ})_{𝔭} − ∑_{1⩽i<j⩽l} log sin_{𝔭}(P_{i}, P_{j}))

⩽ l − 1 + max_{𝔭∈Spm O_{K}} \frac{1}{log #k_{𝔭}} ∑_{1⩽i<j⩽l} − log sin_{𝔭}(P_{i}, P_{j}).

Démonstration : C’est une conséquence immédiate des résultats qui précèdent et du corollaire 5.5. □

Appendice : Quelques résultats de géométrie hermitienne

Par commodité pour le lecteur, on rassemble ici un certain nombre de résultats élémentaires dont une grande partie se trouvent de façon éparse dans la littérature.

A.1 Conventions

Les espaces hermitiens sont par définition toujours des ℂ-espaces vectoriels de dimension finie. Les produits scalaires hermitiens sont antilinéaires par rapport à la première variable et linéaires par rapport à la deuxième.

On dira qu’une application linéaire u : E → F entre deux espaces hermitiens est une similitude de rapport λ > 0 si E et F sont non nuls de même dimension et que pour tout élément x de E on a

∥u(x)∥_{F} = λ∥x∥_{E}.

On dira que u est une similitude partielle de rapport λ si l’application de E/ ker(u) sur im(u) induite par u est une similitude de rapport λ. On appellera isométrie (resp. isométrie partielle) une similitude (resp. une similitude partielle) de rapport 1.

Si E est un espace hermitien, la n-ième puissance tensorielle de E, notée E^{⊗n}, est munie du produit hermitien défini sur les tenseurs élémentaires par la formule

< e_{1} ⊗ … ⊗ e_{n}, f_{1} ⊗ … ⊗ f_{n} >_{E^{⊗n}}= ∏_{i=1}^{n} < e_{i}, f_{i} >_{E} .  (A.1)

et prolongé par sesquilinéarité.

La n-ième puissance symétrique de E, notée S^{n}E ou Sym^{n} E, sera toujours considérée comme un quotient de E^{⊗n}, et munie du produit hermitien quotient, de sorte que

< e_{1}. · · · .e_{n}, f_{1}. · · · .f_{n} >_{S^{n}E}= \frac{1}{n!} ∑_{σ∈𝔖_{n}} ∏_{i=1}^{n} < e_{i}, f_{σ(i)} >_{E} .  (A.2)

On en déduit en particulier que si e_{1}, …, e_{d} est une base orthonormale de E, les monômes e^{I} = e_{1}^{i_{1}}. · · · .e_{d}^{i_{d}} ∈ S^{n}E, lorsque I = (i_{1}, …, i_{d}) ∈ ℕ^{d} parcourt l’ensemble des multi-indices de poids n = |I| = i_{1} + ⋯ + i_{d}, forment une base orthogonale de S^{n}E, chacun étant de norme

∥e^{I}∥_{S^{n}E} = (\frac{i_{1}! … i_{d}!}{n!})^{1/2} .  (A.3)

Plus généralement :

Lemme A.1 Soit E un espace hermitien muni d’une décomposition E = E_{1} ⊕^{⊥} … ⊕^{⊥} E_{k} en somme directe orthogonale de certains de ses sous-espaces. Soient n_{1}, …, n_{k} des entiers et n = n_{1} +⋯+n_{k}. Alors l’application naturelle

S^{n_{1}}E_{1} ⊗ … ⊗ S^{n_{k}}E_{k} → S^{n}E

est injective et définit une similitude sur son image, de rapport (\frac{n_{1}!...n_{k}!}{n!})^{1/2} .

Démonstration : C’est un calcul évident. □ La n-ième puissance extérieure de E, notée ⋀^{n} E, sera munie du produit scalaire suivant :

< e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n}, f_{1} ∧ ⋯ ∧ f_{n} >_{⋀^{n} E}= det_{i,j} < e_{i}, f_{j} >_{E} .  (A.4)

On prendra garde que ce produit scalaire n’est pas le produit scalaire obtenu en considérant ⋀^{n} E comme un quotient de E^{⊗n} (il en diffère par un facteur n!). Il possède toutefois la propriété remarquable d’être compatible à la dualité des puissances extérieures, qui en toute généralité peut se définir comme suit.

Pour tout schéma X et tout O_{X}-module localement libre E, la n-ième puissance extérieure du dual de E s’identifie au dual de la n-ième puissance extérieure de E grâce à l’accouplement

< ., . >: ⋀^{n} E × ⋀^{n}(E^{∗}) ⟶ O_{X}

donné localement par la formule

< e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n}, l_{1} ∧ ⋯ ∧ l_{n} >= det_{i,j} l_{i}(e_{j})  (A.5)

où les e_{i} et l_{j} sont des sections locales de E et E^{∗}, respectivement.

