Les pavages sont une partition du plan : avec un nombre fini de figures, on recouvre le plan sans laisser d'interstices. Il y a des pavages périodiques : on peut déduire tout le pavage à partir d'une partie, en faisant des translations. Les pavages classiques utilisent des polygones comme les triangles, les carrés, les losanges.

On trouve des pavages dans la nature par exemple dans les cristaux et les nids d'abeille.

Ceci s'explique toujours par un problème d'optimisation. Dans le cas des nids d'abeilles, le but est de construire des alvéoles en utilisant le moins de cire possible. On ne connaît que trois sortes de polygones réguliers qui permettent de paver le plan : le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone. L'hexagone est le polygone le plus proche d'une structure de cercle. Or le cercle est la figure géométrique qui a la surface maximale pour un périmètre donné. Ce qui laisse penser que l'hexagone sera le polygone pour lequel le rapport périmètre sur surface sera minimal, donc la consommation de cire sera minimale. Une démonstration mathématique de ce résultat a été apportée en deux étapes par les mathématiciens Fejes Toth (en 1943) et Thomas Hales (en 1999), qui ont respectivement démontré que l'hexagone était le polygone le plus économique pour paver, et qu'on ne pouvait pas trouver de meilleure solution en prenant des formes dont les côtés ne sont pas droits.

L'autre apparition la plus connue des pavages dans la nature est les cristaux. Cette structure a été découverte par l'abbé René Just Hauy qui a constaté que lorsqu'il faisait tomber un cristal, les faces des morceaux qui en résultaient étaient les mêmes que celles du cristal de départ. Il en a déduis que le cristal pourrait en fait être constitué de parallélépipèdes empilés les uns sur les autres et qui donneraient en fait un pavage. Ces parallélépipèdes sont en fait appelés maille élémentaire (ou motif) du cristal. La maille élémentaire caractérise à elle seule tout le cristal car il suffit de la translater dans les trois directions de l'espace pour obtenir le cristal en entier.

Les éléments chimiques adoptent cette structure seulement dans des conditions bien particulières, à savoir : il faut qu'ils aient fondu et qu'ils refroidissent assez lentement pour pouvoir se former. Si le refroidissement est trop rapide, on obtient ce qu'on appelle du verre : l'élément est constitué des mêmes atomes, mais ils sont agencés de manière assez aléatoire : rien à voir avec la régularité d'un pavage. Par ailleurs, des calculs peuvent montrer que la disposition sous forme de pavage en trois dimensions est la forme la plus stable que l'on peut trouver pour un élément. Une fois encore, rien n'est du au hasard.

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