A.2 Décomposition polaire

Proposition A.2 (Décomposition polaire) Soit u : E → F une application linéaire entre deux espaces hermitiens. Alors il existe un unique entier e, une unique suite finie strictement croissante de réels strictements positifs λ_{1} < ⋯ < λ_{e} et une unique décomposition de E et de F en somme directe orthogonale

E = E_{0} ⊕^{⊥} ⨁_{1⩽i⩽e}^{⊥} E_{i},  F = F_{0} ⊕^{⊥} ⨁_{1⩽i⩽e}^{⊥} F_{i}  (A.6)

tels que i. E_{0} = ker u ii. la projection orthogonale F → F_{0} identifie F_{0} au conoyau coker u iii. pour tout i ∈ {1, …, e}, u induit une similitude de rapport λ_{i} de E_{i} sur F_{i}.

Démonstration : C’est une conséquence immédiate du théorème de décomposition spectrale appliqué à l’opérateur auto-adjoint u^{∗}u. Plus précisément, les λ_{i} sont les racines carrées des valeurs propres non nulles de u^{∗}u, les E_{i} les espaces propres associés, les F_{i} leurs images par u, et enfin E_{0} = ker u^{∗}u = ker u et F_{0} = (⨁_{i} F_{i})^{⊥}. □

Définition A.3 Avec les notations de la proposition, on dira que les réels λ_{i}, auxquels on adjoindra λ_{0} = 0 lorsque u n’est pas injective, sont les valeurs caractéristiques de u.

Le sous-espace E_{i} est appelé espace caractéristique associé à la valeur caractéristique λ_{i}, et l’entier m_{i} = dim E_{i} est appelé multiplicité de λ_{i}.

On appelle suite des valeurs caractéristiques de u avec multiplicités la suite (μ_{j})_{1⩽j⩽dim E} définie par μ_{j} = λ_{i} pour m_{0} + ⋯ + m_{i−1} < j ⩽ m_{0} + ⋯ + m_{i}.

La proposition peut se reformuler ainsi :

Corollaire A.4 Soit u : E → F une application linéaire entre deux espaces hermitiens. Alors

il existe une unique décomposition en somme directe orthogonale de E et de F : E = E_{0} ⊕^{⊥} E′,

F = F_{0} ⊕^{⊥} F′, une unique isométrie φ : E′ ⟶^{∼} F′, et un unique endomorphisme auto-adjoint défini positif h (resp. k) de E′ (resp. F′) tels que

u = i ∘ φ ∘ h ∘ p  (resp. u = i ∘ k ∘ φ ∘ p),  (A.7)

où i est l’inclusion de F′ dans F et p la projection orthogonale de E sur E′. Les endomorphismes h et k ont mêmes valeurs propres (avec multiplicités), égales aux valeurs caractéristiques non nulles de u.

Toujours avec les mêmes notations, on a la

Proposition A.5 L’application u et son adjoint u^{∗} : F → E ont mêmes valeurs caractéristiques non nulles avec mêmes multiplicités.

En outre, 0 est valeur caractéristique de u si et seulement si u n’est pas injective, et est valeur caractéristique de u^{∗} si et seulement si u n’est pas surjective.

L’espace caractéristique de u^{∗} associé à la valeur caractéristique λ_{i} est F_{i} (ceci est valable aussi pour i = 0) et s’envoie par u^{∗} dans E_{i}.

Démonstration : Cela résulte immédiatement des propriétés de la décomposition polaire (on peut aussi l’obtenir en passant à l’adjoint dans la formule (A.7)). □

Le résultat suivant est une autre conséquence immédiate de la caractérisation de la décomposition polaire :

Proposition A.6 Soient a et b deux réels. Les assertions suivantes sont équivalentes : i. pour tout x dans E, on a l’encadrement : a∥x∥ ⩽ ∥u(x)∥ ⩽ b∥x∥ ii. les valeurs caractéristiques de u sont toutes comprises dans l’intervalle [a, b].

En particulier, la norme de u est égale à sa plus grande valeur caractéristique :

∥u∥ = μ_{dim E}.  (A.8)

Plus généralement, la norme de l’application k-ième puissance extérieure ⋀^{k} u : ⋀^{k} E → ⋀^{k} F vaut

∥⋀^{k} u∥ = ∏_{j=dim E−k+1}^{dim E} μ_{j},  (A.9)

où les μ_{j} sont les valeurs caractéristiques de u comptées avec multiplicités. Remarquons que l’on aurait aussi pu se servir de cette formule pour définir les valeurs caractéristiques.

Corollaire A.7 Soient u : E → F une application linéaire entre deux espaces hermitiens et a et b deux réels. Supposons que toutes les valeurs caractéristiques de u appartiennent à l’intervalle [a, b]. Soient F′ un sous-espace de F, E′ l’image réciproque de F′ par u,

u′ : E′ ⟶ F′

la restriction de u à E′ et

\overline{u} : E/E′ ⟶ F/F′

l’application obtenue par passage au quotient. Alors les valeurs caractéristiques de u′ et, si u est surjective, celles de \overline{u}, appartiennent aussi à l’intervalle [a, b].

Démonstration : L’assertion sur u′ est une conséquence immédiate de la proposition A.6. L’assertion sur \overline{u} en résulte par passage à l’adjoint, au moyen de la proposition A.5. □

Corollaire A.8 Soient E, F et G trois espaces hermitiens, u : E ⟶ F et v : F ⟶ G deux applications linéaires, et 0 ⩽ a ⩽ b et 0 ⩽ c ⩽ d des réels. Supposons toutes les valeurs caractéristiques de u (resp. de v) dans l’intervalle [a, b] (resp. [c, d]). Alors les valeurs caractéristiques de l’application composée v ∘ u sont toutes dans l’intervalle [ac, bd].

Démonstration : C’est une conséquence immédiate de la proposition A.6. □

A.3 Position relative de deux sous-espaces

A.3.1 Invariants du problème et lien avec les représentations unitaires du groupe diédral

Dans cette partie on se donne E un espace hermitien de produit scalaire < ., . >, et A et B deux sous-espaces vectoriels de E. On note respectivement p_{A} et p_{B} les projections orthogonales sur A et B, et p_{A}|_{B} et p_{B}|_{A} les restrictions de p_{A} à B et de p_{B} à A. Le résultat principal de cette section (théorème A.12 et ses corollaires) énonce que la donnée d’un tel triplet (E, A, B) équivaut à la donnée d’une représentation unitaire du groupe diédral (définition A.10), et que ces objets sont classifiés essentiellement par les valeurs caractéristiques de la projection p_{A}|_{B} (ou p_{B}|_{A}).

On retrouve ainsi les résultats de [11], partie II. En particulier, on notera que les invariants ν introduits dans cette référence sont les valeurs caractéristiques du projecteur p_{B}|_{A}.

Lemme A.9 Les applications p_{A}|_{B} et p_{B}|_{A} ont mêmes valeurs caractéristiques non nulles avec multiplicités, et elles échangent leurs sous-espaces caractéristiques associés.

En particulier, on a : ∥p_{A}|_{B}∥ = ∥p_{B}|_{A}∥.

Démonstration : Par définition des projections on a, pour tous a ∈ A et b ∈ B,

< p_{B}(a), b >=< a, b >=< a, p_{A}(b) > .  (A.10)

Ainsi p_{A}|_{B} et p_{B}|_{A} sont adjointes l’une de l’autre. Le lemme est alors une conséquence immédiate de la proposition A.5. □

On remarquera que, par la proposition A.6, ces valeurs caractéristiques sont toutes inférieures ou égales à 1.

Définition A.10 On appelle groupe diédral, noté D, le groupe défini par générateurs e_{a}, e_{b} et relations e_{a}^{2} = e_{b}^{2} = 1_{D}.

Si E est un espace hermitien et A et B deux sous-espaces de E, on note ρ_{A,B} : D → U(E) la représentation de D dans le groupe unitaire de E envoyant e_{a} (resp. e_{b}) sur la symétrie orthogonale par rapport à A (resp. B).

Proposition A.11 Toute représentation ρ de D dans U(E) est de la forme ρ_{A,B} pour des sousespaces A et B uniquement déterminés.

Démonstration : Notons s_{a} = ρ(e_{a}). Puisque e_{a}^{2} = 1_{D}, on a s_{a}^{2} = id_{E}, et comme ρ est unitaire, ceci implique que s_{a} est une symétrie orthogonale. On doit alors nécessairement avoir A = ker(id − s_{a}), et avec les notations analogues B = ker(id − s_{b}). Inversement, avec ce choix de A et B on vérifie facilement qu’on a bien ρ = ρ_{A,B}. □

Si n est un entier naturel, on notera U(n) le groupe unitaire de l’espace ℂ^{n} muni du produit scalaire hermitien standard.

Pour tout ν dans l’intervalle ouvert ]0, 1[ notons E(ν) la représentation de D dans U(2) de la forme ρ_{A(ν),B(ν)}, où A(ν) = ℂ.(1, 0) ⊂ ℂ^{2} et B(ν) = ℂ.(ν, \sqrt{1 − ν^{2}}) ⊂ ℂ^{2}.

On note R_{a} (resp. R_{b}) la représentation de D dans U(1) qui envoie e_{a} sur id_{ℂ} et e_{b} sur −id_{ℂ} (resp. e_{a} sur −id_{ℂ} et e_{b} sur id_{ℂ}).

On note S la représentation de D dans U(1) qui envoie e_{a} et e_{b} sur −id_{ℂ}.

On note enfin T la représentation triviale, i.e. la représentation de D dans U(1) qui envoie e_{a} et e_{b} sur id_{ℂ}.

Théorème A.12 Soient E un espace hermitien et A et B deux sous-espaces de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :

i. On a

dim A ∩ (B^{⊥}) = r_{a}, dim(A^{⊥}) ∩ B = r_{b}, dim(A + B)^{⊥} = s, dim A ∩ B = t

et les valeurs caractéristiques de p_{A}|_{B} (et de p_{B}|_{A}) différentes de 0 et 1 sont

λ_{1} < ⋯ < λ_{e}

avec multiplicités respectives m_{1}, …, m_{e}. ii. Le sous-espace A + B est de codimension s dans E, et il existe des vecteurs

a_{0,j} (1 ⩽ j ⩽ r_{a}) dans A ∩ (B^{⊥}), a_{i,j} (1 ⩽ i ⩽ e, 1 ⩽ j ⩽ m_{i}) dans A, b_{0,j} (1 ⩽ j ⩽ r_{b}) dans (A^{⊥}) ∩ B, b_{i,j} (1 ⩽ i ⩽ e, 1 ⩽ j ⩽ m_{i}) dans B et c_{j} (1 ⩽ j ⩽ t) dans A ∩ B

tels que la famille formée des (a_{0,j})_{1⩽j⩽r_{a}}, des (a_{i,j})_{1⩽i⩽e,1⩽j⩽m_{i}} et des (c_{j})_{1⩽j⩽t} (resp. la famille formée des (b_{0,j})_{1⩽j⩽r_{b}}, des (b_{i,j})_{1⩽i⩽e,1⩽j⩽m_{i}} et des (c_{j})_{1⩽j⩽t}) forme une base orthonormale de A (resp. de B) et que pour tout couple (i, i′) d’éléments de {1, …, e} et pour tous 1 ⩽ j ⩽ m_{i} et 1 ⩽ j′ ⩽ m_{i′} on ait

< a_{i,j}, b_{i′,j′} >= λ_{i}.δ_{(i,j),(i′,j′)}.  (A.11)

iii. La représentation ρ_{A,B} de D dans U(E) est isomorphe à la représentation somme directe orthogonale

R_{a}^{⊕r_{a}} ⊕^{⊥} R_{b}^{⊕r_{b}} ⊕^{⊥} S^{⊕s} ⊕^{⊥} T^{⊕t} ⊕^{⊥} ⨁_{1⩽i⩽e}^{⊥} E(λ_{i})^{⊕m_{i}}.  (A.12)

Démonstration : i. ⇒ ii. Pour 1 ⩽ i ⩽ e, notons A_{i} (resp. B_{i}) le sous-espace caractéristique de p_{B}|_{A} (resp. p_{A}|_{B}) pour la valeur caractéristique λ_{i}, supposée par hypothèse différente de 0 ou 1. Lorsqu’il n’est pas réduit au sous-espace nul, on vérifie aisément que A∩(B^{⊥}) (resp. (A^{⊥})∩B) est le sous-espace caractéristique de p_{B}|_{A} (resp. p_{A}|_{B}) pour la valeur caractéristique 0 et que A ∩ B est le sous-espace caractéristique de p_{B}|_{A} et de p_{A}|_{B} pour la valeur caractéristique 1. Choisissons (a_{0,j})_{1⩽j⩽r_{a}} (resp. (b_{0,j})_{1⩽j⩽r_{b}}, resp. (c_{j})_{1⩽j⩽t}) une base orthonormale de A∩(B^{⊥}) (resp. (A^{⊥})∩B, resp. A ∩ B) et pour tout i ∈ {1, …, e}, (a_{i,j})_{1⩽j⩽m_{i}} une base orthonormale de A_{i}. Alors si l’on pose

b_{i,j} = λ_{i}^{−1}p_{B}(a_{i,j}),

on vérifie facilement que pour tout i ∈ {1, …, e}, (b_{i,j})_{1⩽j⩽m_{i}} est une base orthonormale de B_{i} et que les relations (A.11) sont satisfaites.

ii. ⇒ iii. Sous les hypothèses de ii., on obtient un isomorphisme de E sur la représentation donnée par (A.12) en identifiant chaque droite ℂ.a_{0,j} (resp. ℂ.b_{0,j}, resp. ℂ.c_{j}) à une copie de R_{a} (resp. R_{b}, resp. T), en identifiant (A + B)^{⊥} à la représentation S^{⊕s} et, pour tous 1 ⩽ i ⩽ e et 1 ⩽ j ⩽ m_{i}, en envoyant a_{i,j} (resp. b_{i,j}) sur le vecteur (1, 0) (resp. (λ_{i}, \sqrt{1 − λ_{i}^{2}})) d’une copie de E(λ_{i}).

iii. ⇒ i. On ne perd pas de généralité en supposant que la représentation (E, ρ) est égale à la somme directe (A.12). Alors, puisque ρ(e_{a}) (resp. ρ(e_{b})) laisse stable la décomposition (A.12), le sous-espace A = ker(id − ρ(e_{a})) (resp. B = ker(id − ρ(e_{b}))) est égal à la somme directe orthogonale de ses intersections avec chacun des sommants de cette décomposition. On vérifie alors par un calcul immédiat que l’on obtient ainsi la décomposition de A (resp. B) selon les sous-espaces caractéristiques de p_{B}|_{A} (resp. p_{A}|_{B}) et que les valeurs caractéristiques associées sont bien celles données dans le point i. □

Définition A.13 Avec les notations du théorème, si E est un espace hermitien et A et B deux sous-espaces de E, on appelle invariants du triplet (E, A, B) la donnée des entiers r_{a}, r_{b}, s et t et des réels λ_{1} < ⋯ < λ_{e} (dans ]0, 1[) avec multiplicités m_{1}, …, m_{e}.

On notera que ces données permettent facilement de retrouver les dimensions de E, A et B grâce aux relations

rg p_{B}|_{A} = rg p_{A}|_{B} = t + ∑_{i=1}^{e} m_{i}
= dim A − r_{a} = dim B − r_{b}

(A.13)

et

dim E = dim A + dim B + s − t

= r_{a} + r_{b} + s + t + 2 ∑_{i=1}^{e} m_{i}. (A.14)

Corollaire A.14 Soient E (resp. E′) un espace hermitien et A et B (resp. A′ et B′) des sousespaces de E (resp. E′). Alors il existe une isométrie de E sur E′ envoyant A sur A′ et B sur B′ si et seulement si les triplets (E, A, B) et (E′, A′, B′) ont mêmes invariants.

Démonstration : Ceci résulte de l’équivalence entre i. et iii. dans le théorème A.12. □

Corollaire A.15 À isomorphisme près, les représentations unitaires irréductibles de D sont R_{a}, R_{b}, S, T et les E(ν) pour ν ∈]0, 1[.

Toute représentation unitaire de D se décompose de façon essentiellement unique en somme directe orthogonale de représentations irréductibles.

Démonstration : Ceci est une conséquence de la proposition A.11 et de l’équivalence entre i. et iii. dans le théorème A.12. □

A.3.2 Mesure d’orthogonalité

Comme précédemment, soit (E, A, B) un triplet hermitien d’invariants r_{a}, r_{b}, s, t et λ_{1} < ⋯ < λ_{e} avec multiplités respectives m_{1}, …, m_{e}. On posera aussi λ_{max} = λ_{e} si e ⩾ 1, et par convention λ_{max} = 0 sinon.

On note Ã = A/(A ∩ B) et B̃ = B/(A ∩ B) les sous-espaces traces de A et de B dans l’espace hermitien quotient E/(A ∩ B),

α = α_{Ã,B̃} : Ã × B̃ ⟶^{∼} Ã + B̃  (A.15)

l’isomorphisme de ℂ-espaces vectoriels déduit naturellement de l’addition et

d_{A,B} = ∥ ⋀^{max} α∥  (A.16)

la norme de son déterminant (lorsque Ã × B̃ est muni de la métrique hermitienne produit direct). De façon équivalente, d_{A,B} est la norme de l’isomorphisme (naturel au choix d’un signe près)

⋀^{max} A ⊗ ⋀^{max} B ⟶^{∼} ⋀^{max}(A ∩ B) ⊗ ⋀^{max}(A + B).  (A.17)

Proposition A.16 Avec les notations précédentes, les valeurs caractéristiques de α sont 1 avec multiplicité r_{a} + r_{b}, ainsi que les (1 + λ_{i})^{1/2} et les (1 − λ_{i})^{1/2} chacune avec multiplicité m_{i}.

Démonstration : Par le théorème A.12 (et par multiplicativité du déterminant dans les sommes directes orthogonales), il suffit de traiter le cas où E est une des représentations élémentaires du groupe diédral. Le cas des représentations R_{a}, R_{b}, S et T étant évident, on peut supposer E de la forme E(ν) pour ν ∈]0, 1[ ; notons alors a = (1, 0) et b = (ν, \sqrt{1 − ν^{2}}) ∈ E = ℂ^{2} les vecteurs directeurs canoniques des droites A et B. Les vecteurs (a, b) et (a, −b) de A × B sont alors orthogonaux, tous deux de norme \sqrt{2}, et envoyés par α sur les vecteurs a + b et a − b de E, qui sont orthogonaux, de normes respectives (2 + 2ν)^{1/2} et (2 − 2ν)^{1/2}. Ceci détermine bien la décomposition polaire de α, et démontre la proposition. □

Corollaire A.17 Avec les notations précédentes :

i. on a

d_{A,B}^{2} = d_{Ã,B̃}^{2} = ∏_{i, λ_{i}<1}(1 − λ_{i}^{2})^{m_{i}}  (A.18)

ii. les valeurs caractéristiques de α sont toutes comprises dans l’intervalle

[(1 − \sqrt{1 − d_{A,B}^{2}})^{1/2} , (1 + \sqrt{1 − d_{A,B}^{2}})^{1/2}]  (A.19)

iii. on a l’encadrement

1 ⩾ d_{A,B} ⩾ (1 − ∥p_{B̃|Ã}∥^{2})^{min(dim Ã,dim B̃)/2},  (A.20)

et d_{A,B} = 1 si et seulement si Ã et B̃ sont orthogonaux (on dira alors que A et B sont orthogonaux au sens large).

Démonstration : L’assertion i. résulte de la proposition et du fait que la norme du déterminant d’une application linéaire est égale au produit de ses valeurs caractéristiques. Du fait que les λ_{i} sont toutes dans l’intervalle [0, 1], l’égalité i. implique que pour tout i ∈ {1, …, e}, on a λ_{i}^{2} ⩽ 1 − d_{A,B}^{2} ; compte tenu de la proposition, l’assertion ii. en découle aussitôt. L’assertion iii. se démontre de façon analogue, en utilisant le fait que ∥pB̃|Ã∥ = λ_{max}. □

Il est possible aussi de faire jouer à A et B des rôles non symétriques. Notons β = β_{A,B} l’isomorphisme naturel de ℂ-espaces vectoriels

β : A/(A ∩ B) ⟶^{∼} (A + B)/B.

Alors

Proposition A.18 Les valeurs caractéristiques de β sont les (1 − λ_{i}^{2})^{1/2} avec multiplicité m_{i}. En particulier, on a ∥ det β∥ = d_{A,B}, et les valeurs caractéristiques de β sont toutes dans l’intervalle [d_{A,B}, 1].

Démonstration : Comme précédemment, par compatibilité de l’application β aux sommes directes orthogonales de représentations du groupe diédral, on peut supposer que E est une des représentations élémentaires ; le calcul des valeurs caractéristiques est alors immédiat. Compte tenu du corollaire A.17.i., le reste de la proposition en découle de façon évidente. □

Remarquons pour conclure que, par le corollaire A.17.iii., on peut considérer d_{A,B} comme une mesure de l’orthogonalité de A et B. En particulier, si A et B s’obtiennent par complexification de deux droites (distinctes) d’un espace vectoriel réel (comme c’est le cas par exemple pour la représentation élémentaire E(ν)), le réel d_{A,B} est le sinus de l’angle de ces deux droites. Notons enfin que les corollaire A.17.ii. et proposition A.18 signifient que, pour d_{A,B} proche de 1, les applications α et β sont presque isométriques.

A.3.3 Comportement par dualité

Conservons les notations du paragraphe précédent.

Proposition A.19 Si les invariants du triplet (E, A, B) sont r_{a}, r_{b}, s, t et λ_{1} < ⋯ < λ_{e} avec multiplicités m_{1}, …, m_{e}, alors l’application composée

s_{A} ∘ s_{B}

des symétries orthogonales par rapport à A et à B est une transformation unitaire dont les valeurs propres sont :

1 avec multiplicité s + t,

−1 avec multiplicité r_{a} + r_{b},

et les

(λ_{j} ± i\sqrt{1 − λ_{j}^{2}})^{2}, chacune avec multiplicité m_{j} (pour 1 ⩽ j ⩽ e).

Démonstration : Par le théorème A.12 il suffit de traiter le cas où la représentation du groupe diédral associée à (E, A, B) est de la forme R_{a}, R_{b}, S, T ou E(ν). Le seul cas non trivial est celui de E(ν), pour lequel on peut remarquer que s_{A} ∘ s_{B} est la complexification de l’application composée de deux symétries orthogonales suivant des droites (réelles) d’angle arccos(ν), donc est la complexification d’une rotation (réelle) d’angle 2 arccos(ν). □

Notons dorénavant A^{⊥} (resp. B^{⊥}) l’orthogonal de A (resp. B) dans E.

Corollaire A.20 Si les invariants du triplet (E, A, B) sont

r_{a}, r_{b}, s, t

et λ_{1} < ⋯ < λ_{e} avec multiplicités m_{1}, …, m_{e}, alors les invariants du triplet (E, A^{⊥}, B^{⊥}) sont

r_{b}, r_{a}, t, s

et λ_{1} < ⋯ < λ_{e} avec multiplicités m_{1}, …, m_{e}.

Notamment les valeurs caractéristiques différentes de 0 et de 1 de p_{A,B}, p_{B,A}, p_{A^{⊥},B^{⊥}} et p_{B^{⊥},A^{⊥}} sont les mêmes avec mêmes multiplicités.

Démonstration : Cela résulte de la définition des invariants, de la proposition précédente, et du fait que s_{A^{⊥}} ∘ s_{B^{⊥}} = (−s_{A}) ∘ (−s_{B}) = s_{A} ∘ s_{B}. □

Corollaire A.21 Avec les notations précédentes, on a

d_{A^{⊥},B^{⊥}} = d_{A,B}.

Démonstration : Cela résulte immédiatement des corollaires A.20 et A.17. □

A.4 Passage à un nombre quelconque de sous-espaces

Les résultats du paragraphe précédent permettent d’obtenir certaines estimations sur la position d’un nombre quelconque de sous-espaces, à partir seulement des normes des projections de l’un sur l’autre deux à deux. Plus précisément, on montre que si des sous-espaces d’un espace hermitien sont «deux à deux presque orthogonaux», dans le sens où les projections de l’un sur l’autre sont de norme petite, alors ils sont «globalement presque orthogonaux», dans le sens où l’application naturelle du produit direct de ces sous-espaces sur leur somme est presque une isométrie, i.e. a toutes ses valeurs caractéristiques proches de 1.

Lemme A.22 Soit H un espace hermitien qui est somme directe de certains de ses sous-espaces H_{1}, …, H_{m}. Munissons le produit direct H_{1}×⋯×H_{m} du produit scalaire somme directe orthogonale des produits scalaires restreints. On a deux applications linéaires inversibles naturelles

\begin{aligned}α = α_{H_{1},...,H_{m}} : & H_{1} × ⋯ × H_{m} & ⟶ & H \\ & (x_{1}, …, x_{m}) & ⟼ & x_{1} + ⋯ + x_{m} \end{aligned}

et

\begin{aligned}γ = γ_{H_{1},...,H_{m}} : & H & ⟶ & H_{1} × ⋯ × H_{m} \\ & x & ⟼ & (p_{H_{1}}(x), …, p_{H_{m}}(x)). \end{aligned}

Alors α et γ sont adjointes l’une de l’autre.

Démonstration : Soient x ∈ H et y = (y_{1}, …, y_{m}) ∈ H_{1} × ⋯ × H_{m}. Alors on a

\begin{aligned}< x, α(y) > & =< x, y_{1} > + ⋯ + < x, y_{m} > \\ & =< p_{H_{1}}(x), y_{1} > + ⋯ + < p_{H_{m}}(x), y_{m} > \\ & =< γ(x), y >, \end{aligned}  (A.21)

ce qu’il fallait démontrer. □

Proposition A.23 Soient A et B deux sous-espaces d’un espace hermitien E avec A ∩ B = 0, et λ_{i} les valeurs caractéristiques de p_{A}|_{B} avec multiplicité m_{i}. Considérons l’application

\begin{aligned}γ : & A + B & ⟶ & A × B \\ & x & ⟼ & (p_{A}(x), p_{B}(x)) \end{aligned}

dont les composantes sont les projections orthogonales sur A et B. Alors les valeurs caractéristiques de γ différentes de 1 sont les (1+λ_{i})^{1/2} et les (1−λ_{i})^{1/2}, chacune avec multiplicité m_{i}. En particulier, on a

∥γ^{−1}∥^{2} = (1 − ∥p_{A}|_{B}∥)^{−1}.

Démonstration : C’est une conséquence immédiate du lemme précédent (dans le cas m = 2) et des propositions A.5 et A.16. La dernière assertion résulte du fait que la norme d’une application linéaire est égale à sa plus grande valeur caractéristique. □

Corollaire A.24 Soient A, B et C trois sous-espaces d’un espace hermitien tels que la somme A + B + C soit directe. Alors on a l’inégalité

∥p_{(A+B)}|_{C}∥^{2} ⩽ \frac{∥p_{A}|_{C}∥^{2} + ∥p_{B}|_{C}∥^{2}}{1 − ∥p_{A}|_{B}∥} .

Démonstration : Par transitivité des projections orthogonales sur des sous-espaces emboîtés, on a p_{A}|_{C} = p_{A}|_{(A+B)} ∘ p_{(A+B)}|_{C} et p_{B}|_{C} = p_{B}|_{(A+B)} ∘ p_{(A+B)}|_{C}, d’où

p_{(A+B)}|_{C} = γ^{−1} ∘ (p_{A}|_{C}, p_{B}|_{C}),

avec γ = (p_{A}|_{(A+B)}, p_{B}|_{(A+B)}) : A + B ⟶ A × B. Le corollaire résulte alors de la proposition précédente. □

Corollaire A.25 Soit n un entier. Pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, si A_{0}, …, A_{n} sont n + 1 sous-espaces en somme directe dans un espace hermitien, et si

M = max_{i,j} ∥p_{A_{i}}|_{A_{j}}∥^{2} < η,

alors

∥p_{(A_{1}+···+A_{n})}|_{A_{0}}∥^{2} < (n + ε)M.

Démonstration : On procède par récurrence sur n, le cas n = 1 étant évident. Supposons le résultat vrai jusqu’au rang n − 1. Le corollaire précédent donne :

∥p_{(A_{1}+···+A_{n})}|_{A_{0}}∥^{2} ⩽ \frac{∥p_{(A_{1}+···+A_{n−1})}|_{A_{0}}∥^{2} + ∥p_{A_{n}}|_{A_{0}}∥^{2}}{1 − ∥p_{(A_{1}+···+A_{n−1})}|_{A_{n}}∥} .  (A.22)

Par définition on a ∥p_{A_{n}}|_{A_{0}}∥^{2} ⩽ M, et en appliquant l’hypothèse de récurrence d’une part à A_{0}, …, A_{n−1}, d’autre part à A_{1}, …, A_{n}, on trouve, si M est assez petit :

∥p_{(A_{1}+···+A_{n−1})}|_{A_{0}}∥^{2} < (n − 1 + ε/2)M,  (A.23)

donc

1 − \sqrt{(n − 1 + ε/2)M} < 1 − ∥p_{(A_{1}+···+A_{n−1})}|_{A_{n}}∥ ⩽ 1.  (A.24)

En insérant (A.23) et (A.24) dans (A.22), quitte à prendre M encore plus petit, on trouve le résultat souhaité. □

Soient E un espace hermitien et A_{1}, …, A_{m} m sous-espaces de E en somme directe. L’application linéaire naturelle

α_{A_{1},...,A_{m}} : A_{1} × ⋯ × A_{m} ⟶ A_{1} + ⋯ + A_{m}

est bijective, mais n’est en général pas une isométrie. On note d_{A_{1},...,A_{m}} la norme de son déterminant, c’est-à-dire le rapport de la similitude naturelle entre espaces hermitiens de dimension 1

⋀^{max} A_{1} ⊗ … ⊗ ⋀^{max} A_{m} ⟶^{∼} ⋀^{max}(A_{1} + ⋯ + A_{m}).

On remarquera que ces notations sont compatibles avec celles introduites précédemment pour m = 2 et que, par le lemme A.22 (et avec les notations correspondantes), on a aussi

d_{A_{1},...,A_{m}} = ∥ det α_{A_{1},...,A_{m}}∥ = ∥ det γ_{A_{1},...,A_{m}}∥.  (A.25)

Proposition A.26 Sous ces hypothèses :

i. On a

d_{A_{1},...,A_{m}} = d_{A_{1},A_{2}}.d_{(A_{1}+A_{2}),A_{3}}. · · · .d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}} ⩽ 1.

ii. Les valeurs caractéristiques de α_{A_{1},...,A_{m}} sont toutes comprises dans l’intervalle

[(1 − \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m}}^{2}})^{(m−1)/2} , (1 + \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m}}^{2}})^{(m−1)/2}] .

Démonstration : On procède par récurrence sur m, en remarquant que α_{A_{1},...,A_{m}} se factorise en

A_{1} × ⋯ × A_{m−1} × A_{m} ⟶^{u} (A_{1} + ⋯ + A_{m−1}) × A_{m} ⟶^{v} A_{1} + ⋯ + A_{m}

avec u = α_{A_{1},...,A_{m−1}} × Id_{A_{m}} et v = α_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}. On trouve ainsi

d_{A_{1},...,A_{m}} = ∥ det u∥.∥ det v∥ = d_{A_{1},...,A_{m−1}}.d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}  (A.26)

et en appliquant l’hypothèse de récurrence à d_{A_{1},...,A_{m−1}}, on prouve la première assertion. L’application u admet pour valeurs caractéristiques celles de α_{A_{1},...,A_{m−1}}, auxquelles on a adjoint la valeur caractéristique 1 avec multiplicité dim A_{m}. Par hypothèse de récurrence, les valeurs caractéristiques de α_{A_{1},...,A_{m−1}} sont toutes dans l’intervalle

[(1 − \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m−1}}^{2}})^{(m−2)/2} , (1 + \sqrt{1 − d_{A_{1},...,A_{m−1}}^{2}})^{(m−2)/2}] ,

et il en est donc de même des valeurs caractéristiques de u. Par ailleurs, le corollaire A.17.ii. implique que les valeurs caractéristiques de v sont toutes dans l’intervalle

[(1 − \sqrt{1 − d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}^{2}})^{1/2} , (1 + \sqrt{1 − d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}^{2}})^{1/2}] .

Le point ii. se déduit alors de ces deux encadrements au moyen du corollaire A.8 et de l’inégalité

d_{A_{1},...,A_{m}} ⩽ min{d_{A_{1},...,A_{m−1}}, d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}}  (A.27)

qui est une conséquence triviale de (A.26). □

Corollaire A.27 Soit d un entier. Il existe deux constantes c et η > 0 (dépendant de d) telles que, pour tout espace hermitien E de dimension au plus d et pour tous sous-espaces A_{1}, …, A_{m} en somme directe dans E tels que

M = max_{1⩽i<j⩽m}{∥p_{A_{i}}|_{A_{j}}∥^{2}} ⩽ η,

on ait

1 ⩾ d_{A_{1},...,A_{m}} ⩾ 1 − cM.

Démonstration : On ne perd pas de généralité en supposant que les A_{i} sont tous non nuls. Alors, puisque ces sous-espaces sont en somme directe, on a nécessairement m ⩽ d. Par la proposition précédente on a

d_{A_{1},...,A_{m}} = d_{A_{1},A_{2}}.d_{(A_{1}+A_{2}),A_{3}}. · · · .d_{(A_{1}+···+A_{m−1}),A_{m}}.

Pour démontrer le corollaire, il suffit donc de minorer chacun des termes de ce produit. Si M est assez petit, la minoration voulue est fournie par les corollaires A.17.iii. et A.25. □

Références

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[3] Fulton W., Intersection theory (2nd ed.), Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge Vol. 2, Springer-Verlag 1998.

[4] Grothendieck A., Techniques de construction et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. IV : Les schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki 1960/61, exposé 221, in Fondements de la géométrie algébrique.

[5] Grothendieck A., Dieudonné J., Éléments de géométrie algébrique, Publ. Math. IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960-1967).

[6] Hartshorne R., Residues and Duality, Lecture Notes in Mathematics 20, Springer-Verlag 1966.

[7] Kollar J., Rational Curves on Algebraic Varieties, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge Vol. 32, Springer-Verlag 1996.

[8] Laurent M., Hauteur de matrices d’interpolation, in : Philippon P. (Ed.), Approximations Diophantiennes et Nombres Transcendants, Luminy 1990, de Gruyter, 1992, pp. 215-238.

[9] Mazur B., Roberts L., Local Euler characteristics, Inventiones Math. 9 (1970) pp. 201-234.

[10] Mumford D., Lectures on Curves on an Algebraic Surface (with a section by G. Bergman), Annals of Mathematics Studies 59, Princeton University Press 1966.

[11] Schmidt W.M., On heights of algebraic subspaces and diophantine approximations, Annals of Math. 85 (1967) pp. 430-472.

[12] Serre J.-P., Corps locaux, Hermann 1968.